CHAPITRE XII

§ I. DES LOGARITHMES

420. On appelle logarithmes une suite de nombres en progression par différence , commençant pur zéro, qui correspondent, terme pour terme , a une pareille suite de nombres en progression par quotient, commençant par l'unité. Telle est la définition que, dans l’arithmétique, on donne des logarithmes (. Arith . , 280) ; on y démontre en outre que l'on peut prendre la raison de cette deuxième progression assez peu différente de l’unité , pour que la différence entre deux quelconques de ses • » termes consécutifs soit moindre que toute grandeur donnée (Arith., 334), de sorte que les termes de cette progression présenteraient toutes les nuances de la grandeur, à partir de l’unité. D’après cela , si ( q — 1) et r désignent deux quantités aussi petites qu’on peut l’imaginer, les deux progressions

ü....:q-,:q *:qr': 1

■r .... — 3r. — 2r. — r.O. r ,2r. 3r nr

formeront un système de logarithmes , et le terme nr, par exemple, de la deuxième, sera le logarithme du terme q" qui lui correspond dans la première *.

* Si l’on représente par a ta différence extrêmement petite qui existe entre q et l’unité, de sorte que q= 1 + *, et que l’on pose en outre r=«, les deux progressions ci-dessus deviendront

- Sm,...’ — 3« . — 2a . — a .0. a . îa . 3a.

et l’ensemble de ces deux progressions formera précisément le système de logarithmes que iïéper a considéré , et qu’en conséquence M. Lacroix a appelé le système népérien. On peut donc définir ce sytiime de logarithmes

IÆS LOtiAtUTHMKà HT VU LÏUHS APPLICATIONS.

Actuellement, si l’on pose q = ar, ce qui est toujours possible , car cela revient à représenter par a la puissance du degré - de q , la progression par quotient deviendra

.... : a-îr:n-5r :a~r :i :ur :a,r : a,r.... : a*': ....

en disant que c'est celui dans lequel la raison de la progression arithmétique est égale à la différence qui existe entre la raison de la progression géométrique et l’unité.

Si l'on veut calculer la base du système de logarithmes népériens , on se rappellera que la base d'un système de logarithmes est le nombre qui a l'unité pour logarithme ( Arith 286*}. Or, si (n + l) est le rang qu’occupe

l’unité dans la progression +0. a, 2a. 3a...., on aura 1 = »a , d’où n — ~ • et par conséquent le terme correspondant de la progression par quotient sera (!+*}*. On obtiendra donc la valeur de la base e du système népérien, en cherchant la limite vers laquelle converge la quantité (! + *)*, lorsque « tend versadro. Pour déterminer cette limite, nous remplacerons a par jj, et alors e sera la limite de la quantité , lorsqu’on

y suppose n = ®. En développant celte fonction, d’après la formule du binôme , ce qui est permis, puisque (n+1) désignant le rang que 1 occupe dans la progression ï0.*.2«.3* n est nécessairement un nombre en-

tier positif, il viendra

ou bien, en divisant chacun des p facteurs du numérateur du terme général par n, et le dénominateur par ne,

/1+iy=i

Maintenant , si l’on suppose que n augmente , les termes qui ont n pour dénominateur décroîtront , et lorsque n deviendra plus grand que toute grandeur assignable , ces termes deviendront plus petits que toute quantité donnée; donc la limite du second membre de l’équation précédente est

série dans laquelle p doit recevoir toutes les valeurs entières et positives 1 , 2, 3. 4, ... s mais nous avons appelé e la limite du premier membre ; donc,

DE» LOOAMTIIMES

Or, en la comparant avec la progression par différence ci-dessus , on verra que le logarithme de a*' sera nr, c’est-à-dire l’exposant môme dont le nombre constant a est affecté. Ainsi nous pourrons débarrasser la définition des logarithmes de toute idée de progression, en disant que le logarithme d un nombre est l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever un nombre constant a pour reproduire ce nombre. Cette nouvelle manière d’envisager les logarithmes étant une conséquence de l’idée que nous en avons donnée plus haut , nous aurons prouvé que ces deux définitions sont équivalentes, si nous démontrons que la première résulte aussi de la deuxième. Or, la chose est facile. Désignons en effet par x le logarithme d'un nombre quelconque b, nous avons a*=b, et si nous donnons à x toutes les valeurs en progression par différence, tant positives que négatives, dont la raison serait une quantité r, aussi petite que l’on voudra , nous trouverons pour les

en vertu du principe fondamental de la théorie des limites, et en donnant à p toutes tes valeurs ci-dessus , n viendra

e=,+,+ nî+no

série dont la loi est évidente et qui se compose d'un nombre infini de termes (583).

