S IV. DÉRIVÉES DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES

498. Considérons, d’abord la fonction y = au, dans laquelle la base a est constante et l’exposant u variable. Sa dérivée est, par définition, la limite de l’expression

lorsque h tend vers zéro.

Posons a* — 1 = « , a étant une quantité qui converge vers zéro , puisque a* converge vers l’unité. On en déduit :

ah = 1 -f «

Alogn = log(l -f*“)

loga

gOfa* I)

Par conséquent l’expression — — - devient a“ a log a a“ log a

•®g(l + “) Il0g(|-j-«)"

Or on a

^log(l+a) = log(l + a): = log(l4-^ ,

en posant a = ^, n tendant vers l’infini quand a tend vers zéro.

Mais ^1 -f- ^ converge vers e lorsque n augmente indéfiniment (430*); donc l’expression considérée a pour limite

nu locr fl

-i — — ; telle est la dérivée de o“.

loge

Si les logarithmes étaient pris dans le système dont la base est e, la dérivée de a* aurait pour expression a“./a, en désignant par la caractéristique l les logarithmes pépériens.

On conclut de là que les dérivées successives de la fonction e“ sont toutes égales à eu, c’est-à-dire à cette fonction ellemême.

490. Proposons-nous maintenant de trouver la dérivée de y = log u , c’est-à-dire la limite de l’expression

log (u-M) — logw*°^ (1 + w) h h

lorsque h tend vers zéro.

Posons - = a, d’où h = au , a tendant vers zéro en même u

temps que h ; l’expression deviendra au U °

Or, la limite de log (1 + a)* est log e (495) ; donc enfin , la dérivée de log u est 1^-^.

Si les logarithmes étaient pris dans le système dont la base

est e y la dérivée de log u aurait pour expression -.

497. Nous pouvons actuellement trouver sans peine la dérivée de la fonction exponentielle y — t>* dans laquelle la base

THÉOHIE DBS FONCTIONS DÉRIVÉES. 387

v et l’exposant u sont des fonctions d’une certaine variable indépendante x. On peut toujours, en effet, transformer une exponentielle à base variable en une exponentielle à base constante ; il suffit pour cela d’observer que v — a'0**, a étant la base du système de logarithmes considéré, d’où l’on déduit : y = »« = (o '**’)“ = au *•** = a*,

en posant s = u log t> = ^(x). Donc, en vertu du principe des fonctions de fonction (476)

^ =1^5 * '=l5"« (“ IT + log ")■

log»

log é

c’est-à-dire que la dérivée d'une exponentielle à base et à exposant variables est la somme des résultats que l'on obtient en considérant successivement la base et l'exposant comme étant seul variable.