V. DÉRIVÉES DBS FONCTIONS CIRCULAIRES DIRECTES ET INVERSES
498. 1» y =sin u. La dérivée de sin u est par définition la limite de l’expression
sin («-f- A) — sin u h ’
lorsque h tend vers zéro. Or, ( Trigon. 29 ),
sin (u+ A) — sin u==2 cos ^«4-^sin^i
donc :
. . . .. . 2 cos u-f-) sin s sins
sm («-f- A) — 8in M V V 2=co^m+A^ __2
Si maintenant on fait décroître A indéfiniment, cos -f-
l'HEUHIE UES PONCTIONS DEBINEES.
tend vers cos u, et
tend vers l’uuilé ( Trigon . <S3) ; donc la
ti
limite de l’expression est cos ». Telle est la dérivée de sin u.
2" y= cos u. La dérivée de cos u est la limite de l’expression
sin -
cos («-(-A) — cosu . / . A\ 2
=-sm(u+-)— ,
en observant que ( Trigon . 29),
cos(«-{-A) — cos u= — 2 sin (“ + 0 sin^ »
or, le premier facteur sin a Pour limite sin u, le second
facteurs pour limite l'unité; donc la dérivée de cos u est — sin u.
On pourrait dire aussi : la dérivée de cos u n’est autre chose
que la dérivée de sin Q — uj ; elle est donc égale à cos ^ j — t t'j
ou — sin u.
3° y = tang «. Si l’on observe que tang u = , et que la
dérivée du quotient - de deux fonctions quelconques uetva pour expression — — (494), on remplacera dans cette for-
mule u par sin u , v par cos «, u' par cos u, v' par — sin u, et on trouvera facilement, en observant que cos* u + sin* t» = 1,
5* y = séc u. On observera que séc u = » donc (404) sa
sin u sin w 1 . ,
dérivée est y = — j— = . = tang v séc w.
cos 1 « cos u cos w D
6“ y — coséc u. On trouvera d'une manière analogue y' = — cottt coséc w.
409. Occupons-nous maintenant de chercher la dérivée d'une fonction circulaire inverse, c’est-à-dire d’un arc considéré comme fonction d'une de ses lignes trigonométriques. En général, si l’on a une certaine fonction y — on en déduira la fonction inverse u = F (y) ; et il est facile de voir que le produit des dérivées de ces deux fonctions est égal à l’unité. En effet, on a identiquement w = F(/'(t/)); si donc on prend les dérivées en appliquant le principe des fonctions de fonctions (475), il viendra :
c’est-à-dire que F' (y) est l’inverse de f(u).
1“ y = arc sin u *. On en tire immédiatement :
m = sin y,
y étant une fonction de u; donc, en prenant les dérivées (475), il viendra :
1 — cos y. y',
d’où
y'= — • cos y
Mais cos y = db v;l — sin* y = dr^l — donc enfin
L’arc y est indéterminé; on sait en effet qu’il y a une infinité d’arcs ayant même sinus; tous ces arcs aboutissent à deux
* C'est-ft-dire y = l’arc donl’.le sinus est égal à «.
390 THÉ0MB DBS FONCTIONS DÉRIVÉES.
points distincts de la circonférence, et sont donnés par les deux formules
2Air-|-ct et (2A-|-l)it — a.
Or, il est clair que si a' désigne la dérivée de l’arc principal a, tous les arcs compris dans la première formule auront aussi a' pour dérivée, mais la dérivée de tous les arcs compris dans la seconde formule sera — a'. On devait donc trouver pour y' deux valeurs égales et de signes contraires.
2* y — arc cos u. On a « = cos y, et l’on en déduira comme précédemment :
On se rendra compte, comme plus haut, du double signe de y' en observant que y = 2 And: a.
3° y = arc tang u. On a u = tang y, d’où :
v/l+tang’y’
cos’ y
et partant, en observant que cosy =
Nous ne trouvons ici qu’une seule valeur pour y', ce qui doit être , puisque tous les arcs qui ont même tangente ne diffèrent que par une constante , étant tous compris dans la formule
4°y=arccot«. On trouvera facilement que y'=-~^,.
5° y=arc sécu. On en déduit w= sécy, et par suite l=tangysécy. rf
d’où en observant que tangy=±v' séc’y — 1 ,
6° y =arc coséc u. On trouvera sans peine y1—
±:u\Ju% — 1*
§ VI. DÉVELOPPEMENT BN SÉRIES DE LOG(1 — x)
