Ca— »+(n»— 2)Ci— • "I

THÉORIE DES FONCTIONS DÉRrVÉES.

m(m-,2Ax~!h’+

(m-lXm-g)

(m— 2)fm— 3)(m— 4) 1.2.3

Ci— 4

h»+ ..+ Ah"

On voit que le terme indépendant de A est la fonction proposée <p(x) elle-même, de sorte que si, pour abréger, on convient de représenter par Ai , A,, A,... les coefficients respectifs de A , A*, A*,... on tirera facilement de l’égalité précédente

yfr+^-^A, + A,A + AjA* + ... + AA-‘.

Or, sil’on suppose que A décroisse indéfiniment, tousles termes qui, dans le deuxième membre de cette égalité , viennent après le premier, tendront vers zéro , de sorte que la limite de ce deuxième membre, et par conséquent celle du premier est Ai ; donc la dérivée de la fonction proposée <p(x) est le coefficient de la première puissance de h dans le développement de «p(x +h); ainsi

®' (x) = mAx"-’ + (m — 1 ) B*—1 + (« — 2) Cx"-5-)-. . . + T.

Si on compare cette déri vée à la fonction proposée, on verra que Pour former la dérivée d'une fonction rationnelle et entière dex, il faut multiplier chaque terme de cette fonction par l'exposant de x dans ce terme, et diminuer cet exposant d'une unité.

482. Or, le coefficient de — — ■ se déduit de celui de A d’après

la même loi ; donc il est la dérivée du deuxième ordre de la

fonction proposée. De môme le coefficient de — — — se déduit A*

de celui de —5 d’après cette loi; donc il est la dérivée du troi- <1.2

sième ordre de la fonction proposée, et ainsi de suite.

D’après cela, et en employant les notations dont nous sommes convenus au n° 473, la formule qui exprime le développement de pourra être écrite de la manière suivante :

ÿx + h) = ç(i) + t'(x)h + + <F(x) î^-3 4- ... + ?-(*) [I] .

' car la dérivée de l’ordre m du polynôme proposé est évidemment »n(i» — 1 )[m — 2)...{m — (m — l)jA. Elle est due au géomètre anglais Taylor , qui l’a donnée pour une fonction quelconque de x , et elle a été appelée en conséquence formule de Taylor. La démonstration que nous venons d’en donner exige que la fonction 9(2) soit algébrique, rationnelle et entière ; ainsi nous ne devrons appliquer la formule de Taylor qu’à de pareilles fonctions.

Cette formule , traduite en langage ordinaire , donne lieu au théorème suivant, qui est connu aussi sous le nom de Théorème des fonctions dérivées : Si dans une fonction algébrique, entière et rationnelle de X, on donne à cette variable un certain ■ accroissement h, et qu’on développe la nouvelle fonction suivant les puissances ascendantes de cet accroissement, le premier terme du développement sera la fonction proposée ; le coefficient de la première puissance de h sera la dérivée de cette fonction ; le coefficient de h* en sera la dérivée du deuxième ordre, divisée par 1.2, et en général le coefficient de h" sera la dérivée du nm* ordre de la fonction proposée , divisée par 1.2.3. ..n.

483. Si dans la fonction 9(3?) , on fait x=±a-j-h, a étant un nombre connu, elle deviendra y(a-\-h), eton aura évidemment la valeur de cette quantité, en faisant x=a, dans la formule [1]; donc

lia + h) = 9(0) + ç'fa'jh + + ?w(a)-J^3 + ... + V*!a)[ 2.^. m 12];

ainsi, pour obtenir la valeur de , on commencera par

former toutes les dérivées de y(x) , puis on remplacera , dans chacune et dans <p(x), x para, en effectuant ce calcul d’après la règle du n° G9, et il n’y aura plus qu’à substituer les résultats qu'on aura trouvés, dans le deuxième membre de l’équation précédente.

Exemple. Que devient »(x) = xs — 4x’+5x — 1, pour x=2-f‘h? On trouvera facilement que

par suite <p (2) = 1 ;

par conséquent

484. La dérivée d’un produit de plusieurs facteurs est égale à la somme des produits formés en multipliant la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres.

Soient U, V, X, Y... plusieurs facteurs dépendants de a:; si, dans chacun d’eux, on change x en x-f-A, ils deviendront respectivement

De sorte que, pour avoir la dérivée du produit UVXY. il faudra faire le produit de ces quantités , et cette dérivée sera le coefficient de la première puissance de A dans ce produit (481). Or, il est évident que, pour former ce coefficient, il faudra multiplier le coefficient de A dans chaque facteur par le produit des termes indépendants de A dans les autres , et additionner les résultats. Donc la dérivée du produit DYXY... est

U'VXY... + V'ÜXY...+X'UVY... + Y'DVX...+..., ce qui démontre le théorème énoncé.

