Théorème. Si l’on divise un polynôme

A -f Â|Xm“l -f- -f- Ajj'"-* + Am*

ordonné suivant les puissances descendantes de x par le binôme

* Les symboles A„, A,, A,,... représentent des quantités quelconques et s’énoncent A indice xéro, A indiceun , A indice deux.... Quant aux points que nous avons placés entre Aj*—1 et + A» , ils remplacent les termes que l'on sous-entend et que l’on suppose soumis b la même loi de notation que ceux qui les précèdent.

x — a, le reste indépendant de x que l'on trouvera sera le résultat même \Qam -j- A, a"-1 -f- Aja"-* . . . -f- A„

de la substitution de & à la place de x dans ce polynôme.

Supposons , en effet , que l’on ait effectué la division du polynôme proposé par x — a, et que l'on ait continué l’opération jusqu’à un reste indépendant de x, ce qui est possible, puisque chaque reste est au moins d'un degré inférieur d’une unité au précédent. En le représentant par R, et en désignant par Q le quotient auquel on sera parvenu , on aura nécessairement

-j- Aix”’-1 -j- AjX** — ... — j— Am ~ (x — fl) Q -j-R.

Cette égalité est vraie , quelque valeur que l’on donDe à x, puisque son premier membre n’est que le résultat des opérations indiquées dans le second ; donc , on peut y remplacer x par a, ce qui réduira le premier membre à

A0a" -j- Aifl"-1 -f- A|fl“~*-j- . . . -f- Am;

mais le terme (x — a) Q s’anéantit, à cause du facteur (x — a) qui devient zéro , tandis que Q acquiert alors une valeur finie , car ses termes sont en nombre fini , et chacun d’eux , ne renfermant pas x en dénominateur, prend une valeur finie pour x—a* ; donc le second membre de notre égalité se réduit à R , et cela indépendamment de la substitution de a au lieu de x, puisque ce reste R ne contenant pas x , cette substitution ne peut pas s’y effectuer, et il conserve après la valeur qu’il avait auparavant. Donc ,

R = A „am -J- Aja*-1 -f- Aja*-1 -j- . . . -f- A„ , ce qu’il fallait démontrer.

67. Si l’on veut connaître le quotient de Indivision du poly-

* On conçoit qu’en donnant au diviseur d'une division dont le dividende est constant une valeur suffisamment petite , on peut faire acquérir au quotient une valeur plus grande que toute quantité assignable , de sorte que, ce diviseur tendant vers zéro, le quotient tend vers l’infini. Nous reviendrons plus loin sur ce» considérations (137).

nome proposé par (# — a), on calculera les premiers termes du quotient de cette division, et on trouvera

A*i"+A, li—'+A,

i-’+A^ Ijc«-3+

+Aoo| -f A,o

Ati“-,+Ai |x“-,-f-A,

+Aia2l

+A«ol

+A«ojl

En comparant entre eux et avec le dividende les termes trouvés au quotient, on reconnaît d’abord que le premier terme s'obtient en divisant le premier terme du dividende par x, et que l’exposant de cette lettre diminue d'une unité, en allant d’un terme au suivant ; en second lieu, que le coefficient d’un terme quelconque se forme en ajoutant au coefficient du terme qui occupe le même rang dans le dividende le produit du coefficient du terme précèdent du quotient par a. Quant aux restes, on trouve chacun d’eux en ajoutant à la somme des termes du dividende sur lesquels on n’a point encore opéré , le produit du dernier terme obtenu au quotient par a. On est conduit, par induction , à regarder comme s’étendant à tous les termes du quotient et à tous les restes cette loi, que nous a manifestée la considération attentive des trois premiers termes du quotient et des restes correspondants *.

* Pour le démontrer, supposons celle loi vraie pour lesn premiers fermes du quotient et pour les restes correspondants : ce .«"• terme du quotient sera donc (A,-,+A.->a-f A«-jaM- ... +A«a"-|}*“-“ , et le n— reste sera en conséquence (A, + A.-iO + All-^», + ...H- A^Ji—' + A.,,!—"-' -f A,*#’*-*-' 4- .... Or en divisant le premier terme de ce reste par le premier terme x du diviseur, on trouve que le (n + !)*• terme du quotient est(A. + A»-,o + A,-K>,+...+A,o">tM-1. En retranchant du «"“reste, le produit du diviseur [x— a) par ce terme, on obtiendra le (n+i)“* reste, lequel sera (A.„+A.a4-A,-,aJ+ ... 4- .... ce qui s'accorde avec notre loi. On voit donc que si elle est vraie pour les n premiers termes du quotient et pour les n premiers restes , elle le sera pareillement pour le terme suivant du quotient et pour le reste correspondant. Mais elle a été vérifiée pour les trois premiers termes du quotient et pour les trois premiers restes ; donc elle l'est aussi pour le quatrième terme du quotient et pour le quatrième reste ; par conséquent , elle sera encore vraie pour le cinquième terme du quotient et pour le reste correspondant, et ainsi de suite : donc elle est générale.

