NV-HM'— N)*— M
ce qui prouve que la valeur d’une fraction continue périodique pure est racine d’une équation du deuxième degré à coefficients coinmensurables.
Cette équation ayant une permanence et une variation , une de ses racines est négative (238)^ ainsi on rejettera cette racine, et l’autre sera la valeur de la fraction continue totale.
Si l’on veut revenir de la fraction continue que nous avons trouvée au n* 410 à la valeur d’où elle dérive, on posera
et, en formant les réduites successives, il viendra 1 3 4 11 11* + 4
partant
M+r=*- doi' s—
2° Admettons maintenant que la fraction continue c numence par quelques termes irréguliers , et soit •
» + etc.
DIS FRACTIONS COimNITR.
cette fraction. Appelons y sa valeur et x celle de la partie périodique : nous aurons
Si donc on désigne par y, la valeur de la partie irrégulière et
par jj, la réduite précédente, on aura (398’
Va: 4- U
mais nous venons de voir que
Nx-f-M
donc en éliminant x entre cette équation, qui est du deuxième degré , et la précédente , où x n’entre qu’au premier , il viendra une équation du deuxième degré en y , à coefficients rationnels; ce qui achève de démontrer notre théorème.
Comme les deux racines de l’équation finale en y pourraient être positives, on évitera la difficulté qu’il y aurait à distinguer celle qui est la valeur de la fraction périodique-mixte, en calculant d’abord la racine positive de l’équation [8] , et en la substituant ensuite dans l’équation [9].
* -SIS. Théorème VII. Réciproquement, les racines incommensurables d’une équation du deuxième degré à coefficients rationnels sont exprimées par des fractions continues périodiques.
Je considérerai d’abord une équation dont les racines aient des signes contraires, et soit
ax}-{-bx — c = 0 [10]
cette équation, les coefficients a et c étant des nombres entiers positifs, et b un nombre entier positif ou négatif.
* DES FRACTIONS CONTtNCTlS. 311
Je m’occuperai d’abord de la racine positive do cette équation ; son expression est ’ • .
— b-^-\Jby-\-iae — b-\-\Jn
en représentant par n le nombre entier b'-\-4ac. Pour développer cette racine en fraction continue, je chercherai d’abord le plus grand nombre entier qui y soit contenu, et si a est ce nombre, je poserai
et il s’agira de trouver la partie entière de la valeur de xt. Or, a-f — étant une racine de l’équation [10J, la substitution de
cette quantité à la place de x devra vérifier cette équation , de sorte qu'on aura
tt{m+x)'+b(*+è)-e=0'
d’où l’on tirera facilement
(aa’-f-fts — e)xf -f- [2a% -)- b)r1 + « = O [11]. Or, si l’on substituait les deux racines de cette équation dans la
relation x = <x-\- — , on obtiendrait les deux racines de la pro-
posée ; mais ces racines sont de signes contraires donc il faut que les valeurs de xx soient aussi de signes contraires, et que par conséquent le premier membre de l’équation qui les détermine ait une variation et une permanence (258), ce qui exige que a<x' -J- b* — c soit négatif, puisque a > 0.
Posons
ail-\-bz — e= — 0i, et 2ai-{-b— — 6,,
o, étant un nombre entier positif et b, un nombre entier de signe quelconque. L’équation [11] deviendra ainsi
(i\X J* -(- bxXi — n = 0 [12].
312 UES FRiCTlONS CONTINUES.
La racine positive de cette équation est
— b, 4- y/ b* -|- Aaai -i|-f y^i
X'~ 2a, ~ 2fl, .*
car bi 4" 4«fli — -J- b)' — 4« (a** -f- bu — c) = 6* -j-4<rc = n .
Soit «, le plus grand nombre entier contenu dans cette valeur de Xi , on posera
et, pour déterminer a?,, on substituera cette expression de xx dans l’équation [12] , ce qui donnera une nouvelle équation que l'on ramènera facilement à la forme
fljT.’-j- 6trt — fl, = 0.
Cette équation a ses deux racines de signes contraires et ses coefficients a , et bt sont liés par la condition b* -j- = n »
comme nous l’avons vu tout à l’heure pour ceux de l’équation [12].
