AA (I — A*) I— A

Mais A étant supposé moindre que l’unité, il est évident que le premier membre de cette inégalité est moindre que . de sorte que si l’on pose

<8i doù h<Â+l’

on aura, à plus forte raison,

380 THÉOWB DBS FONCTIONS DÉRIVÉES.

produits de ces accroissements. Or, il est clair que l’on arrivera à ce résultat si l'on change d’abord x en x -}- A, ce qui donnera y(x-\-/i,y); puis que, dans le développement de <p(;r-{-A, y), effectué d'après la formule de Taylor, on remplace y par y -f kt et qu’on applique encore cette formule aux fonctions résultantes. Mais il faut auparavant convenir d'une notation , car on sera conduit à regarder successivement * et y comme constantes et comme variables.

L’ordre de la dérivation sera toujours indiqué par le nombre des accents dont sera affectée la caractéristique de la fonction ; mais on donnera à la variable , par rapport à laquelle on aura dérivé, un indice qui fera connaître l’ordre de la dérivation relative à cette variable. Ainsi , ?n(av, y, ) , n étant égal àp-f- g, indique que l'on a pris la dérivée de la fonction f{x, y), p fois par rapport à x, et q fois par rapport à y. Toutefois, quand une seule des quantités xouy aura varié, nous conviendrons, pour plus de simplicité, de n’écrire que cette seule variable , entre parenthèses, sans lui donner d’indice ; ainsi

<f\x) et f'(xuf); <f'(y) et f'(x,yt);

<fn{x) et <?"(x„,y); <?n(y) et *%r, y J,

seront des expressions équivalentes. De même , au lieu de f^Xi, y,), on pourra écrire f"(x, y).

Ces conventions établies, changeons x en x-f- A, et il viendra

+ a, y) = ?(*. y) + . y) a + v’ (*5. y) y î + elc-

Si maintenant on remplace , dans cette équation , y par y -f k, nous trouverons

<?(i4-h,y-H)=9{x1y+k)+î';i„y+lt;h+<f'(iJ,y+k)|^+?"(T1,y-fWi-^+etc.

Mais, en vertu de la formule [1], on a

k7 ks

? (z, y + *) = ? (*, y) + ç' (*% y »)* + 9 (*» + clc‘

/çS

?' (*i. y + *)=?' (*n y) + v'(*i,y.)k + ?"(*■. y>)yj+ elc.

?" (x,, y + k) = <p' (*,. y) + ç"(r„ y,) If + elc.

?"(*>, y + *) = y) 4- etc.

elc.

THÉORU DBS FONCTIONS. DÉRIVÉES. 381

Donc enfin , en substituant dans l’expression précédente de #(x + A, y + A), on trouvera

ç{i+fc,y+*)=ç(*,y)+ç'(xi,y)h+ ç'(x.,yj^+ ?*(*», ÿ)^3+

+?'(*, V.)*W(*..yi)^+V'(*>. y.)1x3+ "

h? hk 5

formule dont la loi est très-facile à saisir.

Exemple. Soit f(x,y) = y> — Saxy-\-x*, on trouvera

ï\y) = W—Zax, -y-j = 3y, ,7273 = 1 1

?"(^i y)— — 3o, fm(x„yl)=0, fm(x„y,)= 0.

On a formé <p"(x, y) en prenant la dérivée de <p'(x) par rapport à y ; on a de même pris la dérivée par rapport à y de ®"(x), pour avoir f''xt> y). Donc

y(x-f- A, y-}~A)=ÿ* +3(x* — rty)A-f-3xA*-f-A'

— 3oxy 3 (y*— ax)k — 3aAA-f-A*

+x* +3yA*

489. Nous avons obtenu le développement précédent en changeant d’abord x en x-j-A, puis y en y-f-A; mais on aurait pu procéder dans un ordre inverse, c’est-à-dire mettre d’abord y-|-A au lieu de y, et ensuite x-}-A à la place de x, et il est évident que le deuxième développement aurait été nécessairement identique avec le premier ; alors, au lieu de prendre d’abord les dérivées de <p(x , y) par rapport à x, puis les dérivées par rapport à y, de ces dérivées , nous aurions opéré dans un ordre contraire ; donc cet ordre d’opérations est parfaitement indifférent. Ainsi, par exemple, pour former «(/"(xi , yd , on pourra prendre la dérivée de <p(x, y), d’abord par rapport à x, puis deux fois par rapport à y, ou bien deux fois relativement à y, et ensuite une fois par rapport à x.

