Remarquons encore que x — qui est plus petite que
sera a forliori moindre que ^ ; ainsi l'on peut dire encore que
L’erreur commise en prenant une réduite quelconque pour valeur de la fraction continue est plus petite que l'unité divisée par le carré de son dénominateur.
404. Si l’on veut appliquer ces règles à la fraction continue qui exprime la valeur du rapport de la circonférence au diamètre (304), on formera d’abord les réduites successives , ce qui donnera
puis, on verra que le rapport d' Archimède , y, est trop grand (400), mais qu’il ne l’est pas de j y-- — ^ (401), et que
l’erreur surpasse ;
Quant à celui de Métius , — f il est aussi trop grand, mais il
ne ''est P-8 de riwî5+ïô«j= 53^7
Si on était parti d’une valeur décimale de n plus approchée que celle dont nous avons fait usage, on aurait trouvé que le dénomi-
nateur de la réduite qui vient après— est 33102 ; desorteque le
«i il"
rapport do Métius n’est pas fautif de -
113.33102 3740526(401'1' 405. Le principe dn n° 405 donne le moyen de déterminer à quelle réduite il convient de s’arrêter, pour que l’erreur correspondante soit moindre qu'une fraction donnée -!• Car , si l’on * à
désigne par ^ celte réduite inconnue, comme on a x — Q7<+p«>
DBS FRACTIONS CONTINUES.
■ 1 11 il est clair que l’erreur sera inférieure à j, si l’on pose
d’où Q'*>Set Q’>y/S, le signe > n’excluant pas le signe =. Ainsi ,
Pour avoir la valeur d'une fraction continue, à moins d'une unité fractionnaire donnée , il suffira de s'arrêter à une réduite, dont le dénominateur soit au moins égal à la racine carrée du dénominateur de cette unité fractionnaire. On pourra toujours satisfaire à cette condition, si la fraction continue ne se termine pas, car le dénominateur de chaque réduite surpassant le précédent au moins d’une unité, la suite de tous ces dénominateurs croît plus rapidement que celle des nombres entiers, et tend par conséquent vers l’infini. Si la fraction continue se termine, on obtiendra exactement sa valeur (3 98).
Comme la limite indiquée au n° 402 est plus resserrée que celle dont nous venons de faire usage, on devra, quand on sera arrivé à une réduite dont le dénominateur sera inférieur d’un petit nombre d’unités à ]/$, calculer là limite de l’erreur correspondante à celte réduite, d’après la règle du n* 402, et on fera de même pour chaque nouvelle réduite que l’on formera, afin de s’arrêter dès qu'on aura obtenu le degré d’approximation demandé.
Exemple. Calculer la valeur de la fraction continue
à moins de
La racine carrée de 7500 est 87 , à moins d’une unité et en plus. Ainsi, dans le calcul des réduites, on s’arrêtera à celle dont le dénominateur sera inférieur à 87 d'un petit nombre d’unités.
DBS FRACTIONS CONTINU»*.