Si l'on prend pour valeur île t les » premiers termes de cette série , le premier des termes que l'on négligera élaut | j j--. l'erreur que l'on commettra sera plus petite que

en prenant, par exemple , pour valeur de e la somme des treize premiers termes de la série, l’erreur sera moindre que

< 0,00000 ooon;>.

Ainsi , on sera sûr des neuf premières décimales , cl on trouvera <-.2,1 1828 1*28, valeur facile à retenir, à cause de la période 1828.

valeurs correspondantes de b les termes de la piogrcssion par quotient

vr ... : a-*r : u~tr : ar' : 1 : ar : a* : a* : ....

En la comparant avec la progression par différence i... — 3r.— 2r. — r . O.r. 2r. 3r. ....

formée par les valeurs de x , on reconnaît que le logarithme d’un nombre est le terme d’une progression par différence , commençant par zéro, qui correspond à ce nombre placé dans une progression par quotient, commençant par l'unité.

421. Désormais nous dirons que le logarithme d'un nombre est l’exposant de la puissance à laquelle il faut élever un nombre invariable positif , et autre oi e l’unité , pour reproduire ce nombre , et nous appellerons système de looarithmes la série des logarithmes de tous les nombres possibles , pour une valeur particulière de ce nombre invariable , que l'on nomme la base de ce système. Ainsi un même nombre peut avoir une infinité de logarithmes ( Arith . , 286 *).

422. Dans tout système de logarithmes , le logarithme de lu buse est l'unité (Arith., 286‘) et celui de l’unité est zéro. En

effet , soit fait b = a , dans l’équation ar= b. On aura o* = «, équation qui ne peut être vérifiée que par x = 1 ; mais dans l’équntion a" —a, x désigne le logarithme de a; donc loga=l.

Supposons, en second lieu, que b soit égal à l’unité, on aura a* — 1 , ce qui ne peut être, à moins que x ne soit égal à 0; mais dans l’équation a?= 1, x représente le logarithme de 1 ; donc log t =0.

425. Nous allons maintenant établir les propriétés des logarithmes, en partant de la définition algébrique que nous venons d'en donner ; mais comme cette définition suppose qu'en élevant un nombre constant à des puissances convenables, on peut reproduire tous les nombres possibles , il sera bon de démontrer directement la vérité de ce principe. Pour cela, nous commencerons par prouver que si l’on fait croître l'exposant x c. . 21

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322 UES LOGARITHMES

d'unt manière continue la fonction a* variera aussi d'une manière continue.

Pour y parvenir, je donne kx une valeur quelconque m, et je vais démontrer d’abord que l’on pourra toujours trouver un

nombre entier n assez grand pour qu’en faisant x = m -f- - ,

la différence entre a" et am+" soit moindre que toute grandeur assignable 8.

1° Soit a> 1 , je dis donc que l’on peut satisfaire à l’inégalité

En effet, en divisant les deux membres de cette inégalité par o", on trouvera

d’où l’on tire

et il sera toujours possible de satisfaire à cette inégalité par une

valeur entière de n , car 1 -)- — >• 1 , et on sait que les puissances successives d'une quantité plus grande que l’unité sont de plus en plus grandes et croissent au delà de toute limite ( Arith 351).

2° Soit a < 1 , je dis que l’on pourra encore vérifier l’inégalité

am — a "<S;

car on en tirera facilement

, et on sait que les puissances successives d'une

quantité moindre que l'unité sont de plus en plus petites , et ont zéro pour limite (Arith., 332).

