Théorème II. Si a est une racine de l’équation

x“ + Ax"-‘ +Bx“-,+...+Tx -fü= 0, le premier membre de cette équation est divisible par le binôme x — a, formé en retranchant cette racine de l'inconnue.

En effet, le reste de la division du premier membre de notre équation par ( x — a) est

a" + Àa"-' + Ba“~* + . . .+ Ta + ü,

et ce reste est nul par hypothèse.

Scoue. Ce théorème est applicable seulement aux équations algébriques, rationnelles et entières par rapport à x , car celui dun” 60, sur lequel nous nous sommes appuyés, n’est vrai que

pour de pareilles fonctions de x. Ainsi x = 64 est une racine I- J. - '

de l’équation a.* — x*— «* — 2=0, et cependant son premier

membre n’est pas divisible par x — 64.

818. Théorème III. Une équation a autant de racines qu'il y a d’unités dans l’exposant de son degré.

Représentons, en effet, l’équation proposée par

l’indice m désignant son degré. Soit a, une racine de celte équation(816), son premier membre sera divisible par x— aj(7i, t»), et le quotient de cette division sera un^ polynôme du degré (m — 1), que je représenterai par X„, , de sorte que

Mais, si l’on pose l’équation Xm i=0, cette équation aura au

moins une racine que je désignerai par a,, et on verra, comme précédemment, que

X« i — — Car — (ii) Xm t !

par conséquent

Xm = (* — a,) (x — a,) X*,.

Posons X„,=0, et soit a, une racine de celte équation , on aura

et par conséquent

Or, nous voyons qu’à la première division nous avons mis en évidence un facteurdupremierdegré et un quotientduCm — 1)™*; à la deuxième, un deuxième facteur du premier degré et un quotient du (/« — 2,m"; à la troisième, umtroisième facteur du premier degré et un quotient du (m — 3)“*; donc, à la (m — l)m* division, nous aurons mis en évidence ( m — 1) facteurs du premier degré, et un quotient du jwi— -(m — l)}0" degré, c’est-àdire du premier; donc

X«=(x — adCa; — «d(ar — — am).

L’équation proposée aura donc pour racines les m quantités a,, «t , a,,... am, puisque, pour chacune de ces valeurs de x, son premier membre Xm deviendra nul.

Elle n’en aura pas davantage, car le produit

„ {x— ai) (x— a,) (x— a,). . . (x— a J

.ne saurait s’évanouir si l’un de ses facteurs n’est pas nul, et le facteur x — a,, par exemple, ne devient nul que pour x=a-i.

On peut dire encore que si x =« était une racine de Xm=0, différente des quantités a, , a,, il faudrait que le poly-

nôme Xm fût divisible par (x — a), ce qui est impossible, puisqu’il ne peut être décomposé que daqs un seul système de facteurs premiers (120).

«Ht, Corollaire 1. Le premier membre d’une équation du degré m est le produit de ni fadeurs du premier degré formés en retranchant chaque racine de l'inconnue*.

* C’est là un caractère propre aux fonctions algébriques, rationnelles et entières d'une seule variable, de pouvoir être toujours décomposées eu facteurs du premier degré. En effet, nous allons démontrer qu’une pareille fonction de deux variables x et y ne saurait être décomposée en facteurs du premier degré, d moins que l’on n’établisse certaines relations entre les coefficients de ses différents termes.

Considérons donc une fonction complète de deux variables x et y, dn degré m. Elle devra contenir tous les termes du degré m, tant en x qu’en y; tous ceux des degrés respectifs (m— I), (m— 2), ....3, 2, I et 0; donc, en l'ordonnant par rapport à x, elle pourra être mise sous la forme

J"-1 + a,yJ|x“-s + -f a,y"

+ bi j

+ ky

+ biy1

+ csy

+ ds

Ainsi le nombre des con tantes qui entrent dans cette fonction est

J + » + A + .. + (m + 1) = (NS).

Cela posé, si cette fonction est le produit de deux facteurs rationnëls fonction des et de y, il faut que le nombre des constantes contenues dans

ces deux facteurs soit m . Soit donc n le degré du premier, celui

du second sera (m — n); et par conséquent le nombre des constantes de l’un sera n , et celui des constantes de l’autre sera '*+*).

donc on doit avoir l’égalité

ou, en réduisant,

équation absurde, puisque n < m. Donc, etc. Celle démonstration a été donnée par U. A. Comte, dans le premier volume de son Cours de philosophie positive.

