SOS

Les cinq premières sont

et comme le dénominateur de la dernière diffère peu de 87, nous allons calculer, par la règle du n° 402 , la limite de l’erreur cor-

respondante à la réduite L’erreur est <^7^123] :

de sôrte que cette réduite satisfait à la question.

400. Théorème IV. Une réchiite de rang quelconque approche plus de la valeur de la fraction continue totale qu'aucune de celles qui la précèdent. ' .

Soient, en effet, pet q-, deux réduites consécutives quelconques ; nous avons trouvé précédemment

U Q'CQ'y+PT

on verra de même que

(QP'-PQ’)y ,

.nffy + Pr P'Æ'y + PÏ •

Si l’on compare les seconds membres de ces deux équations, on verra que y étant > 1 et P'<Q\ le numérateur du premier est plus petit que celui du deuxième , et que son dénominateur est, au contraire , plus grand que celui de ce second membre ;

donc, par cette double raison , x — <x — p.

407. Corollaire. Les diverses réduites successives convergent

donc de plus en plus vers la valeur de la fraction continue totale. C’est à cause de cette propriété qu’on leur a donné le nom de fractions convergentes. .

408. Théorème V. Une réduite quelconque approche plus de la fraction continue totale qu’aucune fraction dont les deux termes seraient respectivement moindres que les siens.

Soient ç, une réduite quelconque et ^ une traction irvéduc-

DES FBACTIONS CONTINUES.

0 fil

tible qui approche plus de xque^,. Si^ est une réduite, ses deux ternies seront , d'après ce que nous venons de prouver (406), plus grands que ceux de et notre théorème est dé-

montré. Supposons donc que —, ne soit pas une fraction con- P *■ o

vergente, et appelons p celle qui précède qT. Comme x est