Cela posé, partageons l'unité en n parties égales, et donnons successivement à x les valeurs

les valeurs correspondantes de la fonction «* seront

et on voit , d’après ce qui précède , qu’en prenant n suffisamment grand on pourra rendre la différence entre une quelconque de ces valeurs et la suivante moindre que toute grandeur donnée , de sorte que si l’on conçoit que x croisse d’une manière continue depuis zéro jusqu’à l’infini, et que a soit > 1 , la fonction a* croîtra aussi d’une manière continue depuis l’unité jusqu’à l'infini , sans quoi elle devrait passer brusquement d’une valeur à une autre qui en différerait d’une quantité finie, ce qui est absurde, puisque la variation de cette fonction peut être rendue moindre que .toute grandeur donnée. Donc on reproduira ainsi tous les nombres plus grands que l'unité.

Si maintenant on donne à x les valeurs successives

les valeurs correspondantes de la fonction 0e seront

et, en prenant « suffisamment grand, on pourra rendre la différence entre une quelconque de ces valeurs et la suivante moin- • dre que toute grandeur donnée; d’où il suit que si l’on conçoit que x croisse négativement d’une manière continue depuis zéro jusqu’à l’infini négatif, a étant toujours > 1, la fonction a? décroîtra d’une manière continue depuis l’unité jusqu’à zéro; donc on reproduira ainsi tous les nombres plus petits que l'unité.

Observons que la fonction a* ne se réduit à zéro que pour x — — « , de sorte que le logarithme de zéro est l’infini négu-

32 i des logarithmes

tif, quand lu base est plus grande que l’unité, ce qui veut dire que quand une fraction tend vers zéro, son logarithme est négatif et croit au delà de toute limite.

Si a est plus petit que l'unité, on verra, en reprenant les raisonnements qui précèdent, qu’en faisant croître x depuis zéro jusqu’à l’infini positif, la fonction a1 prendra toutes les valeurs inférieures à l’unité, et qu elle deviendra successivement égale à tous les nombres plus grands que 1 , quand x croîtra négativement depuis zéro jusqu’à — » .

424. Il est important d’observer que la base d'un système de logarithmes doit être nécessairement un nombre positif autre que l’unité. Supposons, en effet, que a soit une quantité négative dont la valeur absolue est différente de 1 ; si on fait successive-

ân+T*'

ment x-

■ , la fonction a‘ aura une

valeur réelle et positive, dans le premier cas ; réelle et négative dans le deuxième, et imaginaire dans le troisième, de sorte qu’en donnant à x des valeurs suffisamment rapprochées, elle prendra des valeurs absolues, dont chacune différera de la précédente d’aussi peu que l’on voudra , mais cette fonction passera brusquement du positif au négatif et à l’imaginaire. Ainsi , quand on fera croître x d’üne manière continue, la fonction a* prendra une suite de valeurs discontinues , et par conséquent ne pourra point reproduire tous les nombres possibles.

a ne peut pas non plus être égale à l’unité, puisque toutes les puissances de -(- 1 sont égales à 4- 1 .

42Ü. La base d’un système de logarithmes étant nécessairement positive, on voit que la fonction a 1 ne pourra donner des nombres négatifs, que si l’on assigne à x des valeurs fractionnaires, dont le dénominateur sera un nombre pair ; mais alors cette fonction serait encore discontinue, de sorte que tous les nombres négatifs ne peuvent pas avoir des logarithmes. En conséquence on a rejeté ces logarithmes et on les a considérés comme des expressions imaginaires; ainsi si une question con-

duit à prendre le logarithme d'une quantité négative , nous conclurons qu'elle est impossible.

42G. Notre définition des logarithmes (421) étant complètement justifiée, noos allons examiner les propriétés qui en découlent.

Soient b, b', b"... des nombres quelconques et x, x\ ,r"... leurs logarithmes respectifs, dans le système dont la base est a ; nous aurons les équations

et si nous les multiplions membre à membre, il viendra (282)

a~*'+*u+--" = bb'V....

Mais, d’après la définition dés logarithmes, x-\- x'-\-x,,-\- ... est le logarithme du nombre bb'b"... \ d’un autre côté, x , nf, x"... sont les logarithmes respectifs des nombres b, b', -b"...; donc.

log bb'l/'... log b -f- log b’ -f- log b” + . .. ' .