Si nous appliquons cette démonstration aux fonctions d’une seule variable, ia condition qu’elle exige sera toujours remplie, car le nombre des constantes d’une pareille fonction est uij une fonction du degré n en ren-

Donc, pour composer une équation qui ait pour racines des nombres donnés, il faudra égaler d zéro le produit des facteurs formés en retranchant chacun de ces nombres de x. On verra ainsi que l’équation qui a 2, 3 et — 1 pour racines, est

820. Une équation de degré quelconque, à coefficients rationnels, peut donc avoir des racines réelles ou imaginaires , corn mensurables ou incommensurables. Ainsi l’équation

a une racine commensurable + 1, deux racines incommensu-

râbles - et deux racines imaginaires ^ .

821. Corollaire II, Il n'y a de facteurs premiers fonction de x que ceux qui sont du premier degré par rapport à cette quantité.

822. St.olie . Le théorème III semble souffrir une exception lorsque, parmi les facteurs premiers dans lesquels son premier membre est décomposable, il s’en trouve d’égaux. Si l’on avait, par exemple, l’équation

(x— a)‘ (x — bf{x — c ) (x — d)—0,

il semblerait que cette équation n’a que quatre racines, quoiqu’elle soit du neuvième degré. Ellcn’aoneffetquequatre racines distinctes; mais, comme elle est satisfaite par toute valeur de x qui anéantit l'un des facteurs de son premier membre, et qu'il y a dans ce premier membre quatre facteurs égaux à {x — a), on dit qu’elle a quatre racines égales d a ; elle en a de môme

ferme n, et une fonction du degré (m— n) en contient (» — a); or, on a identiquement m=n + (m — n).

On peut démontrer le théorème dont 11 s’agit très-simpiemenl, en s’aidant de considérations géométriques. En effet, si une fonction de deux variables x et y pouvait toujours se décomposer en facteurs rationnels du premier degré, l'équation formée, en l’égalant à zéro, représenterait toujours un système de lignes droites, et jamais une ligne courbe.

trois égales à b, et comme elle a encore les deüx racines c et d, elle se trouve avoir effectivement neuf racines, ainsi que l’indiquait l’exposant de son degré.

Désormais, lorsque nous dirons qu’une équation a n racines égales à a, nous entendrons par là que son premier membre sera . divisible par (x — a)".

323. Nous pouvons actuellement démontrer un principe que nous avons déjà eu occasion de citer, savoir qu’««e racine a . autant de valeurs qu'il y a d’unités dans son indice. Supposons, en effet, que l'on demande la racine mm d’une quantité quelconque A, et représentons cette racine inconnue par x; nous ■ aurons

x" = À, ou xm — A = 0.

Or, résoudre cette équation, c’est trouver toutes les quantités qui, élevées à la puissance m, reproduisent À ; donc les racines de cette équation sont toutes les racines m”'1 de A; donc, puisqu’elle a m racines, ÿ'A a m valeurs.

Si l’on représente par a la détermination arithmétique de la racine m"* de A , c’est-à-dire la quantité que l’on trouve en extrayant la racine ?wn,*de A, d’après les procédés indiqués aux n°* 507, 295 et 360, suivant que A sera un nombre, un monôme ou un polynôme , on pourra poser x = uy , et alors l’équation

xm — A = 0, se réduira à y'“ — 1=0,

car a" = A. Or, les racines de cette équation sont les m racines tnme‘ de l’unité, donc pour obtenir toutes les valeurs de y' A, il faut multiplier sa détermination arithmétique par les m racines *• mm,‘ de l’unité.

324. Théorème IV. Le premier membre de toute équation dont les coefficients sont réels est toujours décomposablc en facteurs réels du premier et du second degré, de sorte que les racines imaginaires sont conjuguées deux à deux.

Si toutes les racines sont réelles, la chose est évidente (319).

THÉ0R1K GÉNÉRALE DES ÉyüATIOKS.

Supposons donc qu’il y ait des racines imaginaires et que “ + P \/ — - 1 soit une de ces racines- Il est évident que cette quantité sera aussi racine de l’équation du deuxième degré (x — a)*-)-fi’=0. Gela posé, effectuez la division du premier membre de la proposée, que je représente par «(x) =0, par [x — a)1 -(- P*, jusqu’à ce que vous soyez arrivé à un reste du premier degré par rapport à x; soient M-r-j-N ce reste, et Q le quotient, vous aurez

?(*)=Qi(x— «)*+|î>! + Mx + N.

