PO OP

comprise entre p et mais est plus près de ~ que de p, il

faudra nécessairement que — , soit aussi comprise entre ces

réduites ; car, si en rangeant ces quatre quantités par ordre de

grandeur, et supposant , pour fixer les idées, que p< jy,,

précédait p , elle différerait de x plus que p , et a fortiori plus

que ç ; et si ^ venait après , elle serait moins près de x que

cette réduite. Donc —, est comprise entre pet , et par conséquent

ou , en effectuant les soustractions indiquées,

mV — Pm' ^ l

TW <P'0''

Or, le numérateur »iP’ — Pm’ de la première de ces deux fractions est au moins égal au numérateur 1 de la deuxième, puisqu’il exprime la différence de deux nombres entiers qui ne sont pas égaux; donc le dénominateur de cette première fraction doit être plus grand que celui de la deuxième; donc m'>Q'.

Or, si la fraction est comprise entre p et -j,, son inverse

des mvcrioxs continus. 305

est aussi comprise entre celles de ccs deux réduites ; donc on doit avoir aussi . -

partant «t> Q.

Donc pour que la fraction approche plus de x que il faut

que ses deux termes soient respectivement plus grands que ceux de celte réduite. ,

409. Il résulte de tout ce qui précède que les fractions con-

tinues donnent le moyen de trouver une fraction ordinaire qui diffère d'aussi peu que l'on veut de la valeur d'une quantité qui n’est pas entière , et gui soit telle qui aucune fraction dont les deux termes seraient plus simples que les siens ne pourrait en approcher d’aussi près qu'elle. Pour atteindre ce but, on développera la quantité proposée en fraction continue (389), puis on formera les réduites successives (398), jusqu'à ce qu'on en obtienne une qui fournisse le degré d’approximation demandé (403). . ,