Donc le logarithme d’un produit de plusieurs facteurs est égal à la somme des logarithmes de ces facteurs.

Si on divise membre à membre les équations

a* — b et «*’ = b',

on trouvera • -

Ainsi ( x — x’) est le logarithme de ; donc le logarithme du

quotient de la division de deux nombres est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur.

Si on élève à la puissance m les deux membres de l’équation ,a* = b, il viendra amI = bm,

ce qui exprime que mx est le logarithme de bm\ donc le logarithme d’une puissance quelconque d’un nombre est égal au produit du logarithme de ce nombre par l’ exposant de cette puissance.

DES LOGARITHMES

On verra de même que de l'équation

a* = b, on tire am=’!jb,

et qu’en conséquence le logarithme d'une racine quelconque d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre divisé par l’indice de cette racine.

427. Ces principes établis, il faut, pour en tirer parti, construire une table de logarithmes. On appelle ainsi un tableau à deux colonnes, telles que dans la première se trouve la suite naturelle des nombres entiers 1 , 2, 3, A,... jusqu'à une certaine limite, et à côté, dans la deuxieme, sont leurs logarithmes.

Pour fixer les idées, nous supposerons que l’on prenne le nombre 10 pour la base du système de logarithmes à construire, que la table doive s’étendre, comme celle de Callet, jusqu’à 108000 et donnerchaquelogarithmeàmoinsd’undemi-dix-millionième. Je remarquerai d’abord que l’on devra se borner à calculer les logarithmes de tous les nombres premiers moindres que 108000, puisque le logarithme du produit de plusieurs facteurs étant égal à la somme des logarithmes de ces facteurs, on obtiendra le logarithme d’un nombre composé quelconque, en faisant la somme des logarithmes de ses facteurs premiers. Mais , pour avoir ces logarithmes des nombres composés, chacun à moins d’une demi-unité du septième ordre 'décimal , avec quel degré d’approximation faut-il calculer ceux des nombres premiers? J’observe que la puissance de 2, qui est immédiatement inférieure à 108000, est la seizième, de sorte qu’un nombre qui ne surpasse pas 108000 renferme au plus 16 facteurs premiers; donc, pour que son logarithme ne soit pas fautif d’un demi-dixmillionième, il suffira que ceux de ses facteurs premiers ne le soient pas de la seizième partie d’un demi-dix-millionième,

C’est-à-dire de g-g^MOt)’ Or cette quantité est plus grande que

0,000000003 : en conséquence on calculera les logarithmes de tous les nombres premiers, chacun à moins de trois unités du neuvième ordre décimal, et on sera sûr que ceux des nombres

composés, qui ne surpassent pas 108000, ne seront pas fautifs , d’un demi-dix-millionième. Quand tous ccs calculs seront effectués , on supprimera les chiffres décimaux , qui seront d'un ordre inférieur au septième, en ayant soin de forcer l'unité sur celui-ci, quand il y aura lieu, et la table demandée sera construite. La question se trouve actuellement ramenée k résoudre F équation

dans laquelle b recevra successivement pour valeurs tous les nombres premiers moindres que 108000, à l’exception de 5, et à calculer dans chacune de ces équations la valeur de x, à moins de trois unités du neuvième ordre décimal.

Nous exceptons le nombre 5, parce que l’on obtiendra Son logarithme en retranchant le logarithme de 2 de celui de 10 (426), lequel est égal à l’unité (422).

428. Il convient donc de nous occuper de la résolution de l’équation précédente; mais pour plus de généralité dous considérerons l’équation

dans laquelle a et b représentent deux nombres positifs quelconques. Il peut se présenter deux cas principaux, suivant que a sera plus grand ou plus petit que l’unité.

Si a>l , b pourra être ou plus grand que 1 ou plus petit que 1 ; et s’il est > 1 , il pourra être ou > a ou <o.

Si a < 1 , 6 pourra aussi être plus petit que 1 , ou > 1 ; et si b est plus petit que 1, il pourra être ou ■<« ou >a. Nous aurons donc en tout six cas à examiner. Us sont compris dans le tableau suivant :

l*r Cas. a> 1, &>«.

