I“3+5 7+etC

Cette série est convergente (386): mais ses termes décroissent trop lentement pour qu’on puisse l’employer avec avantage au calcul du nombre «. On peut obtenir des séries beaucoup plus convergentes , au moyen du procédé de Machin , rapporté par M. Lacroix , dans l’introduction du Traité des calculs différentiel et intégral.

Ce procédé consiste à prendre une fraction assez petite pour la tangente d’un premier arc , et à répéter cet arc autant de fois qu’il est nécessaire pour obtenir celui de ses multiples qui

approche le plus de puis à calculer la tangente de la différence de ces deux derniers arcs, tangente qui n’est aussi qu’une petite fraction, et dont par conséquent on obtient l’arc par une série très-convergente.

Ainsi, soiti la tangente d’un arc a, pétant une petite fraction. Je calcule successivement tang 2 a , tang 3a , tang 4a, etc., en fonction de tang a = - , au moyen de la formule

tang(a-J-ù)

tang a -f- tang b 1 — tang a tang 6

( Trigon . 48),

d’où l’on déduit, en faisant b=a ,

2 tang a

tang 2a = - 4 ■ -T- ,

8 1 — tang'a

puis , en faisant 6 = 2 a,

, tang q-t- tang 2a

® 1 — tang a tang 2a ’

et ainsi" de suite. On arrivera ainsi à un arc ka dont la tan-

gente différera très-peu de tang ^ = 1. On calculera tang|

(* t \ 1 — tang ka 1

:\4 a)~ 1 +tangA«n’

et ~ sera également une très-petite fraction , puisque la différence j — ka est très-petite. Actuellement , en vertu de la formule [1], on aura :

*a=*arclang^=*[i-l (±)' + ;( \ (©'+•••]

d’où l’on tire enfin , en ajoutant :

série beaucoup plus convergente que la série [2],

Cette méthode peut évidemment conduire à différentes séries, puisque le point de départ est arbitraire. Si l’on part de

- —k, on trouvera:

tang 2 a :

puis

d'où l’on conclut

*“*(*•- î)-îfï-»-

^ = 2 arc tang £ — arc tang i.

En prenant — = £ , on aura

tang

tang 2 a = 5 ,

d’où

- = 2 arc tang J -j- arc tang

Si l'on suppose i = i, on trouvera successivement tang 2 « = ^ tang 4a =

valeur qui diffère très-peu de 1. On en déduira

“•(*■- j)=î+^=rf»

d’où l’on tire

^ = 4 arc tang { — arc tang ^

ï ==4 ti — biJ’+ili)* — • • •] — [rb — bïb)*+ s ($$?)*•••]»

formule remarquable par sa simplicité et sa convergence, au moyen de laquelle on pourra aisément calculer « avec un assez grand nombre de décimales.