IV. DE LA DIVISION

33. Nous allons d’abord supposer qu’il s’agisse de diviser un monome par un autre monome. La première chose à faire sera de déterminer le signe du quotient. Or, le dividende étant le produit du diviseur par le quotient, on voit que s’il est positif, le diviseur et le quotient auront des signes semblables (30) ; donc si le diviseur est positif, le quotient aura le signe -(- , et si Ifrdiviseur est négatif, le quotient aura le signe — . Au contraire, si le dividende est négatif, le diviseur et le quotient auront des signes contraires, de sorte que si le diviseur est positif, le quotient aura le signe — , et s’il est négatif, le quotient sera précédé du signe-}-. On pourra donc former le tableau suivant :

Dividende. Diviseur. Quotient.

D’où l’on voit que , dans le premier et dans le quatrième cas, où le dividende et le diviseur ont des signes semblables, le

quotient est positif, tandis qu’il est négatif dans le* deux autres, c’est-à-dire quand le dividende et le diviseur ont des signes différents. De là cette règle :

Donnez au quotient te signe -f -ou le signe — , suivant que le dividendeet ledi viseur auront des signes semblables au différents. On l'énonce encore en disant que

-f- divisé par -f- donne -j-,

144. Cette règle étant établie, proposons-nous de diviser un monome quelconque par un autre monome, en faisant abstraction de leurs signes ; par exemple, 45asbc‘(P par 5 a’bc. J’observe d’abord que le quotient de la division de deux monomes ne peut être qu’un monome (41). Cela posé, il suit immédiatement de la règle donnée au n“ 40, l* que le coefficient 45 du dividende étant le produit du coefficient 5 du diviseur par celui du quotient, on obtiendra ce dernier en divisant le coefficient du dividende par celui du diviseur; ainsi le coefficient du quotient est ±*=9; 2° que la lettre a, ayant dans le dividende un exposant plus grand que celui dont elle est affectée dans le diviseur, se trouvera dans le quotient, et que son exposant dans le dividende est la somme de ceux qu’elle porte dans le diviseur et dans le quotient ; donc cette lettre aura pour exposant, dans le quotient, la différence de ceux dont elle est affectée dans le dividende et dans le diviseur, c’est-à-dire qu’elle y aura l’exposant 5—2=3. Par une raison semblable, la lettrée entrera dans le quotient avec l’exposant 6 — 1 = 5; 3" quant à la lettre b qui est affectée des mêmes exposants dans le dividende et dans le diviseur, elle n’appartiendra pas au quotient, sans quoi elle aurait dans le dividende un exposant plus grand que dans le diviseur ; 4° enfin la lettre d , qui n’entre pas dans le diviseur, devra se trouver dans le quotient avec son exposant. Ce quotient est donc 9aV<f.

58. Les raisonnements qui précèdent n’étant point particuliers aux monomes que nous avons considérés , on en conclut la règle générale suivante :

Pour diviser un monome par un autre monome , divisez le coefficient du dividende par celui du diviseur et vous aurez le coefficient du quotient; écrivez à la suite de ce coefficient toutes les lettres qui ont dans le dividende un exposant plus grand que dans le diviseur , ainsi que celles qui n'entrent que dans le dividende, en donnant aux premières un exposant égal à la différence de ceux qu’elles ont dans le dividende et dans le diviseur, et en conservant aux secondes leurs exposants. Quant aux lettres qui portent le même exposant dans le dividende et dans le diviseur, elles ne doivent pas entrer dans le quotient. Il est d’ailleurs entendu que l'on appliquera la règle des signes donnée au n° 55.

Exemple. - - -I? =+2 aW/».

56. Nous avons vu tout à l’heure que quand une lettre est commune au dividende et au diviseur, on doit l’écrire au quotient avec un exposant égal à la différence de ceux dont elle y est affectée. La démonstration que nous avons donnée de cette règle suppose essentiellement que cette lettre a dans le dividende un exposant plus grand que celui qu’elle porte dans le diviseur, car nous avons posé en principe que l’exposant dont elle est affectée dans le dividende est la somme de ceux qu’elle a dans le diviseur et dans le quotient ; et pour qu’il en soit ainsi, si l’exposant du dividende ne surpasse pas celui du diviseur, il faut que l’exposant du quotient soit ou zéro ou un nombre négatif, ce qui ne peut être, d’après l’idée que l’on attache au mot exposant (14). Examinons cependant s’il ne serait pa6 possible de généraliser notre règle, c'est-à-dire de la rendre applicable à tous les cas.