Je remarque d’abord que, dans tous les cas, l’équation [1] ne pourra être vérifiée que par une seule valeur réelle de x , puis-

DES LOGARITHMES

que nous avons démontré que si x croissait d'une manière continue , la fonction ar croissait ou décroissait d’une manière continue, selon que a>l ou <1. Ainsi, lorsque x passera

par tous les états de grandeur compris entre — » et -J- ce , il y aura un instant et un seul où la fonction a' sera égale à b.

Cela posé, il est évident que si nous pouvons développer la valeur de l’inconnue x en fraction continue, nous calculerons ensuite cette valeur avec tel degré d’approximation que nous voudrons , de sorte que le problème que nous nous sommes proposé sera résolu. Je cherche donc à déterminer le plus grand nombre entier contenu dans x ;509), et, pour cela, je substitue dans l’équation [1] , à la place de x, la suite naturelle des nombres entiers 1, 2, 3, 4...*, jusqu’à ce que je parvienne à deux nombres consecutifs n et n-j-1, tels que l'on ait a'<^b et a*+'>b, et j’en conclus que la valeur de x étant comprise entre n et n -j- 1 , n sera le plus grand nombre entier contenu dans x. On posera donc

et il s’agira de déterminer le plus grand nombre entier contenu dans y. Cette valeur de x devant vérifier l’équation [1] , nous aurons, en l’y substituant,

équation d’où on tirera successivement

a,= —n, et &> — a [21,

en posant, pour abréger, Or, cette équation est de la

même forme que la proposée, car a" étant <6, e = ^>l , et u'*' étant on voit que «>— =c. On déterminera donc

* Je ne fais pas i=0 , parre que n étant supposé plus petit que b , il est tlair que x est > t.

Er DK LKDBS APPLICATIONS. • 320

U partit» entière de la valeur de y, comme on a obtenu le plus grand nombre entier contenu dans x , en substituant dans l’équation [2], à la place de y, la suite naturelle des nombres entiers 1, 2, 3,... jusqu’à ce qu’on parvienne à deux nombres consécutifs p et p-f- 1 tels que l'on ait cp<^a et e^1 > a , et alors, y étant comprise entre ces deux nombres, on posera

(on n’a pas frit y= 0, parce que cette quantité est>l, puisque

- représente une quantité plus petite que l’unité).

On substituera donc cette valeur de y dans l’équation [2], et, en posant pour abréger ^ = d , on trouvera

équation sur laquelle on agira, comme sur les deux précédentes, et ainsi de suite, ce qui conduira à une suite de valeurs telles que

etc.

* 1 tr 1 v

En remontant ensuite à la valeur de x, on trouvera que cette inconnue est exprimée par la fraction continue

■ r-f-etc.

2' Cas. 1, é>l, è<a. En faisant dans le premier membre de l’équation [1] , . -

x = 0, on trouve 1 < b, x= 1 , a > b ;

donc la valeur de x est comprise entre zéro et l’unité, et est ainsi moindre que l’unité. On posera donc

330 DES LOGARITHMES

ce qui donnera, en substituant dans [1] ,

«y = b, d'où by — a.

Or 1 et a> b ; ainsi cette équation rentre dans le cas précédent, de sorte qu'il est inutile de s’y arrêter.

3* Cas. a> J, 1. Si on fait croître x depuis zéro jusqu’à l’infini positif, a* croîtra aussi depuis 1 jusqu'à l’infini, et par conséquent cette fonction ne deviendra pas égale à b. Donc la valeur de x est négative. En conséquence , je pose

ce qui donne

a~* = b, ou bien \ = b, d’où av = T.

Or, a > 1 et ^ est aussi > 1 ; donc cette équation rentre dans

le premier ou dans le deuxième cas.

