Une fonction est dite continue, entre deux limites don

nées, forsqu’en faisant varier d’une manière continue les quantités dont elle dépend, elle est constumtnent réelle et passe par tous les étals de grandeurs compris mire ces limites. . . •

471. On appelle limite d'une fonction la valeur veri laquelle elle tend, lorsque la variable, dont elle dépend, converge ellemême vers une valeur déterminée. '

472. Si, dans une fonction de.r, on donne à cette variable un certain accroissement h, la fonction prendra un accroissement correspondant, positif ou négatif, et la limite vers laquelle tend le rapport de cet accroissement de la fonction à celui de la variable, lorsque cet accroissement de ta variable tend vers zéro, est ce qu’on appelle la fonction dérivée ou simplement la dérivée de la fonction proposée. Ainsi, la limite vers

laquelle converge le rapport r'' , lorsque h tend

vers zéio, est la dérivée de

475. Si cette dérivée est elle-môme une fonction de x, elle aura aussi une dérivée, .qui sera ainsi la dérivée de la dérivée ouja dérivée du deuxième ordre de ta fonction primitive. On pourra de même obtenir une dérivée du troisième ordre, puis une du quatrième ; et ainsi de suite.

On est convenu de représenter la dérivée d’une fonction par la même notation que cette fonction, mais en affectant d’un accent la caractéristique delà fonction. Ainsi, pour indiquer la dérivée de » ( x ), nous écrirons ' (x); par conséquent la dérivée de c’est-à-dire la dérivée du deuxième ordre de *(x,, sera représentée par f* (x), et, en général, la dérivée de l’ordre n le sera par ?" (x).

474. Une fonction quelconque de x peut être soumise à différentes opérations, de manière à constituer une nouvelle fonction, qui sera par conséquent une fonction d’une fonction de x. En considérant celte nouvelle fonction elle-même comme une variable, on pourra encore la soumettre aux opérations qui constituent une nouvelle fonction, et ainsi de suite, tes

fonctions obtenues de cette manière se nomment en général des fonctions de fonctions.

478. La dérivée d’une fonction de fonction est le produit des dérivées de chacune dé ces fonctions par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement.

Ainsi, soit une certaine fonction de x que je représenterai par u = F(x) ; soit y = /(«) une autre fonction composée d’une manière quelconque avec m, de sorte quey= /( F(x))=<j>(#) est une fonction de fonction de x ; je dis que la dérivée de y est égale au produit de la dérivée de f («) prise comme si « était une variable indépendante, par la dérivée de F (*), c’està-dire que

En effet, d’après la définition de la dérivée (472), on a

Mais cp (a;) = /*(«; ; u étant une fonction de x, cette égalité reste vraie en y changeant x en x -(- h ; or, pour cet accroissement h donné à x , la fonction de x représentée par u prend un certain accroissement que j’appelle k , on aura donc

donc :

? (x + A) — 9 (x) = f[u + k) — /\«), et par suite

et cette égalité subsistera toujours pour toutes les valeurs de h et les valeurs correspondantes de k. Or, lorsque deux quantités variables restent constamment égales entre elles, dans tous les états de grandeur par lesquels elles passent , leurs c> 24

limites sont égales ( Arith ., 237 j ; donc

?(*+»)-?,(*) lim *\ h k h

Or, le premier membre est?'(x), c’est-à-dire la dérivée de y. Le premier facteur du second membre est la dérivée f [u) de /■(«) formée en regardant « comme une variable indépendante; quant au second facteur, c’est la limite du rapport de l’accroissement de la fonction u = F (x) à celui de la variable x, ou F'(x), donc enfin

<?'(*)= Au) - F'(x),

ce qu’il fallait démontrer. .

47G. Il est facile d’étendre ce théorème important à un nombre quelconque de fonctions. Soient en effet les fonctions

D’après ce que nous venons de démontrer, on aura successivement

d’où l’on déduit, en multipliant membre à membre,

Ainsi, ce principe permettra de ramener la formation des dérivées d’une fonction de fonctions à celle des dérivées de chacune des fonctions qui concourent à la former.

* La limite d'un produit eit égale au produit des limites de ses facteurs. Soient en effet P + a, Q + {J deux facteurs ayant pour limites respectives P et Q, on a : (P -fa) (Q -f p)=PQ-f Pp + Q* + a?, et celte égalité subsistera quels que soient a et ji; donc, elle aura encore lieu lorsque P -fa et Q -f p auront atteint leurs limites; mais alors les termes Pp , Qa, ap , se réduiseut à zéro , et l'égalité devient : lim [(P -f a) (Q + P)} — PQ.