Celte équation étant vraie quelle que soit x, on peut y faire x — a -f p y/— 1, et elle se réduira alors à

v 0=(M« -f- N)-j-Mp ^ — 1,

ce qui exige que l'on ait à la fois (289)

Ma+N=0 et Mp = 0; et comme p n’est pas nul, il faut que

M = 0 et partant que N = 0.

<ç(x) est donc divisible par {x — a)* -f-p*, ce qui démontre notre théorème, et prouve en même temps que les deux racines a± p \J — 1 de l’équation (x — a}1 -|- P’= 0 appartienne!! t à la proposée et qu’ainsi ses racines imaginaires sont conjuguées deux à deux.

82Ü. Nous avons établi que le premier membre de toute équation du degré m est le produit de m facteurs du premier degré formés en retranchant chaque racine de l’inconnue (dit» ; par conséquent on peut assimiler ce premier membre au produit de m binômes qui ont tous un même premier terme x, et dont les seconds termes sont les différentes racines de la proposée, prises en signes contraires. Il suit de là et delà composition d’un pareil produit (550) que le coefficient du terme gui en a n avant lui est la somme de tous les produits distincts que Von peut former en multipliant n à n les racines prises en signes contraires; mais si n est pair, ces produits, et par conséquent leur somme , ne changeront pas en prenant les racines avec

leurs signes; tandis que, au contraire, si w est impair, ces produits et leur somme changeront alors de signes. Nous pouvons donc établir la proposition suivante :

Théorème V. Dans toute équation complète, le coefficient du deuxième terme, pris en signe contraire, est égal à la somme des racines ;

Le coefficient du troisième terme est égal à la somme des produits distincts des racines multipliées deux à deux;

Le coefficient du quatrième terme, pris en signe contraire, est égal à la somme des produits différents des racines multipliées trois à trois; et ainsi de suite, en ayant le soin de changer Us signes des coefficients des termes de rang pair;

Enfin le dernier terme , pris avec son signe ou avec un signe contraire, suivant que l’équation est de degré, pair ou de degré impair, est le produit de toutes les racines.

320. Théorème VI. Les m relations qui existent entre les coefficients d’une équation et ses m racines ne peuvent pas servir à déterminer ces racines.

En effet , si entre les m équations qui expriment ces relations on élimine toutes les racines , à l'exception d'une seule , que j’appellerai a, on obtiendra une équation qui ne différera de la proposée qu’en ce que x y sera remplacée par a. En effet, comme a pe désigne pas une racine plutôt qu’une autre, l’équation, quelle qu’elle soit, qui déterminera la valeur de a, devra donner en même temps celles de toutes les autres racines b, c, d ... h; donc elle ne pourra pas être d’un degré inférieur à celui de la proposée. Elle ne sera pas non plus d’un degré plus elevé que m , car alors elle serait au moins du degré 2 m , d’après ce que nous venons de dire, et ainsi les équations qui expriment les relations qui existent entre les coefficients et les racines de la proposée , admettraient au moins deux systèmes de valeurs ; si donc on désigne ce deuxième système de valeurs par a’, b', d ... h\ les deux produits

( x — a){x — b){x — c)...(x — k) et {x — a') (x — b') (x — d) ... (x — k J)

devraient être égaux , de sorte que la proposée admettrait 2m racines. Donc l’équation qui déterminera la racine a sera l’équation proposée elle-même.

C’est au reste ce que l’on peut vérifier en résolvant directement les équations dont il s’agit. Pour le faire plus facilement, je représenterai en général par A„ la somme des produits distincts , que l'on peut former en multipliant n à n les racines b, c, dt... À; et en supposant d'ailleurs que

xm -f P,*-' -f- P,r“~* Pm -,2? -f- P«,x -f P„ = 0

soit l’équation proposée, les équations fournies par le théo-

rème V seront

Ai -J- a — — Pi ,

A»-f-Aia=-J-Pt,

Ai+A|0= — P,,

A«,, -(- A „ja =■ P„-i , A»i«’*=±Pm,

en prenant les signes supérieurs si m est pair, et les signes inférieurs si m est impair.