§ III. DÉRIVÉES D’UNE SOMME, D’UN PRODUIT, D’UNE PUISSANCE, D’UN QUOTIENT.

490. La dérivée de la somme algébrique de plusieurs fonctions est égale à la somme des dérivées de chaque fonction prise avec son signe.

9oity = «-f-t> — w, u , t/, «>, étant des fonctions de a:. Donnons à x un accroissement h, d’où résultent pour y,u,v,w, les accroissements Av , A„ , Av , A. ; on aura :

A y — A y -|” kv kw ,

d’où :

et à la limite :

y' = »’ + »’ — tv',

en désignant la dérivée par la lettre de la fonction affectée d’un accent.

491 . La dérivée d’un produit de plusieurs fonctions est égale à la somme des produits des dérivées de chaque fonction par toutes les autres fonctions *.

1° Soit d’abord un produit de deux fonctions, y = uv. Donnons à a; l’accroissement h , et soient k¥, A., A., les accroissements correspondants de y, u, e; il viendra successivement

y “H ky (U -{- Ay) (v -f- Av)

y -j- k, = uv -f- vAv uk „ -f- kuk,

et cette dernière égalité subsistera lorsqu’on passera à la limite.

* Lesiiéraonslrations données aux n“ 484, 48S et 486 s’appliquent exclusivement à des fondions entières et rationnelles ; car elles ont élé déduites immédiatement de la formule de Taylor, et nous avons établi celle formule seulement pour de semblables fonctions (48Ï).

* fc fc

Mais alors le produit h\ devient nul, car le facteur

converge vers u', c’est-à-dire vers une quantité finie, et k, a pour limite zéro ; et l’égalité devient

y' = vu1 -f- uv’.

Si l’une des deux fonctions, v par exemple, est une quantité constante a, sa dérivée est nulle, et la dérivéte du produit y = au devient

y' — au'.

2° Considérons maintenant un produit de plusieurs fonctions ; et supposons que le théorème soit démontré pour un produit de m facteurs; je vais prouver qu’il sera vrai pour (»j-f 1} facteurs. Soit en effet y=t«. » . vxv un produit de(?«-f 1) facteurs ; je peux considérer comme effectué le produit tu... v, et regarder y comme le produit des deux facteurs tu ... v et w. On aura (1°)

ÿ =± w(tu . . . v)' -J- tu . . . vu/.

Mais d’après notre hypothèse, on aura

(.tu . . . v)' = tu . . . v' -f- 1 . . . vu' -f- u . . . vf -f- . . .

donc :

y' = wtu. ..v’-\-wt...vu'-\-wu...vt?-\-...J\-tu... vw', résultat conforme à l’énoncé du théorème. Or, nous avons démontré cette règle pour deux facteurs ; donc elle sera vraie dans le cas de trois facteurs; l’étant pour trois, elle le sera pour quatre et ainsi de suite ; donc elle est générale.

492. La dérivée d’une puissance quelconque d'une fonction est égale au produit de l'exposant multiplié successivement par la fonction élevée à une puissance moindre d’une unité et par la dérivée de la fonction.

l*r Cas. Exposant entier et positif. En supposant que tous les facteurs u, v, t ,. . . deviennent égaux à u, il vient évidemment pour la dérivée de y = «",

2* Cas. Exposant fractionnaire. Soit y = u’ ; il en résulte immédiatement

donc la dérivée de tf est égale à la dérivée de uT (478), c’està-dire que l’on a (1" cas)

çy’-'y' = pu'-V;

d’où :

et en remplaçant y par

3’ Cas. Exposant négatif. Soit y = tr”, d’où yu" = 1.

On en conclut que la dérivée de yti" est nulle '(477); donc y'u" -f- ytnu”-~'u = 0 [491 et 492 (1er et 2* cas)]

d’où

, ‘ yf = — mu-*-1»'.