Considérons une fraction dont les deux termes

sont des fonctions algébriques, entières et rationnelles dex, et supposons que cette fraction se réduise à g , quand on y fera x— a. Ses deux termes seront par conséquent divisibles (71,1*) par une certaine puissance de (x — a), de sorte que si on les divise par leur plus grand commun diviseur, on obtiendra une fraction dont les deux termes ne seront plus divisibles en même temps par (x — a); ainsi en y faisant x = o, on trouvera la limite vers laquelle tend la fraction proposée lorsque l’on donne à x des valeurs qui tendent vers a (140).

Mais il y a un moyen plus simple d’obtenir la valeur cherchée de la fraction car il n’est pas nécessaire de supprimer tous les facteurs communs à ses deux termes, mais seulement la plus haute puissance des facteurs (x — à) qui entre à la fois dans tous les deux. En conséquence, Je remarque que x = a + x — a, et comme les quantités f(a) et |(a) sont supposées nulles, on aura (485)

ou, en supprimant le facteur (x — a), qui est commun aux deux termes du second membre ,

m + W7I + 'Tw-fri + -

DUS QUANTITÉS QUI SE RÉDUISENT A g. 399

Or, si on fait x — a, le deuxième membre de cette équation se

réduit à ; d’où l’on voit que l'on obtiendra la valeur cher- Y («)

chée en formant une fraction dont les deux termes soient

les dérivées respectives des deux termes de la fraction proposée œ(x)

-gr— ' , et en y faisant x = a.

tW

Si la fraction se réduit aussi à g, par l’hypothèse de x—a, on la traitera comme la proposée, c’est-à-dire que l’on formera la fraction et on supposera x = a dans celle-ci , et ainsi

de suite, de sorte que la vraie valeur du rapport qui se présente sous la forme g , est le rapport des valeurs que prennent pour x = a les deux dérivées de même ordre des fonctions 9 (x) et v|;(x) qui, les premières, cessent de s'évanouir à la fois. Si l’une de ces deux dérivées devient nulle , la vraie valeur du rapport sera 0 ou «o ; elle sera, au contraire, une quantité finie si aucune de ces dérivées ne devient nulle.