477. 11 résulte immédiatement de la définition des dérivées que la dérivée d'une constante est nulle. Réciproquement, si pour toutes les valeurs de la variable comprise entre les valeurs « et p, la dérivée d’une fonction est nulle , cette fonction est constante dans cet intervalle.

En effet , puisque la valeur de converge vers nous pourrons représenter la différence

— jp’(x) par une quantité « qui s’annule pour

h = 0, de sorte que l’on pourra représenter en général l’accroissement de la fonction <p(x) par A[?'(x)+«]. Ceci posé, je prends deux valeurs arbitraires de la variable, x0 et x, comprises entre a et fl; je partage l’intervalle x — x0 en n parties

égales, et je représente par h — — - — 0 l’une quelconque de

ces parties; h pourra devenir aussi petit que l’on voudra, puisque n est un nombre quelconque. En donnant à la variable les valeurs successives x0 , xa-\-h—x, , x1-t-A=Xj,....xn,-f h=x, et observant que par hypothèse la dérivée de la fonction est constamment nulle pour toutes ces valeurs, il viendra :

<f(x„-|-A) —f(x„) =btt,

<j>(x,4-A) — <?(x,j =At,,

i? -f A) — ® (x„-t) = Aj , .

ou bien :

?(*«)—? ta) =a«i,

<p (x) — 9 (av-0 = A’-n-t- D’où, en ajoutant membre à membre :

<p(x)— <p(xo)=A(e04-£i-)- A. nt,

en appelant t la plus grande des quantités tQ, t,.. Ainsi,

ç(x) — çfx0)<nA t.

Or, nh = x — x, est une quantité finie; quant au facteurs, il

372 THÉORIE DBà FONCTIONS DÉRIVÉES,

devient nul à la limite, lorsque l’on fait n— » , d’où A=0; donc alors la quantité ?(x) — Mais cette quantité ne

change pas de valeur; donc elle est toujours nulle; donc <p(x) = <p(x,) = constante.

478. Si deux fonctions sont égales ou ne diffèrent que par une quantité constante , pour toutes les valeurs de la variable comprises entre les valeurs a et fi, leurs dérivées sont égales.

Supposons que x variant entre a et p, les deux fonctions <p(x), t]/(x) restent constamment égales. Je dis que l’on aura <j>'(x) =5= 'f'C*)* En effet, on a par hypothèse:

d’où l’on tire, en retranchant et divisant par A ,

<p(x + A) — ?(x) <]/(x-f-A) — ij/(x)

Ces deux quantités ne cessant pas d’être égales pour toutes les valeurs de A , leurs limites seront aussi égales , c’est-à-dire

que ç (x)=tj/(x).

479. Réciproquement, si les dérivées de deux fonctions sont égales , pour les valeurs de la variable comprises entre a et fi, ces fonctions sont aussi égales ou ne diffèrent que par une constante.

Supposons , en effet , que les deux fonctions ne soient pas égales , et soit /"(x) leur différence, de sorte que :

, On aura, en donnant à x un accroissement A ,

?(x-f A)=±<Kx-fA)-f f{x + h)

d’où l’on tire

ç(x-t-A)— s,fx) A) — 4>(x) f(x + h)—f(x)

et à la limite :

or *'(x) = i)/(x) par hypothèse; donc f'(x) = 0, donc f(x) est une quantité constante (477).

480. Si nous nous reportons à l’expression A [«'(a-) -f «] par

laquelle nous avons dit que l’on pouvait représenter (477) l’accroissement <f(x-\-h) — <p(x) que prend la fonction fp(-r) pour un accroissement A donné à la variable , on en conclura que la fonction y (x) prendra des valeurs croissantes si la quart tité A[ç'(x)-f-t] est positive, décroissantes si cette quantité est négative, puisque ?(x-j-A) sera plus grand que ç(x) dans le premier cas, et plus petit dans le second. Or l’accroissement A donné à x est positif; donc on aura A[ç'(x)-|-i] suivant que <p'(x)-j-e^O. Mais f'(x) étant une quantité finie, et t décroissant indéfiniment avec A, on pourra toujours prendre A assez petit pour que la valeur absolue de ip'(x) soit plus grande que celle de e , c’est-à-dire pour que f’(x) donne son signe à l’expression <p'(x)-)-s. Donc ®(x-f-A) — ®(x) sera ^0 suivant que <p'(x)^0; donc, une fonction est croissante quand sa dérivée est positive , et décroissante quand sa dérivée est négative. -