08. H est bon toutefois d’observer qu’elle suppose que le dividende renferme toutes les puissances de x depuis la »«■*“*

jusqu’à la puissance zéro, de sorte que, s'il n’en était pas ainsi, il faudrait avoir bien soin de rétablir ces puissances de x dans ce dividende, en leur donnant zéro pour coefficient.

09. Si Ton remarque qu’en vertu de la loi que nous venons de trouver, le dernier terme du quotient sera f A m A -j- A ,n 3a* + •••• +Aort"“'), on conclura la règle pratique suivante, qui est très -commode pour trouver le quotient et le reste de la division du polynôme A„xra+ Alxm 1-f- A,x",’+....+A„ par (x — a): Multipliez le coefficient du premier terme par a, et ajoutez le produit au coefficient du second terme; multipliez la somme ainsi obtenue par a et ajoutez le produit au coefficient du troi- . sième terme; multipliez cette nouvelle somme par a, et ajoutez le produit au coefficient du quatrième terme ; et continuez ainsi jusqu’à ce que vous ayez employé tous les termes du dividende. La dernière somme sera le reste cherche, et par conséquent la valeur que prend le polynôme proposé pour x = a (06) ; et les sommes précédentes, prises dans l'ordre même où on les a trouvées, seront les coefficients respectifs du deuxième, du troisième, du quatrième .... termes du quotient ; ces sommes en effet ont pour expression

Ai-j-A«a, A» -j-A|fl -(- AqU1, A» — j— AjU-f- Ai^r-j-AgU*,....

A -j- A„ jfl -(- Am-jrt* -j- AgU*-1

et Am-t-Am^ia+AK-ja* -f-AoO”.

11 ne faut pas oublier de rétablir, dans le polynôme proposé, les puissances de x qui pourraient ne pas s’y trouver, en leurdonnant le coefficient zéro, comme nous l’avons prescrit au n” 08.

70. Exbmplb. Quels sont le quotient et le reste de la division de 2x‘ — 6x*+105x’-f- 20 par x-f 3?

Je rétablis dans le dividende la troisième et la première puissance de x qui y manquent, et j’ai ainsi pour dividende

DBS OPÉRATIONS DE lALGÈURB. 30

ÜJG1— 6æ*4" 0.at’+ 105«*+0.®4*20) «t, pour diviseur, a:-f 3 = x—( — 3). Ainsi a vaut ici — 3. On dira donc :

+ 3GX — 3 + 10o=— 3; .

Comme d’aiHeurs le premier terme du quotient est — = 2x\ on voit que ce quotient a pour expression

2x* — 12*r54-36x' — 3x + 9, et que le reste est— 7.

71. On déduit du théorème démontré au n° 66 plusieurs conséquences importantes, savoir :

1* Si a est une quantité dont la substitution à la place de x anéantit le polynôme A0xm+A1x"-,-(-A,xm-,4- .... + A. , ordonné suivant les puissances décroissantes de x , ee polynôme sera divisible par (x — a).

En effet, le reste A0a",-j-Ai«’n~,4-Aj't"'-I-j-....4-Amde cette division est nul, par hypothèse.

2° Réciproquement si un polynôme A0xra4L A|Xm 14- AiX“-’ 4- .... 4- Am ordonné suivant les puissances décroissantes de x est divisible par x — a, la substitution de & à la place de x anéantira ce polynôme;

Carie reste A„a"4- A,#**-4-)- A,a~-*-f- 4~ A* de cette

division doit être nul, puisqu’elle réussit.

3° La différence des puissances semblables et positives de deux quantités est divisible par la différence de ces quantités ; c’està-dire que, m étant un nombre entier et positif, ( xm — am) est divisible par (x — a).

En effet xm — «■ peut être regardé comme un polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes de a;, de sorte qu’on peut ainsi lui appliquer le théorème du n° 66; donc le reste de la division de xm — a" par x — a esta” — am=0; donc xm — am est divisible par x — a. ...

72. Si l’on forme le quotient de la division de xm — am par x — a, d’après la loi énoncée au n® 67, on trouvera :

xm — a"

■ =xm~' -(- axm~' -f a3x"~‘+ •••• + a”’-1-

On déduit de là que le premier terme du quotient de la division de x™ — ara par x — a est le premier terme du dividende dont on q diminué F exposant d'une unité; que l’exposant de x décroît d’une unité d'un terme au suivant, jusqu’au dernier , où il est zéro, tandis que F exposant de a augmente au contraire d’une unité, à partir du premier terme, où il est zéro, jusqu’au dernier, où il est égal à celui de x dans le premier terme du quotient. Tous les termes sont (f ailleurs positifs et ont l'unité pour coefficient.

Il est important de bien retenir cette loi dont les applications sont très-fréquentes.