Exemple. Calculer, à moins de £ dix-millième près, la
valeur de la quantité *
J’observe d'abord que J dix-millième égale iulnni el Ruc ,a racine carrée de 20000 étant 142, il faudra s’arrêter à une réduite dont le dénominateur diffère peu de 142. Cela posé, le plus grand nombre entier contenu dans ÿ37 étant 6, on
voit que ia quantité proposée est plus grande que =3«
et < — = 4 ; donc sa valeur est égale à 3 -f - , x étant une <5 x
quantité plus grande que l’unité ; ainsi
et la première réduite est y. On tire de cette équation
Le plus grand nombre entier contenu dans cette dernière expression étant 1 , nous poserons
e t la deuxième réduite sera y. On tire de cette équation
2 est le plus grand nombre entier contenu dans cette valeur de y : ainsi nous poserons
et la troisième réduite sera y. Cette équation donne
4 4fy/37+5)=y^37+5
Z~~ y/37— i 5 37—; lb 3 ’
ce qui nous montre que z est précisément égale à la quantité proposée ; de sorte que, dans l'expression de cette quantité en fraction continue , les quotients incomplets 3,1 et 2 reviendront périodiquement et à l'inûni ; donc
. ■ • ' 1 "^~2 + etc. .
Nous avons vu que les trois premières réduites étaient - , y, >
on trouvera pour les suivantes — , yjj, -^r, —.Le dénominateur de cetté dernière différant peu de 142 , on calculera la limite de l’erreur correspondante par la règle du nc 40Si, et on
Dûs va actions co.nti.nlks.
trouvera pour cette limite = jJ— . Il faudra donc
passer à la réduite suivante qui étant ^ résout la question.
^ 411. Une fraction continue, dans laquelle une ou plu-, sieurs fractions intégrantes reviennent toujours dans le même - ordre, se nomme une fraction continue périodique. Elle est périodique-pure si la période commence dès l’origine de la fraction, et périodique-mixte , s’il n’en est pas ainsi. La fraction continue, que nous avons obtenue tout à l’heure, est périodique-pure.
412. Théorème VI. Toute fraction continue périodique est une des racines d’une équation du deuxième degré, à coefficients rationnels. . . '
1° Supposons que la fraction continue soit périodique pure, et qu’on ait , par exemple , -
n-f-etc.
représentons par a: la valeur de cette fraction continue , je dis que l’on aura
En effet, soient ^ la valeur d’une réduite qui serait composée
d’un certain nombre de périodes, ^ et les deux fractions
304 DIS FRACTIONS CO.STtNl'ES.
convergentes qui la précèdent inimédialeaunt, on aura
Or, si k représente la valeur d’une période, on obtiendra la va-
leur de la réduite y-> qui contient une période de plus , en chau-
géant h cii n -J- j dans l’expression de de sorte que
Ri-t-U”
et partant
V R QR — RQ' rfcl , .
V'~if m'k + <J'j = R'(K'A 4- Q') ’
d’où l’on voit que ces deux réduites ^ et ^ tendent à devenir
égales, lorsque le nombre des périodes qui les composent tend à devenir plus grand que toute grandeur assignable. Ainsi en désignant l’une par x< et l’autre par x*t, on aura x,=;i:,
S étant une variable qui a zéro pour limite; on pourra donc écrire
Xi — 0
de sorte qu’en appelant x la valeur de la fraction continue totale, ou la limite de x,, on aura (Arith., 857) l’équation [7].
Cela posé, soient la valeur de la période, et ^ la fraction
convergente qui 1« précède immédiatement , on aura (505)
Ne + M
. J ~ NV f-M” *
équation d’où dépend la valeur de x. En chassant le dénominateur et en transposant, il viendra
