C-v=rr+,=— t/=ï, (4-s/— 1)^=— v/z-ï
donc, on satisfera à la proposée en faisant x — — y / — 1 ou *=+v/=ï, suivant que m sera égal à 4n -f- 1 ou à 4n -f- 3.
' Si m est un nombre pair, on pourra poser m = 2". p, p étant impair; et, en raisonnant comme plus haut, on verra que l’équation xm -\r \J — 1 = 0 aura une racine telle que ® + p y/— ï , si on peut trouver pour x une valeur de la même forme qui vérifié l’équation
x>' = — y/ — 1 ou = -|-y/ — 1, selon que p sera égal à 4n -j- 1 ou à 4n + 3. Mais les racines carrées successives de dr — 1 sont de cette forme « -+- p y/ — 1 ; donc il en est aussi de même de la racine du degré 2* de rfc \J — 1 .
On démontrera , de la même manière , que l’équation xm — y/ — 1 = 0 a une racine de la forme a + P y— î- Soit maintenant l’équation générale
xm -f Ax"*-’ -|- Bx"*-* -)- C-r"*-’ -f- ... -f- Tx -f- U = 0,
dans laquelle A, B, C,... T, U sont des quantités réelles ou imaginaires. Je dis que Ton pourra toujours assigner h y cl h s des valeurs réelles , telles que y -}- z y / — 1 soit une racine de cette équation que, pour abréger, nous représenterons par <p(ar) = 0.
La condition nécessaire et suffisante pourquey-j-s/^T soit une racine de cette équation est
ou , en développant et représentant par U la partie réelle et par \y — 1 la partie imaginaire,
Ü-f Yy/=î = 0.
Mais, pour qu’une expression imaginaire soit nulle, il faut et il suffit que son module le soit; par conséquent la question est
ramenée à démontrer qu’il existe au moins un couple de valeurs réelles de y et de s qui vérifient l'équation
v/Ü‘-bV* = 0. /
Pour y parvenir, nous prouverons d’abord que celte fonction de y et de s a un minimum qui répond à des valeurs finies de ces variables, et ensuite que ce minimum est zéro.
Je mets xm en facteur commun de tous les termes du premier membre de l’équation proposée ; ce qui donne
f . A . B . C , T , U } puis, je remplace x par y-\-z\/~ 1 , et il vient
u+vv/=i=(?+,^ïr
1 v+sJ—l [y+zd — l)
Soit ■' ■ ■ le terme général de l’expression qui est com-
[\)-\-zd — î) .. '
prise dans les accolades, et supposons que — 1 ! comme
le module du quotient d’une division estégal au module du dividende divisé par celui du diviseur (291), le module de ce terme général sera, en vertu de ce principe et de celui du n° 290,
Vs
mais ce terme général peut être mis sous la forme a Py/ — 1
(204), donc
-iƱZ-
d’où l’on voit que, si l’on fait croître au delà de foute limite, l’une des quantités y et s ou toutes les deux à la fois, ce moduleyV-fp* décroîtra indéfiniment , et par conséquent a et p décroîtront aussi indéfiniment; comme on en dira autant de tous les termes
■410 * TBÉ0RI8 C.é.XgRALK DES ÉQUATIONS.
du polynôme compris dans les accolades, à l’exception du premier, on voit que ce polynôme se réduira à une quantité de la forme
dans laquelle a et b pourront être rendues moindres que toute grandeur assignable , puisque ce sont des sommes de quantités qui décroissent toutes indéfiniment, lorsque l’une des quantités y et z , ou que toutes les deux croissent au delà de toute limite. On aura ainsi
Mais le module d’un produit de plusieurs facteurs est égal au produit des modules de ces facteurs, donc
v LJ* -f- v* = y/ff/’ + sT-vU +«)’+ $*•
Or, lorsque l’une des quanti tés y et s ou toutes les deux croîtront indéfiniment, le facteur y'fy’-f- augmentera au delà de toute limite; le facteur t -j- a)’-}- 6S tendra vers l’unité ; donc y/U* -f- V*
tendra vers l’infini ; et il n’atteindra cette limite que quand l’une au moins des quantités y et s deviendra infinie; car, pour toute autre valeur de ces variables \f(y'+z')m ne sera pas infini, et y/( 1 -(-a)’ -f- b* est toujours une quantité finie-
Ainsi la fonction y/tJ* -(- V* qui est toujours positive et qui peut croître indéfiniment avec y et s, a nécessairement un ou plusieurs minimums * ; or je dis que l’un de ces minimums est zéro. Nous le démontrerons en prouvant que, si y+- V — 1 est une valeur de x qui ne rend pas y égale à zéro, ou pourra
* En effet, si l’on pose *==+ y'U’-g V', et qu’on regarde x, y, : comme les tri»is coordonnées d’un même point, celte équation représentera une surface située tout entière au-dessus du plan des y t, que nous supposerons horizontal, et qui s’étend indéfiniment au-dessus de ce plan. Elle a donc, soit sur ce plan, soit au-dessus de ce plan, des limites qu’elle ne peut .dépasser ; or, les ordonnées de ces points-limites sont évidemment les minimums de + y/ÎF+V5. '
toujours assigner à x une autre valeur de la môme forme qui , substituée dans 9(x), donnera un résultat dont lé module sera plus petit que V*. . .