4* Cas. a< 1, ô<a. Si on fait croître x depuis zéro jusqu’à l’infini positif, la fonction o* décroîtra depuis 1 jusqu’à zéro, et deviendra par conséquent égale à b. Je substituerai donc à la place de x , dans l'équation [1], la suite naturelle des nombres entiers 0, 1, 2, 3, 4,... jusqu’à ce que je parvienne à deux nombres consécutifs n et n -f- 1 tels que l’on ait ü">6 et a'‘+t<ib, et l’on saura alors que, x étant comprise entre n et (n + 1), sa valeur est de la forme

y étant > 1. En substituant cette valeur de x dans l’équation [1], il viendra

a** = b , d’où c* = a,

en posant ~p — c- Or cette équation est de même forme que la proposée, car de a">ù et de a*+l < b , on tire = et

o<— = c. On la traitera donc comme la proposée, et ainsi de suite.

5* Cas. a<l, 6<1, 6>fl. On ramènera ce cinquième cas au quatrième, de même qu’on a ramené le deuxième au premier.

6* Cas. a<l, 6>1. On verra, comme dans le troisième cas, que la valeur de x est négative, et que la résolution de l'équation a*= b rentrera dans le quatrième ou dans le cinquième cas.

429. La valeur de x étant exprimée par une fraction continue, il est intéressant de savoir si cette fraction continue sera ‘ composée d’un nombre limité ou d’un nombre illimité de fractions intégrantes. Le premier cas aura lieu si la valeur de x est commensurable , et le deuxième si elle est incommensurable (595 et 596). Cherchons donc quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que la valeur de x qui vérifie l’équation a* = b soit commensurable.

Nous nous bornerons à examiner les deux cas où, a étant un nombre entier, b sera une quantité commensurable plus grande ou plus petite que l'unité.

Dans le premier cas, la valeur de x sera positive, et, si on la suppose commensurable, on pourra la représenter par ia fraction irréductible — . On aura donc alors n

an = b, d’où am=b

Or cette équation prouve d’abord que b est nécessairement un nombre entier, puisque les puissances d’une expression fractionnaire irréductible sont irréductibles; ensuite que a et 6 doivent être composés des mêmes facteurs premiers, sans quoi un même nombre pourrait être décomposé en deux systèmes de facteurs premiers , ce qui est impossible ; soient donc

a—p'qb'' et b = p‘,q*'r

en appelant p, q, r les facteurs premiers de a et de b; l’égalité précédente a" = 6" deviendra ainsi

p— gf-yr»

ce qui exige (Arith., 88) que

am — an , pm = p'n , ym = y'n ,

332 DES LOGARITHMES

égalités d’où l’on lire

«Pt

Ainsi lorsque a est un nombre entier, et que b est une quantité rationnelle plus grande que l’unité, pour que x soit commensurable, il faut que b soit un nombre entier, qu’il soit composé des mêmes facteurs premiers que a, et que les exposants de ses facteurs premiers soient proportionnels à ceux de a.

Ces conditions sont suffisantes , car si a étant de la forme

a = p'qb"', on a b — pm*qm'frn'i ,

m étant un nombre entier positif, il est clair que l’on satisfera à l'équation «* = b, en posant x = m.

Dans le deuxième cas , où b est une fraction irréductible ^ plus petite que l’unité , la valeur de x est négative , et , en la supposant commensurable, on pourra la représenter par — de sorte qu’on aura

a " = d’où l’on tire - = -T.

Mais deux fractions irréductibles ne peuvent pas être égales , sans être identiques ; donc

c" = 1 et =

La première de ces deux égalités donne c = J , et la deuxième exige que d soit composé des mêmes facteurs premiers que a et que les exposants de ses facteurs premiers soient proportionnels à ceux de a, et qu’ainsi a étant égal kpaqb\ b =

On prouverait, comme tout à l’heure, que ces conditions sont suffisantes.

450. Il suit de là que, dans le système de logarithmes vulgaires ou de Briggs*, c’est-à-dire dans le système dont la base est .

* C’est Briggt qui, sur l’inTitalion «le NSper, l’inventeur «tes logarithmes, a calculé le premier une table «te logarithmes correspondants à ta base m.

AT 1>K LKfitS APPLICATIONS.

