partie entière , et je poserai x = a -j- ^ , et la transformée en

Xi aura ses deux racines positives et plus grandes que l’unité. Si ces racines ont encore la môme partie entière on posera

x,^= et l’équation en xt aura encore ses racines posi-

tives et plus grandes que l’unité. Mais en continuant le calcul des équations transformées successives , on finira par arriver à une équation dont les racines n’auront plus la même partie entière, sans quoi les racines de l’équation [14] seraient égales, puisqu’elles seraient exprimées par la même fraction continue. Les racines de cette dernière transformée seront donc des fractions continues périodiques, et par conséquent il en sera de môme de celles de la proposée.

*417. Enfin, si les racines de l’équation du deuxième degré sont négatives, on y changera x en — x, et on obtiendra une transformée dont les racines seront égales et de signes contraires aux siennes; ce qui ramènera au cas précédent.

C’est à Lagrange qu’est dû ce beau théorème , mais la démonstration qu’il en a donnée est moins simple que la précédente , qui a été publiée par M. Gérono, dans les Nouvelles annales de mathématiques.