485. Il suit de là que la dérivée de la m"** puissance d'une fonction rationnelle et entière de x est égale à m fois la dérivée de cette fonction, multipliée par la (m — l)m* puissance de cette même fonction ; qu’ainsi la dérivée de X" est ffiX'X*-'. En effet, X" étant le produit de m facteurs X , la dérivée de Xm, qui est égale à la dérivée X' de chaque facteur multipliée par le produit X’"-1 de tous les autres , vaut par conséquent m fois X X"-1.

Exbmplb. Quelle est la dérivée de

C’est

d’où l’on tire, en mettant 2(x* — 1)* en facteur commun,

488. Pour former la dérivée d’une fraction, il faut du produit de la dérivée de son numérateur par son dénominateur retrancher le produit de la dérivée du dénominateur par le numérateur, et diviser le reste par le carré du dénominateur.

Soit, en effet, cette fraction que, pour abréger, nous représenterons par F(x) : il s’agira de trouver la limite vers laquelle converge le rapport I— — ~ lorsque h tend vers zéro. En conséquence, je remplace x par x + h , et je trouve (482) :

*W+*pW*+VWj3 +

tw*

ou , en réduisant au même dénominateur , puis faisant la réduction ,

( VxW<*)-9{*W(*) ) h+ { MAM-* W VW 1 J3 + •• 4(*+àm*) •

On tire de là

F {x+h)-T [x) 1 4(*VW-*W(*) ) + ( * W9'(*)-?WW ) ~ + ...

h + x+h.'ift*) ’

Or, la limite du numérateur est évidemment <f(x)<p'(.z) — (p(ar>}/(:r); celle du dénominateur est ['}<*)]*; donc la limite

de ^ -‘l — c’est-à-dire la dérivée de ^ est

^(x)f'(x)—^xyy(x)

W*fl* , *

ce qu’il fallait démontrer.

487. Théorème. Si dans une fonction entière et rationnelle de x on fait croître cette variable dune manière continue, depuis a jusqu’à a et p étant deux nombres quelconques , cette

fonction variera aussi d’une manière continue.

Je désigne, en effet, par y(x) la fonction proposée, puis je partage la différence (5 — a en n parties égales, et je représente par h l’une quelconque de ces parties : h pourra devenir aussi petite que l’on voudra, puisque n est un nombre quelconque. Cela posé, je donne successivement à x les valeurs

«, a-|-A, a-f-24, a-f-3A,..., *-\-nhz=$,

et je dis que l’on pourra prendre h assez petite pour que l’une quelconque des valeurs correspondantes de la fonction diffère de la suivante d’une quantité moindre que toute grandeur assignable , d’où l’on devra conclure que cette fonction variera d’une manière continue , lorsque x passera par tous les états de grandeur compris entre a et p ; sans quoi notre fonction devrait passer brusquement d’une valeur à une autre qui en différerait d’une quantité finie , ce qui est absurde , puisque sa variation peut être rendue moindre que toute grandeur donnée. Soit donc a un quelconque des termes de la progression ci-dessus, autre que p. Je pose x=a-f- h, et il vient alors, d’après le théorème des fonctions dérivées (483) ,

. <p(a+A) = ip(a)-(-(f'(a)A-f<p''(a)^ + *"(a)j-|-j4-etc.; •

THÉORIE DBS PONCTIONS DÉRIVÉES.

d’où l’on tire

<f(a 4- +**(«)—+ ?»ro+etc- ta-

Or, ?'(*), <p"Car), étant des fonctions entières de x, il est

évident que <f'[a), ®*(a)^ sont des quantités finies, de

sorte qu’en donnant à h une valeur suffisamment petite , on pourra rendre chacun des termes qui composent le deuxième

membre de l’équation [3] aussi petit que l’on voudra ; il en sera donc de môme de ce deuxième membre, puisqu’il renferme un nombre limité de termes \ Notre théorème est donc démontré.

4B8. Il est facile d’étendre la formule de Taylor aux fonctions de deux variables. Soit, en effet, y) une pareille fonction, et supposons que l'on donne à a; et à y les accroissements respectifs A et k : il s’agira de trouver quel est le développement de <p(ar-f- A, y-|-A) , ordonné par rapport aux puissances et aux

* Si l'on veut déterminer la valeur qu'il faut assigner à A pour rendre la différence ?(a+A)— f(o) moindre qu'une quantilé donnée 8, on représentera par A la plus grande valeur absolue des quantités *'(a), Syy, ... et l’inégalité

Ç'(a)h + Tj " A> + yy^A* + — < ° .

sera évidemment comportée par la suivante :

AA (1 + A 4- tf + ... + h"-1) < K,

| hm

Or, la quantité l 4- A 4- A’ 4- ... 4- A*-1 = (72) ; donc l’inégalité pré-

cédente revient à