Nous terminerons ce que nous avions à dire des frac

DBS FRACTIONS CONTINTES.

lions continues , en montrant comment on peut , par leur moyen , obtenir, sans tâtonnements , une solution entière de l’équation du premier degré à deux indéterminées

ax -f by — k.

Développons , en effet , le rapport ^ en fraction continue , et formons ensuite toutes les réduites. La dernière sera précisément puisque nous avons supposé a et b premiers "entre

eux (398). Si on appelle — la réduite précédente, on aura, comme on sait (397) ,

an — = rfc 1 .

Or, en multipliant tous les termes de celte identité par -f A ou par — A, selon que son second membre sera -f-1 ou — 1 , H viendra

±ankzçi bmk = k\ de sorte que si l'on pose

ar = ±nA et y = qzmk,

l’équation proposée sera vérifiée- On aura donc ainsi une solution de celte équation.

Soit , par exemple , l'équation

En réduisant — en fraction continue, et en formant ensuite les

réduites , on trouvera

Comme la dernière est de rang impair, on a

je multiplie tous les termes de cette identité par — 7, ce qui donne

donc on satisfera à la proposée en posant x = 26.7 = 182, et y = 11.7 = 77; de sorte que les valeurs générales de x et de y sont

419. Celte méthode montre que l 'équation proposée ne sera soluble en nombres entiers , si a et b ne sont pas premiers entre eux , qu’autanl que leur plus grand commun diviseur divisera k.

En effet , si on a a = a’d et 5= b’d , la dernière réduite sera ; de sorte qu’en appelant ^ la pénultième , on aura

a'n — b’m = ± 1 , d’où ± a’nk b’mk = k.

On posera donc

ax=±a'nk et by — zp b’mk ;

ce qui donnera

b'mk mk

et y = T— = =f-3- .

Mais ni et n étant deux nombres première entre eux , aucun des facteurs premiers de d ne peut se trouver à la fois dans »« et dans »; donc pour que x et y soient des nombres entiers, il faut et il suffit que k renferme tous les fadeurs premiers de d , c’est-à-dire que k soit divisible par d.