Posons, en effet, i étant une quantité
susceptible de devenir moindre que toute grandeur assignable, et t une indéterminée dont nous disposerons comme nous le jugerons convenable. Pour effectuer la substitution de cette valeur de x dans le premier membre de l’équation proposée, nous y changerons d’abord x en ar-f-A, ce qui donnera (482)
puis nous remplacerons dans cette-formule x par rj-\-z\J — t et h par «t. Le terme y(x) deviendra, comme nous l’avons supposé plus haut, U-j-Yy/ — 1, et une ou plusieurs des dérivées de y(x) pourront devenir nulles. Supposons que y'Çx) soit la première dérivée qui ne s’anéantisse pas par la substitution de y- f-s-y — 1 à la place de x , et désignons par R-|-Sy — 1 la valeur que prend alors le quotient de cette dérivée par 1 2.3...»:^ on trouvera, en représentant d’ailleurs par U'-j-VV — 1 ce que devient pour x = y-\-zJ — 1-J-et,
U' + V' s/~i =TJ + V y/=iT + (R + S + Gi"+,r; , ’.
en désignant, pour abréger, par G£*+,<"+1 la somme de tous les termes où et entre à une puissance supérieure à la nm*.
' tétant indéterminée, on pourra lui donner, comme nous l’avons dit plus haut, une valeur de la forme a-j-p^/ j t teue
que t"=ztl, et si l’on sépare en même temps les parties réelles et les parties imaginaires, on trouvera
V' = Y ± Se* -j- G"e"+i ;
d’où l’on tirera facilement
U'* -j- Y* = ü*+ V* dt 2 (ÜR + VS) *• + Ke"+I, ou bien • v • -
. U'*+ V'* =; D'-f - V* + { ±2 (UR -J- VS) -j- Kc } «•.
Or, il est évident que le terme Kt tend vers zéro en même temps que t , et qu'ainsi on peut assigner à s une valeur assez petite pour que celle de la quantité comprise dans les accolades ait le signe même de son premier terme ±2(UR-(-VS) ; donc, en prenant celui des deux signes -(-et — qui sera contraire à celui du binôme UR-|-VS, ce qui revient à poser <n=-j-l ou r= — 1, on aura
U'4-Y',<U*-fV\ ou ym-j- VCy/U' + V», ce que nous voulions prouver.
Si UR-(-VS=0, nous recommencerons le même calcul, en posant tn — ± y / — 1 , ce qui donnera
U,=U:^Se"-|-Gl£’,'*■, ,
V' = V±Rt"4-GH*+l ,
d’où
U'* + V'* = 0*+ Vq=2 (ÜS — VR) «•* + K,e»* ,• ,
et on conclura comme tout. à l’heure qu’on pourra prendre t assez petit pour que la somme de tous les termes qui suivent U*-J-V* soit négative , en posant <"=-(- y/— 1 ou t"= — y — 1 suivant que US — VR sera négatif ou positif; donc encore
Il est d’ailleurs facile de voir que l’on n’a pas US— VR=0; car, puisqu’on suppose ÜR + VS = 0, il en résulterait
(UR-f- VS)*+(US— VR)*=0, ou bien ,
U’R* + V*S* + U*S* + V’R* = (U* -f V*) (R* -f S*) = 0 , ce qui exige que l’on ait à la fois
U = 0 et V=0, et alors le théorème serait démontré ; ou R— 0 et S=0,
et alors f”(ÿ + £y' — l) serait nulle, et nous avons supposé le contraire.
Concluons donc que quand, pour une certaine valeur y -j- z \f— 1 de x , le module y/U'+V n’est pas nul, on peut assigner à x une valeur de la même forme qui soit telle que le module correspondant de ?{x) soit moindre que y/U* -|- V’ ; donc la valeur minimum de ce module est zéro, et par conséquent la valeur de x à laquelle répond ce minimum est racine de l’équation proposée ?{x) = 0. Notre théorème est donc démontré.