10, il n'y u que les puissances de 10 qui aient leurs logarithmes comtnensuraüles, car puisque 10 = 2.5, si b est plus grand que l'unité, on doit avoir b =2". 5" = 10" ; et si b est moindre que

l’unité, il faut que b = = 10~".

4.1 1. Lorsqu’on a construit une table de logarithmes pour une certaine base a, on peut, sans recommencer tous les calculs que l’on a faits , obtenir un nouveau système de logarithmes correspondants à une autre base A. Désignons, en effet, par x le logarithme d’un nombre quelconque n dans le nouveau système ; on aura

et si on prend les logarithmes des deux membres de cette équa* lion, dans le système connu, il viendra

x log A = log n , logn . w 1

*=KïÂ=,08’,><i^r

Ainsi , pour passer d’un système de logarithmes à un autre , il f aut multiplier chacun des logarithmes du premier système par une fraction , dont le numérateur est l'unité , et qui a pour dénominateur le logarithme de la nouvelle base, pris dans f ancien système. Cette fraction se nomme le modi'lk (Arith., 333).

Pour faciliter ces calculs, on commencera par réduire la frac-

tion en décimales, puis on formera les neuf premiers multiples du résultat , ce qui ramènera nos multiplications à de simples additions, qui se feront très-rapidement; car, si l’on veut avoir x à moins d'une unité du septième ordre décimal , • par exemple, on calculera ces neuf multiples du module, chacun à moins d’une demi-unité du huitième ordre décimal , et comme on ne devra conserver que huit décimales, dans chaque produit partiel , chacun de ces produits renfermera en général un chiffre significatif de moins que le précédent. Sup-

UES LOGARITHMES

posons, par exemple, que l'on veuille calculer le logarithme de 7 dans le système dont la base est 2,71828 1828 (le système népérien, note du n° 420). Le logarithme de cette base est

0,43429 4482 et par conséquent le module est ■ ■ .}n -vrg-

= 2,30258 5093 ; ainsi il faudra multiplier ce nombre par le logarithme de 7, c’est-à-dire par 0,8450980; on devra donc additionner les huitième, quatrième, cinquième, neuvième et huitième multiples du module, mais après y avoir reculé la virgule de un, deux, trois, cinq, six rangs vers la gauche, puisque les chiffres 8, 4, 5, 9 et 8 représentent respectivement des unités décimales du premier, deuxième, troisième, cinquième et sixième ordre ; et , pour ne conserver que huit décimales dans tous ces produits partiels , on supprimera dans chacun autant de chiffres à droite que la virgule aura reculé de rangs vers la gauche , de sorte que le dernier de ces produits ne renfermera que quatre chiffres significatifs. On trouvera ainsi :

Produit par 0,8. 1 ,84206 807

Ainsi le logarithme demandé est 1,9459101.

432. Pour donner un exemple de l’application de la méthode que nous avons exposée plus haut pour résoudre l’équation o*=6 , nous allons calculer le logarithme vulgaire de 2 à moins d’un dix-millième. Il s'agira donc de résoudre l’équation

et le dénominateur de la réduite à laquelle on s’arrêtera différera peu de y/10000 = 100 (408). •

En substituant, dans le premier membre de cette équation,

la suite naturelle des nombres O, 1, 2,... on trouvera que x = 0 donne 1<2, x = \ 10> 2,

de sorte que la valeur de x est moindre que 1 ; on posera donc

ce qui donnera

10* = 2, d’où 2* =10.

En substituant, dans le premier membre de cette équation, la suite naturelle des nombres 1, 2, 3,... on trouvera que

y = 1 donne 2 <10,

ainsi la valeur de y est comprise entre 3 et 4 , et par conséquent

la “première réduite est Je pose donc «J

puis je substitue cette valeur de y dans l’équation 2*= 10, ce qui donne

2^* = 10, d’où 2* = ^ = ! et par suite ^ =2.

