CHAPITRE XY

814. Résoudre algébriquement une équation à une seule inconnue, c’est trouver une formule au moijrn de laquelle on puisse déterminer, en fonction de ses coefficients, toutes les quantités qui, substituées dans cette équation, à la place de l'inconnue, rendent ses deux membres identiques. Jusqu’à présent on n’a pu trouver celte formule que pour les équations des quatre premiers degrés, et encore celles qui sont relatives aux équations du troisième et du quatrième sont tellement compliquées, que l’on n’en fait presque jamais usage; et cependant il arrive souvent que l’on a besoin de résoudre une équation d’un degré supérieur au second. Il a donc fallu chercher des méthodes à l’aide desquelles on pût calculer directement toutes les valeurs ' numériques de l’inconnue d’une équation, pour tel ou tel système désigné de valeurs particulières des coefficients de ses différents termes. Tel est f objet de la résolution des équations numériques.

Ainsi, si nous considérons les deux équations

x * — 2ax -|-ô = 0 , et x1 — 2ax -J- 6 = 0 , on tirera de la première

x — a±\Jai — b;

et, au moyen de cette formule , on résoudra toutes les équations du second degré correspondantes à tous les couples de valeurs que l’on pourra assigner à a et à b, sans qu’il soit jamais besoin de répéter les raisonnements qui ont conduit à la formule , et seulement en y remplaçant a et b par leurs valeurs numériques. Mais il n’en sera pas de même de la deuxième, parce que, dans l’étatactuel de l’algèbre, on ignore la loi suivant laquelle ' ‘ la valeur de x dépend de celles de a et de b. Or, si l’on donne des

VHleurs numériques à ces deux coefficients, on pourra bien, à J’aide des méthodes que nous enseignerons, en traitant de la résolution des équations numériques, trouver toutes les valeurs de x , mais non-seulement il faudra faire un calcul particulier pour chaque racine, mais encore il faudra recommencer tous les calculs, lorsqu’on donnera d’autres valeurs à a et à b. On voit ainsi qu’il y a une grande différence entre la résolution algébrique des équations et leur résolution numérique. Néanmoins l’une et l'autre sont fondées sur un certain nomhre de théorèmes dont l’ensemble constitue ce qu’on appelle la théorie générale des équations.

lîltî. Nous ne nous occuperons, dans tout ce qui va suivre, que d 'équations algébriques, c’est-à-dire d’équations dans lesquelles l'inconnue n’entre ni comme exposant, ni sous aucun des signes log , sin, cos, tang, etc. Si l'inconnue se trouvait en ' dénominateur dans quelques termes, on commencerait par faire évanouir les dénominateurs , et s’il y avait des termes où l’inconnue fût placée sous un radical , on rendrait l’équation ra- * tionnelle, comme nous le verrons plus loin (chap. xvi, § u).

Nous supposerons, en outre , que l’on ait transposé tous les termes de l’équation dans le premier membre, ce qui rendra le deuxième nul ; ordonné ensuite ce premier membre par rapport aux puissances décroissantes de l’inconnue x, et dégagé le premier terme de son coefficient. L’équation proposée sera ainsi ramenée à la forme

xm Aj7b,— 1 -(- Bx"1- * -j- Cx*"-3 -J- . . . -j- Tar U = 0 ,

dans laquelle les lettres A, B, C,... T, U représentent des quan- ‘ tités quelconques, et où m désigne un nombre entier positif.

Si l’équation renferme toutes les puissances de x depuis la *«"• jusqu’à la puissance zéro, elle sera complète ; sinon elle sera incomplète. Mais on pourra la rendre complète, en y introduisant les puissances de x qui manquent, en leur donnant zéro pour coefficient. Ainsi , au lieu de l’équation

<r* — îax -f-6=r=0,

THÉORIE OÉNÉRAI.E DES ÉQt’ATlONS. • AQ7

on pourra écrire *

x'-f-O.x'-j-O.a^-f-O.x* — 2nx-{-&==0.

*316. Théorème 1. Une équation de degré qvelconqve, à coefficients réels ou imaginaires de la forme a-f-(3 \J — t , a toujours au moins une racine réelle ou imaginaire de cette forme ’. .

Nous commencerons par démontrer la vérité de ce théorème * pour les équations binômes

x"±il=0 et x**±y/ — 1 = 0. >

On voit d’abord que , quel que soit m , l’équation a* — 1 =0 sera vérifiée par x = 1 .

Si m est impair, l’équation x"-f- 1 = 0 le sera par x— — I.

Maintenant supposons que m soit un nombre pair, il sera de ta forme wi = 2\p, p étant un nombre impair; mais x*' r = (x^)'; si donc on peut trouver une valeur de x, réelle ou imaginaire, qui satisfasse à l’équation

cette valeur de x vérifiera nécessairement

(x’")' = — 1 , c’est-à-dire xm -f- 1 = 0.

Or, on tire de 1 équation x* = — 1, x— y' — 1, et ort sait (Arithm., 2i4)que pour extraired'une quantité quelconqueune racine du degré 2*, il n’y a qu’à extraire de cette quantité n raci nés carrées successi ves ; mais la première raci ne sera dry' — 1 ; et comme la racine carrée d’une expression delà forme — I est aussi de cette forme (284), on en conclura qu’il en sera de même pour là racine du degré 2“ de — 1 ; donc, lorsque m est un nombre pair, l’équation x"-|-l=0 a une racine de la forme « + P y'— 1.

Considérons maintenant l’équation

xm -f y— T = 0.

* C’est à M Cauchy qu’est due l'ingénieuse démonstration dfe ce théorème. •

Si m est un nombre impair, il sera de la forme 4n-j- 1 ou de la forme 4» + 3 ; mais nous avons vu (280) que