1° Supposons que la lettre a ait le même exposant dans le dividende que dans le diviseur, et soit ainsi proposé de diviser a* par aT. Il est évident que le quotient de cette division est

Y unité : or, si l’on applique au cas actuel la règle que l’on veut généraliser, on trouvera a”-l’ = a0. Mais cette expression a0 ne saurait avoir aucun sens , ainsi que nous l’avons observé plus haut; nous pourrons donc faire sur elle telle convention que nous voudrons, pourvu qu’elle ne soit en opposition avec aucune de celles qui précèdent, et convenir, par exemple, que toute quantité affectée de l’exposant zéro sera un symbole qui désormais représentera l’unité, c’est-à-dire que a° = 1. De cette

manière, nous pourrons dire que^ = ar-r, et notre règle s’étendra ainsi au cas où une lettre a des exposants égaux dans le dividende et dans le diviseur. A

2° Soit maintenant à diviser aT par a’**. Si l’on'se rappelle que l’on n'altère pas le quotient d’une division en divisant le dividende et le diviseur par une môme quantité, nous diviserons a” et par ap, et nous verrons ainsi que

Or, si l'on applique la règle du n° 33 à la division de ar par ap+q, on trouvera ap-p~q=ar11, expression toutàfaitvide desens(i4). Nous pourrons donc faire sur elle telle convention que nous voudrons, et convenir, par exemple, que toute quantité affectée d’un exposant négatif est un symbole qui représente le quotient de la division de l’unité par cette quantité affectée du même

exposant, mais pris positivement, c’est-à-dire que cr" =

En conséquence, nous pourrons dire que^j = aT~t~q = o î.

Ainsi la règle donnée (33), pour diviser l’une par l’autre deux puissances d’une môme quantité, s'étend maintenant à tous les cas ; donc elle est générale.

37. 11 résulte de la règle du n° 33 que pour qu'un monome soit divisible par un autre, il faut 1° que le coefficient du dividende soit divisible par celui du diviseur ; 2“ que le diviseur ne contienne aucune lettre étrangère au dividende ; 3” que l’expo-

sant dont une lettre est affectée dans le dividende ne soit pas moindre que celui qu’elle a dans le diviseur. Quand toutes ces conditions ne sont pas remplies , on exprime le quotient sous forme fractionnaire, sauf à le réduire ensuite à sa plus simple expression, comme nous le verrons plus tard.

88. Venons maintenant à la division des polynômes. Nous en établirons la théorie sur le principe suivant :

Lemme. Lorsque deux polynômes et leur produit sont ordonnés suivant les puissances d'une même lettre , le premier terme du produit provient sans réduction de la multiplication du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur.

En effet, si l’on suppose les deux facteurs ordonnés suivant les puissances décroissantes d’une même lettre, il est évident que le produit de deux termes pris, comme on le voudra, dans ces facteurs, contiendra la lettre ordonnatrice avec un exposant moindre que celui qu’elle a dans le produit du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur (59); donc il ne pourra ni se réduire avec lui , ni passer avant lui : donc le premier terme du produit provient sans réduction de la multiplication du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur.

On démontrerait de la môme manière que le dernier terme, du produit est , sans réduction , le produit du dernier terme du multiplicande par le dernier terme du multiplicateur.

89. Proposons-nous actuellement de diviser un polynôme par un autre polynôme. Je les ordonne d’abord par rapport aux puissances décroissantes, par exemple, d’une môme lettre, et je conçois que le quotient soit ordonné de la môme manière. Cela fait, le dividende étant le produit du diviseur par le quotient, son premier terme sera sans réduction le produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient : donc en divisant le premier terme du dividende parle premier terme du diviseur, on obtiendra le premier terme du quotient. Mais le dividende étant la somme des produits partiels du diviseur par les différents termes du quotient, si on en seustrait le '

produit du diviseur par le premier terme du quotient, le reste sera le produit du diviseur par le polynôme formé des 2% 3*, 4*... termes du quotient, et par conséquent son premier terme sera sans réduction le produit du premier terme du diviseur par le second terme du quotient; donc en divisant le premier terme de ce premier reste par le premier terme du diviseur, on trouvera le second terme du quotient. En raisonnant sur ce second terme et sur le premier reste, comme on vient de le faire sur le premier terme du quotient et sur le dividende pro]>osé, on obtiendra le troisième terme du quotient et par sui te son 4% son 5*. .. termes. On poursuivra la même série d'opérations jusqu'à ce que l’on soit parvenu à un reste nul, ou à un reste tel que la division de son premier terme par le premier terme du diviseur conduirait à écrire au quotient un terme dans lequel la lettre ordonnatrice aurait un exposant plus petit que la différence de ceux dont elle est affectée dans les derniers termes du dividende et du diviseur", bans le premier cas, le polynôme qu’on aura obtenu sera le quotient exact, car puisqu’on a trouvé zéro, en retranchant du dividende les produits partiels du diviseur par les termes successils de ce polynôme, il s’ensuit que ledividende est le produit exact du diviseur par le polynôme trouvé, lequel est par conséquent le quotient cherché.