La répétition du même calcul conduira évidemment à la suite indéfinie des équations
fli^i’4* bt- — a = 0 ,
pr
OlTj’-f ÔjX,— fl,= 0 ,
fl»Xs,4' — flt= 0 ,
dont les coefficients sont des nombres entiers liés entre eux par les relations
fSSI
b' -\-\uc — n,' fr,*4-4aai=« , I V4- n , !
et la racine positive de l’équation [10] a pour expression
■ Je
VJfcjt V
7t4*etc.
DBS FRACTIONS CONTINUES.
Pour démontrer que cette fraction continue est périodique, il suffit de prouver que l’une des transformées est identique avec l’une de celles qui la précèdent , car alors ces deux équations auront les mêmes racines.
Or, j’observe qu’il résulte des conditions [13], que les coefficients a, a,, a,, sont moindres que^, et que les valeurs absolues de b, b„ b,, bj... sont plus petites que \ n : par conséquent si l’on désigne par A le plus grand nombre entier contenu dans ^
et par k la valeur entière de -f- V " » on voit que quand on aura obtenu un nombre d’équations au plus égal à 2 hk (les valeurs de b, 6, , 6, , . . . peuvent être positives ou négatives), la transformée suivante aura nécessairement ses deux premiers coefficients identiques avec les deux premiers coefficients de l’une des équations qui la précèdent ; car en écrivant chacun des 2 k nombres ±1, ±2, ±3,...±2A: successivement à la droite des h nombres 1, 2, 3, ...A, on ne peut évidemment former que 2hk combinaisons. Cela étant , les troisièmes termes de ces équations seront égaux, puisqu’ils doivent satisfaire à la relation b*-j-4ac=n. Ainsi, si ai+r = a{, et bl+r — b, , comme on doit avoir W,+r -{- 4.7l+,i'i,+f, = n = b\ 4fl,ifl, , il en résulte que ; de sorte que les transformées atx\-\- btrt — a,,=0 et -f bi+rTt+r — ai+r- 1 sont identiques. Donc la ra-
cine positive de l’équation [10] a pour expression une fraction continue périodique.
*414. Pour s’assurer que la racine négative jouit de la même propriété, on changera x en — x dans l’équation proposée ; ce qui donnera la transformée
ax3 — bx — e = 0 ;
or, lu racine positive de cette équation est développable en fraction continue périodique, donc il en est de même de la racine négative de la proposée , puisque ces deux racines ont la même valeur absolue.
* 4 18. Considérons maintenant le cas où les deux racines de'
DBS FRACTIONS CONTINDBS.
l’équation du deuxième degré sont positives et distinguons deux cas, selon qu’elles auront la même partie entière ou des parties entières différentes. J’examine d’abord ce deuxième cas. Si on désigne par a le plus grand nombre entier contenu dans la plus grande des deux racines , celle-ci sera plus grande que a , mais l’autre sera, au contraire, moindre que « ; de sorte que si l’on
pose x —a -J- — , Xt devra avoir deux valeurs, l’une positive et plus grande que l’unité, et l’autre négative. Si donc, pour déterminer ces valeurs de ar, , on substitue « -f — au lieu de x dans l’équation proposée
ax * — 6a:-)-(; = 0 [14], ,
on trouvera une équation du deuxième degré dont les racines seront de signes contraires , et seront par conséquent exprimées par deux fractions continues périodiques , de sorte qu’en remplaçant successivement xt par chacune de ces valeurs dans
a -i-j on obtiendra deux pareilles fractions pour les racines
de l’équation [14],
J’observerai toutefois que la plus petite sera de la forme
a,-\- etc.
mais il est facile de la ramener à la forme ordinaire ; car cette expression revient à
a i = a— l+l I=a-l+^=«-l+ Jr ;
Xx ' Xi Xi X-
mais — — 1 -I - x donc
X\ — 1 1 Xi — 1
(«i — ll
*j-{- etc.
DIS FRACTIONS CONTINTHB.
Si «i était égal à l'unité, je poserais «,4-- — ; = y, et
ai -j- etc.
j'aurais