Dans ces équations A,, A,, A„ ... Am, sont des fonctions des racine-; b, c, d,...k; par conséquent, si nous éliminons ces (in — l) quantités entre elles, l'équation finale que nous obtiendrons ne renfermera plus que la seule inconnue a, et déterminera ainsi Ja valeur de cette racine. Pour opérer celte élimination , nous multiplierons la première équation par a”,t , la deuxième par — a”'-*, la troisième par am~ ', la quatrième par — a”-1, la (w — 1)”' parrfcq, et la mmt paripl ; puis nous ajouterons les équations -produits membre à membre. Nous

* Observez que la somme des produits distincts (m — 1) a (m — 1) des quantités b, c, d, ... k est précisément leur produit bcd...k.

THÉORIE GÉNÉRALE ibF.S Èy CATIONS. 421

trouverons de cette manière , toutes réductions faites et après avoir transposé , .

a"-f P,a— 1 -f Pja*-* -f P3a"“s-j + P„,a -f P„ = 0,

ce qu’il fallait démontrer.

827. Problème. Partager un nombre donné Pi en m parties telles que les sommes des produits différents que l'on peut former en les multipliant 2 à 2, 3 à 3 ... (m — 1) à (m — 1) soient des nombres donnés Pt, P>,... Pra t, et que leur produit soit égal àPm.

Il est évident que si l’on forme une équation du degré m qui ait — Pi pour coefficient de son second terme , -f- P« pour coefficient du troisième, — P, pour coefficient du quatrième ...

P„i pour coefficient du m"** terme, suivant que m sera pair où impair, et±P„ pour dernier terme, les racines de cette équation

xT — P,rm-' + P,x— * — Px**-’ . . . q= P„,x ±Pm=0

résoudront la question proposée, car elle ne peut avoir qu’une solution , puisque les équations de ce problème seraient précisément les relations qui existent entre les coefficients et les racines de l’équation ci dessus, et nous venons de démontrer que ces équations de relation ne pouvaient admettre qu’un seul système de valeurs.

1528. Il suit du théorème V que si les racines (F une équation sont toutes entières , les coefficients de cette équation , qui sont des fonctions entières de ces racines, seront entiers.

La réciproque de cette proposition n’est pas vraie , car une équation peut n'avoir que des coefficients entiers et ne pas avoir de racines entières. Telle est l’équation x* — 3x-f- 1=0.

829. Théorème VII. Si les coefficients d'une équation sont tous des nombres entiers , celui du premier terme étant toujours l'unité, cette équation ne pourra avoir pour racines commensurables que des nombres entiers.

Soit

-■ x~-|-Axm-l-f-Bxm-,-|- ...-j-Tx-f- U = 0

422 THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQt'ATIONS.

une équation dont les coefficients sont tous des nombres entiers,et supposons que la fraction irréductible | puisse être une de ses racines : on aura l’identité

d’où, en multipliant tous ses termes par bm~\ et en isolant le premier dans le deuxième membre ,

A a"*-1 + B bar-' + . . . + Tè—’a -f- Uè"~' =— ®".

Or, cette égalité est impossible, car son premier membre est un nombre entier, tandis que le second est fractionnaire, puisque b, étant premier avec a , ne peut pas diviser a" ( Arith. , 85 ). Donc aucune quantité fractionnaire ne peut vérifier l’équation proposée.

830. Corollaire. Si, parmi les racines commensurables d'une équation , il y en a de fractionnaires , tous ses coefficients ne seront pas des nombres entiers.

831 . Il suit encore du théorème V que quand une équation a toutes ses racines réelles et positives elle est complète, et son premier membre n’a que des variations (38); au contraire, elle n’aura que des permanences, si toutes ses racines sont réelles et négatives.

832. Réciproquement 1° lorsqu’une équation complète* n’a que des variations, toutes ses racines réelles sont positives; car, si on substitue une quantité négative quelconque à la place de x, tous ses termes (le degré impair changeront de signes, tandis que les autres conserveront ceux dont ils sont affectés. Le résultat sera donc une somme de quantités toutes de mêmes signes, et, par conséquent, ne pourra pas être nul.

2” Si une équation complète or incomplète n’a que des perma-

* Cette rcslriction est nécessaire. Par exemple, l’équation incomplète (t — 1)(® — 2)(i -f 3) = s3 — Ij + 6 = 0n’a que des variations et elle a une racine négative.

ntnces, elle ne peut avoir pour racines réelles que des quantités négatives, car la substitution de tout nombre positif, dans son premier membre, donnera unè somme de quantités positives qui , en conséquence, ne pourra pas être égale à zéro.