En traitant cette équation comme la précédente, on verra que '

donne |<2,

DES LOGARITHMES

île sorte que a tombe entre 3 et 4 , et que la deuxieme réduite est — . Je pose

çe qui donne

et |>ar suite

ou ce qui revient au même

On substituera dans le premier membre de cette équation la suite naturelle des nombres 1, 2, 3. .., et on trouvera ainsi que la valeur de u est comprise entre 9 et 10 , et qu'ainsi la troi - 28 ’

sième réduite est — . Comme le dénominateur 93 diffère peu de 100, j’applique à cette fraction la règle du n°402, et je trouve que l’erreur correspondante est moindre que Vô3~ 9^9 ’

fraction à fort peu près égale à 0,0001 ; cependant on n’est pas

sûr que la réduite — donne le degré d’approximation demandé.

En la réduisant en décimales, on trouve 0,3010, valeur qui n’est pas fautive d’un dix-millième.

Ou voit , par cet exemple , que la méthode que nous avons donnée pour calculer une table de logarithmes deviendrait réellement impraticable pour de grands nombres, aussi est-ce par d'autres procédés que les tables dont nous nous servons ont été construites. Nous y reviendrons plus loin en donnant les séries qui servent au calcul logarithmique (chap. XIII, § vi).

453. Nous n’entrerons pas ici dans les détails de ce qu’il y a à faire pour trouver, à l’aide d’une table, le logarithme d’un

KT UK LKl’HS APPLICATIONS.

nombre donné ou pour revenir d’un logarithme donné au nombre correspondant ; nous avons résolu ces deux questions dans nos Leçons d‘ Arithmétique avec tous les développements qu’elles comportent; mais nous avons alors admis ce principe dont il convient de donner la démonstration : lorsque l'on considère trois nombres suffisamment grands et tels que la différence des deux extrêmes est fort petite, les différences de ces nombres sont sensiblement proportionnelles aux différences de leurs logarithmes.

Soient d’abord n et»-f-a deux nombres, / et l-\-b leurs logarithmes, on aura

10' = n , 10I+J,= n-j-ü, d’où 10* = ■' “ = 1 -f- - ;

ce qui montreque la différence des logarithmes de deux nombres est d'autant plus petite que ces nombres sont plus grands et que leur différence est plus petite , car b, logarithme du nombre

-f ^ , tend vers zéro , lorsque ce nombre tend vers 1.

Considérons maintenant trois nombres n, n -f a et n -f- 2a qui forment une équidifférence continue, et soient /, l-\-b, l -j- b c leurs logarithmes respectifs : on aura

10' = n, 1 0I+* = «-)-«, ] 0,+*+' = tt + 2« ,

égalités d’ou l’on tire 10* =

et par conséquent

Or (c — 6) est le logarithme du deuxième membre de cette équation, donc (c — 6) sera extrêmement petit lorsque « sera très-grand et u très-petit. On voit donc que lorsque trois nombres très-grands forment une équidifférence continue dont la raison est très-petite, la différence c — b des différences h et c

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de leurs logarithmes est extrêmement petite , de sorte que ces différences sont sensiblement égales. C’est pour cela que l'on trouve, dans les tables, les mômes différences répétées successivement un assez grand nombre de fois et d'autant plus de fois que l'on s’éloigne davantage du commencement de la table , parce que les chiffres par lesquels elles diffèrent sont d’un ordre inférieur à ceux que l’on conserve. ? •

Soit maintenant « la commune mesure de trois nombres fort grands ; ces trois nombres pourront être représentés par n , n-\-(n , n-f-è* et regardés comme faisant partie d’une progression par différence dont a serait la raison. Mais, en vertu du dernier principe que nous avons établi, les logarithmes des termes de cette progression formeront sensiblement aussi une progression par différence, de sorte qu’en appelant p la raison de cette deuxième progression , les logarithmes de nos trois nombres pourront être représentés respectivement par /, /-}-ap,

/ — |— ; d’où l’on voit que l’on a sensiblement cette proporlion :

as, différence des deux premiers nombres, est à h*, différence des deux extrêmes, comme ajî, différence des logarithmes des deux premiers nombres, est à b,B, différence des logarithmes des deux extrêmes.

Ainsi se trouve établi le principe sur lequel on s’appuie pour faire usage des tables de logarithmes. Il resterait à examiner quelle est la limite de l’erreur que l’on commet en employant ce principe , mais c’est là une recherche à laquelle nous ne pouvons pas nous livrer ici.