Mais si le reste dont il s’agit n’est pas nul, le quotient ne peut pas être un polynôme entier , sans quoi son dernier terme devant résulter de la division du dernier terme du dividende par le dernier du diviseur, la lettre ordonnatrice y aurait pour exposant la différence de ceux dont elle est affectée dans ces deux derniers termes, et par conséquent le reste correspondant à ce terme du polynôme trouvé aurait été nul, ce que nous ne supposons pas.

l'our obtenir tous les termes entiers du quotient, on devra, si 1 on a ordonné suivant les puissances décroissantes de la lettre

Ce sérail le contraire si l’on avait ordonné par rapport aux pu iiran ce* croissantes d’une même lettre.

principale, arrêter l’opération lorsqu’on sera parvenu à un reste dans le premier terme duquel la lettre ordonnatrice aura un exposant plus petit que celui dont elle est affectée dans le premier terme du diviseur. On suppose d'ailleurs que le coefficient du premier terme de chaque dividende partiel est divisible par le coefficient du premier terme du diviseur.

Dans le cas où le reste n’est pas nul , on complète le quotient , en ajoutant au polynôme qu’on a trouvé une expression • qui indique la division du dernier reste par le diviseur.'

Pour faciliter la soustraction du produit du diviseur par un terme du quotient, on change les signes des ternies de ce produit à mesure qu’on les forme, et on les écrit successivement au-dessous des termes qui leur sont semblables dans le dividende partiel correspondant.

Comme le produit du premier terme du diviseur par un terme du quotient est identiquement égal au premier terme du dividende partiel correspondant , on se dispense d’écrire ce produit et on barre le premier terme du dividende partiel.

On barre de même tous les termes , à mesure qu’on en fait la réduction.

CO. Exemple I. Diviser .

9a*x* — + 6a“ -f- 1 2 aV — 27 a*x* -{- a'x* -j- 34 «*x*

par 3«*x* -f- 4x‘ — 2a‘ — 5ax*.

On ordonnera ces deux polynômes par rapport aux puissances décroissantes de x , et on disposera les calculs comme ci-dessous : *' .

12a’j: — Zba'rf+Ua'z* — 27 a'vr'-f Oa'x'-f-a7!’ +GaVti4 — Sar’+SaV — 2a*

— mV-HStf**— 9 a*x> + 6a*x* laa’x*— Sa1*1— 3a‘

1" reste — 20aîi£+25a,ji— 27asx*+lSatx1

-f20a1i‘ — 25a*is4- 1 Sa1*1 — lOa'j?

2* reste — naV+ISa*.!*— Va x1

+ 12asi‘— ISaV-f 9a:x’ — 6a’

3* reste 0

Exemple IL Diviser a‘xs-)-a'x’ — «’x'-j-x1 — 2o’x* par a?— a*.

On ordonnera par rapport à a; et on exécutera ensuite les calculs qui suivent :

-}- aixK x* — aW — «*x -f- a*

— fl*X

La différence des exposants dont x est affecté dans le dernier terme du dividende et dans le dernier terme du diviseur étant 2 (ce dernier terme revient à — asx°), on reconnaît, à l’inspection du second reste , que le quotient ne sera pas entier ; car, en divisant son premier terme — o’x* par le premier terme x5 du diviseur, on est conduit à écrire au quotient un terme dans lequel l’exposant de x est 1 , c’est-à-dire plus petit que 2. Toutefois on a continué l’opération , afin d’avoir tous les termes entiers que le quotient peut contenir.

Ce quotient est x* — a’x* — a’x-f-a*

Exemple III. Diviser 1 -f- x -f- x* -}- x4 par isrX.Le dividende et le diviseur étant ordonnés suivant les puissances croissantes de x, on s’arrêtera à un reste dont le premier terme sera d’un degré supérieur à la différence 3 — 1=2 des degrés du dernier terme du dividende et du dernier terme du diviseur, car, en le divisant par le premier terme du diviseur, on serait conduit à écrire au quotient un terme où x aurait un exposant plus grand que cette différence.