Ces deux derniers principes ne sont qu'un cas particulier d’une proposition beaucoup plus générale, connue sous le nom de règle des signes de Descartes, du nom du grand géomètre qui l’a découverte. En voici l’énoncé :

533. Théorème VIII. Une équation complète ou incomplète ne peut pas avoir plus de racines positives qu'elle n’a de variations, ni plus déracinés négatives qu'il ne se trouve de variations dans l’équation obtenue en g changeant x en — x ; et si toutes ses racines sont réelles, elle a précisément autant de racines positives que de variations, et autant de racines négatives qu’il g a de variations dans sa transformée en — x.

En effet, on peut toujours regarder le premier membre de l’équation proposée comme résultant de la multiplication du produit des facteurs du premier degré correspondants h ses racines positives par le quotient obtenu en le divisant par ce produit; d’après cela, il est clair que si l’on démontré qu’en multipliant un polgnome quelconque par un facteur (x — a), dans lequel a représente une quantité positive, le produit aura au moins une variation de plus que le multiplicande, on devra en conclure qu’en multipliant le quotient, dont nous venons de parler, successivement par chacun des facteurs du premier degré correspondants aux racines positives de l’équation proposée, le premier membre de cette équation, que l’on retrouvera ainsi, renfermera au moins autant de variations qu’il y a de racines positives; de sorte que la première partie de la règle de Descaries sera ainsi démontrée.

Considérons donc un polynomeordonnésuivantles puissances descendantes de l'inconnue x. Soit xm son premier termô ; — Na:" son premier terme négatif; -)- Pa:’’, le premier terme positif qui vient après ; — Qa-Î, le premier terme uégatif qui le suit, etc. Soilenlin ±Tx' le premier d’une série de termes qui.

Mi THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS.

jusqu’au dernier inclusivement, ont le même signe, etdbV ce dernier terme du polynôme, qui sera ainsi :

x*+..,— Nx"— ...-{-Px*4-...— Qx’— ...±T.r,±...±V [j].

Multiplions ce polynôme par { x — a), a étant une quantité positive. Il est clair que le premier terme du produit sera xm+1 (88); que le coefficient de x*+1 sera négatif, car il sera la somme de — N et du produit par — a, du coefficient du terme précédent, lequel est positif (ce coefficient est zéro, s'il n'y a 'pas dans le multiplicande de terme en x"J1). On verra de la même manière que les coefficients de xp+I, x,+l,... x,+l auront les mêmes signes que les coefficients respectifs de xp, a?,... x‘ dans le polynôme multiplicande. Quant au dernier terme , il sera zp\a. Le produit sera donc de la forme

* N'xn+,...-fP'x'H-'..I— Q,x’+,...±T'x'+,...tpVa [2].

Quant aux termes intermédiaires sous-entendus, leurs signes dépendront des valeurs numériques des coefficients du polynôme proposé et de celle de a. Mais, quels qu’ils soient, on voit que depuis le terme xm+1 jusqu’au terme — N’x"*1 du produit, il y a au moins une variation, tandis qu’il n’y en a qu’une seule du premier terme x" au ternie — Nx* du multiplicande; que de même on trouve au moins une variation depuis le terme — N'x*+1 jusqu’au terme -f-P'x^1 du produit, tandis qu’on en rencontre une seule dans le multiplicande depuis le terme —Nx* jusqu’au terme -f-Px1’, et ainsi de suite. Par conséquent, le produit présentera au moins autant de variations jusqu'au terme ±T’x,+1 qu’il y en a dans le multiplicande, jusqu’au terme àzTx'. Or, de ±Tx‘+1 à =pVn, il y a au moins une variation, tandis qu’il n’y en a pas dans le multiplicaude, depuis ±Tx‘ jusqu’à dbV; donc le produit a nécessairement au moins une variation de plus que le multiplicande*.

* La différence entre le nombre dec variations du produit et celui des tarialions du multiplicande est un nombre impair. En effet, supposons, pour fixer les idées, que le dernier terme du multiplicande soit positif,

Donc'/c premier membre d’une équation complète ou incomplète a au moins autant de variations que cette équation a de racines positives *.-'<• < • . .