ET DE LOG
îSOO. Développement de log (1 — x). Si l’on divise 1 par 1 — x, on obtiendra facilement (387) la série indéfinie :
r-^— = 1 -+- x x? -j-x’-f- ••• + etc. [1].
Cette série est convergente si x est < 1 (383).
Or, d’une part, si l’on considère la série également convergente
*+ï+ï+ï+-+S+ett- “•
et que l’on forme sa dérivée , on retrouvera précisément (490 et 492) la série [1], D’une autre part, est évidemment la
dérivée de — ~^oj, ~~ ~ (490) *. Donc la série [2] et —
ayant des dérivées égales , ne peuvent différer que par une constante C ; donc :
log(l — x)r , , xt , , & ,
" loge -C + ^+2 + 3+T + -
et par suite
log(l— *)=— loge (c + x + ^ + | + J + -)-
Or, pour le cas particulier de a:=0, le second membre doit se réduire au logarithme de 1, c’est-à-dire à zéro; donc C=0, donc enfin :
log (1 — x) =— loge ^ . .. 4-^pi +•■■ •) [3]
* On a en effet, si «= 1 — x, d’après le principe des fonctions : dérivée de dérivée de (I— sr) = -f ^
ou, en prenant les logarithmes népériens :
(■yJk fjrX \
+i+t+-+2^ti+-)[4]'
801. Développement de log (1 + x). On obtient, en divisant 1 par 1 -J- x, la série convergente :
— -î — =: 1 — x -4- x* — a? -1- ... 4- x*“ — etc.
Le second membre est évidemment la dérivée de la série :
jJlW-l
x1 . x3 xi ,
• etc. ;
le premier membre est la dérivée de ^ ; et l’on arri-
vera facilement , en raisonnant comme au n° précédent, aux formules
/ Ail aJ AifE+l V
log(l+*)=loge(*— f+f-f+-.+^ + ...)[51,
Ces formules, comme les précédentes, supposent essentiellement que x est < 1 , autrement, les séries qui forment les seconds membres seraient divergentes.
802. Si l'on retranche l’un de l’autre les développements de log (1 — x) et de log (1 + x) , on trouvera :
1 og ( 1 -f x) — 1 og ( 1 — x) = 2 1 og e (x + ^ + . . . H- + . . . ) ,
l08(f=l)=sl0*e(*+f+-+^î+-)-
Posons actuellement :
d’où
viendra , en observant que log
Iog(n-fs)— logn,
Si l’on fait z= 1 , on aura :
i«(«+ 1)= io,. +Iio, '[ârfî+|(Sqr,)’+î(s!B),+ ...] m.
formule très-convergente , au moyen de laquelle on pourra calculer le logarithme d’un nombre quelconque (»-f- 1) , connaissant le logarithme du nombre précédent ». Or, on connaît le logarithme de 1, qui est 0; on aura donc successivement :
log 3=log2+2 log, [i+l(‘y+^0'+-]
803. En considérant le système de logarithmes dont la base est a, la formule [7] deviendra :
formule au moyen de laquelle on calculera facilement les logarithmes népériens des nombres.
Pour calculer les logarithmes vulgaires, dans le système dont la base est 10 , au moyen de la formule [7], il faudra commencer par déterminer le logarithme de e dans ce système. Or, on a :
lO'-F^e,
d’où en prenant les logarithmes népériens :
IogellO=le=l
l0*'=nô-
Il faudra donc calculer le logarithme népérien de 10, ce
qui est facile au moyen de la formule [8]. En effet :
on déterminera 12 en faisant n=l dans [8], et on en déduira 14 = 2. 12; puis, en se servant encore de la formule [8], on calculera 1(4 + 1) au moyen de 14.
§ m DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DE ARC TANG x.
504. Si nous développons le quotient de 1 par 1 + x*, nous obtiendrons la série indéfinie
série convergente, si l’on suppose que la variable x reste comprise entre 0 et 1 .
Or, le second membre est la dérivée de la série :
Le premier membre est (499, 3e) la dérivée de arc tang x (remarquons que x variant entre 0 et 1 , la fonction arc tangx
varie entre 0 et ^ et n’a qu’une seule valeur pour chaque valeur de x , de sorte qu’elle est définie d’une manière précise) ; on aura donc
arctangx = +| — j + ~y + .... [1]
(la constante est nulle , puisque le second membre doit s’annuler pour x=0). Cette série est convergente pour x ^ 1.
Si l’on observe que arc tang ( — x) = — arc tangx, on en conclura que
arc tang(— x)=+^^ — t^+t^ —etc.
La formule [1] est donc vraie pour toutes les valeurs de x, comprises entre — l et + 1 .
SOS. Si l’on suppose dans la formule [1] x=l, d’où arc tang* = ^ , il viendra :