Ainsi le quotient est l + 2x-j-3x*

01. Si le dividende et le diviseur, ou l’un deux seulement , renferment plusieurs termes où la lettre ordonnatrice entre à la même puissance, on mettra chaque puissance de celte lettre en facteur commun des quantités qu’elle multiplie (49) , en ordonnant d’ailleurs ces quantités elles-mêmes par rapport aux puissances d’une des lettres qui s’y trouvent; puis on ordonnera les polynômes proposés par rapport à la lettre que l'on a choisie pour lettre ordonnatrice , et on appliquera ensuite la règle du n° 89 ; car le lemme fondamental (80) sera vrai encore , dans le cas actuel. L’opération ne présentera pas d’ailleurs de difficultés nouvelles : seulement la division du premier terme du dividende ou d’un reste par le premier terme du diviseur pourra conduire à des divisions de polynômes , mais elles seront plus faciles à exécuter que la proposée , car les polynômes que l’on y considérera seront plus simples.

02. Exemple. Diviser 4bsx’ 4- 2b7 x — 6b‘x‘ — 4b* — 8b*x* 4- 6a‘x* — 3a‘b*x — 3asb*xJ -)- 5a6x’ -(- a* — 3a‘b’x — 7a'bV 4- 18ab*x — 20a*bkx* — 5a’bV 4* 24ab‘xs — a‘b*x’ par a* — 3b’x* 4- 3ab’x — 2b*4-2a’x* — bsx. Voici le tableau des calculs :

X •— 3aJb3

+24ab'

— Gab*

+ Ga’b'

— Ma’b*

+ l8aHr

*»+ eo'b3

— I2ab*

+ 4aJ6‘

+ 6 ab*

2a,|i,+3ab3|x+ a* — ' 16*— 3b’| — b3 —26*

Sa-li1 — 6ab’|z+ a*

DES OPÉRATIONS DE L’aLGÉBHE.

I" Division partielle.

6a‘— 5as**— 6** 2a1— 3b*

-fâû’ô' aa'-M**

2' Division partielle.

— \2uW — 40*** + 18»**-)- 6*5| 2û* — 36*

1 — 6a6* — 261 3e Division partielle.

93. Si le dividende contient une lettre x qui ne se trouve pas dans le diviseur, on pourra encore appliquer la règle générale à ce cas particulier, en ordonnant les deux polynômes par rapport aux puissances d’une lettre qui leur soit commune. Mais il sera plus simple d’ordonner le dividende et le diviseur par rapport à cette lettre x qui n’entre pas dans le diviseur ; puis on divisera par ce diviseur le coefficient de chaque terme du dividende, et on multipliera le résultat par la puissance de x qui se trouve dans ce terme. Ainsi, si le dividende est de la forme

A^ + Rr’ + C^ + Dx + E, .

et que le diviseur soit représenté par M , le quotient sera A.|B..C,,D . E

11 suit , en effet , de la règle donnée pour multiplier un polynôme par un monome , et de ce principe connu que pour multiplier un produit par une certaine quantité , il suffit de multiplier un de ses facteurs par cette quantité ( Arilhmé tique , 39), que si l’on multiplie ce polynôme par M, on obtiendra le dividende, et qu’ainsi il est bien le quotient demandé.

64. tes termes du quotient que nous venons de trouver ne peuvent se réduire les uns avec les autres, car ils sont tous dissemblables; ainsi, pour que ce quotient soit entier (18), il faut que chacun de ses termes le soit. Donc,

Pour qu’un polynôme entier soit divisible pur un diviseur entier , indépendant de la lettre par rapport à laquelle il est ordonné , il faut bt ul suffit que ce diviseur divise chacun des coefficients de cette lettre.

Oii. Si l’ou observe que l’énoncé du principe sur lequel nous avons établi la théorie de la division des polynômes revient au suivant î Le terme qui , dans le produit de deux polynômes, renferme une certaine lettre avec un exposant plus grand ou plus petit que tous ceux qu'elle a dans ses autres termes , provient sans réduction de la multiplication des deux termes qui , dans ces polynômes , sont affectés du plus grand ou du plus petit exposant de cette lettre , on en conclura que l’on peut se dispenser d’ordonner le dividende et le diviseur par rapport aux puissances d’une même lettre ; car, pourvu que l’on divise le terme du dividende qui renferme le plus grand ou le plus petit exposant d’une lettre quelconque par le terme du diviseur où cette lettre a le plus grand ou le plus petit exposant , on obtiendra un terme du quotient. Et si on opère de la même manière à l’égard du reste qu’on trouvera , en retranchant du dividende le produit du diviseur par ce terme du quotient, on aura un second terme de ce quotient , et ainsi de suite.