Je dfs maintenant que cette même équation ne peut pas
avoir plus de racines négatives qu’il ny a de variations dans F équation que l'on obtient, en y changeant x en — x. En effet, les racines de cette transformée sont égales et de signes contraires à celles de la proposée , et par conséquent le nombre de ses variations sera au moins égal à celui des racines négatives de l’équation proposée.
535. Avant de démontrer la troisième partie de la règle des signes de Descartes , nous prouverons que le nombre total des variations de la proposée ?(x)=0 et de sa transformée <p(— x) = 0 ne peut pas surpasser l’exposant de leur degré.
Considérons, en effet, deux termes consécutifs de rangs quelconques Qxn et R*"-1’. Il pourra se présenter deux cas, selon que p sera un nombre pair ou impair.
Si p est pair, n et n — p seront deux nombres de même
auquel cas le dernier ternie du produit sera négatif; comme on ne peut
passer d'un signe + à un autre signe + que par un nombre pair de changements de signes, il y aura un nombre pair de variations dans le mullbpl. ramie, et parlant un nombre impair de variations dans le produit ; donc ce dernier polynôme a un nombre impair de variations de plus que Vautre. l.e rai«ortnement serait le même si le multiplicande était terminé par un terme négatif.
' On peut ajouter que s'il en a davantage, il en a un nombre pair de plus. Supposons, en effet, que l’on ait divisé le premier membre de l’équation proposée par le produit des facteurs du premier degré correspondants à ses racines positives. II résulte des n°* 524 et 5*23 , que le dernier terme du quotient sera positif, de sorte que si ce quotient renferme des variations, il en contiendra un nombre pair. Or, pour chaque facteur correspondant à une racine positive par lequel on le multipliera, on augmentera le nombre de scs variations d’un nombre impair; de sorte que le premier membre de la proposée présenlera un nombre pair ou impair de' variations, selon que. le nombre des racines positives sera pair ou impair. La différence entre le nombre de ces variations et celpi de ces racines sera donc un nombre pair.
espèce, c’est-à-dire tous deux pairs ou tous deux impairs: de sorte que, quand ou changera x en — x, ces termes conserveront leurs signes ou en changeront tous les deux ; donc s’ils formaient une permanence ou une variation dans la proposée, ils formeront pareillement une permanence et une variation dans la transformée, et Ht fourniront ainsi zéro ou deux variations.
Si/> est impair, n et n — p sont deux nombres d’espèces différentes, de sorte que quand ou changera a; en — x, l’un d’eux conservera son signe et l’autre en changera; donc s’ils formaient une permanence ou une variation dans la proposée, ils formeront une variation ou une permanence dans la transformée, et ils fourniront ainsi une variation en tout.
Or, p vaut au moins deux unités dans le premier cas, et une dans le second : d’où il suit que le nombre des variations produites par deux termes consécutifs , tant dans la proposée que dans la transformée , ne peut pas surpasser la différence de leurs exposants. ■ r . . . - -
Cela posé, soit . ’ .
■' -f O-— -f...-fu=o
l’équation proposée; désignons par v, v', v",... les nombres respectifs de variations fournies par le premier et le deuxième terme, le deuxième et le troisième, le troisième et le quatrième,... tant dans la proposée que dans sa transformée <p(— j:)=0, on aura
donc ...
car, c’est en retranchant successivement n, n".,. de l’exposant m du premier terme qu’on est arrivé à l’exposant zéro du dernier. -
830. Nous pouvons maintenant démontrer la troisième partie de la règle de Descartes. En effet, si toutes les racines sont réelles , leur nombre est égal à m ; de sorte qu’en désignant
par p le nombre de ses racines positives et par n celui de ses racines négatives, on aura
p-\-n = tn.
D’un autre côté, le nombre total V-f V' des variations de ç(x)=0 et de sa transformée <p ( — r}=0 ne peut pas surpasser in ; il ne saurait non plus être plus petit, en vertu des deux premières parties de la règle de Descartes , puisque toutes les racines sont réelles; donc
et partant
Or, V n’est pas moindre que p, comme nous l’avons démontré ; il ne peut pas non plus surpasser p, sans quoi n serait plus grand que \", ce qui n’est pas; doncp== V et »=V'; donc quand une équation complète ou incomplète a toutes ses racines réelles , elle a autant de racines positives que de variations et autant de racines négatives qu’il g a de variations dans sa transformée en — x.
337. On peut , à l’aide de la règle des signes de Descartes, reconnaître qu’une équation a des racines imaginaires et trouver une limite inférieure du nombre de ces racines. Désignons, en effet, par V le nombre total des variations de l’équation proposée et de sa transformée en — x : cette équation aura au plus Y racines réelles ; donc si V < wt, elle a au moins m — V racines imaginaires. -,
Si l’on considère, par exemple, l’équation xm — 1=0, on verra que si m est pair , elle présente ainsi que sa transformée ( — x)m — 1=0 une variation, et qu’elle a en conséquence au moins (m — 2) racines imaginaires; mais-f- 1 et — ‘1 sont évidemment racines de cette équation ; donc elle a (m— 2) racines imaginaires. Si m est impair, sa transformée n’a point de variation, et par conséquent elle a {m — 1) racines imaginaires.
358. On peut même déterminer , à F inspection seule d'une équation incomplète , une limite inférieure du nombre de ses racines imaginaires.
Reprenons, en effet, l’équation *
sf -f Aar- " -f Bx—*-"' -f Car*-*-"'-*" ...==o,
et désignons encore par v , v', v",... les nombres respectifs de variations fournies par le premier et le deuxième terme , le deuxième et le troisième , le troisième et le quatrième,... , tant dans cette équation que dans sa transformée en — x\ nous aurons
7n=n + n' + n"+..., et V=t> + e'+t>"+ .... de sorte que
m—Y = (n—v) -|- (n'— v') -f (»"— rf)
Si toutes les différences (n — v), (n' — v'), (n* — v")... ne sont pas nulles , m — V ne l’est pas non plus , car aucune de ces différences ne peut être négative (838), et l’équation a au moins autant de racines imaginaires qu'il est marqué par la somme de celles de ces différences n — v, n' — v7,... qui ne sont pas égales à zéro.
Cela posé, supposons qu’il manque un nombre impair (24+1) de termes entre deux termes de mêmes signes, de sorte que la différence de leurs exposants soit »=24+2. Dans ce cas, le nombre v des variations produites par ces deux termes dans l’équation proposée et dans sa transformée est égal à zéro '333) ; donc « — »=2A-f-.2‘, donc (m — V) est au moins égal à 24+2 ; donc il y a au moins 24 + 2 racines imaginaires.
Si les deux termes entre lesquels il en manque (2 4 + 1) sont de signes contraires, o=2, et n — »=2 A; donc alors il y a au moins 2 4 racines imaginaires.
Observons que si alors 4=0, il peut ne pas y avoir de racines imaginaires; de sorte que l'absence d’un terme entre deux autres qui sont affectés de signes contraires n’indique rien. Ainsi l’équation ( x — l)(x — 2) (x -f- 3) = ar* — 7x + 6=0 n’a pas de racines imaginaires. ‘ ■
Supposons maintenant qu’il manque un nombre pair 24 de termes entre deux termes quelconques : alors n=24+l et v=\ ;
THÉORIE UBNBRALB DBS ÉQUATIONS. 420
doncn— v = 2k, et il y a au moins 2A racines imaginaires,
quels que soient les signes des deux termes.
•Concluons de cette discussion 1° que quand deux termes consécutifs sont de mêmes signes , l’équation a au moins autant de racines imaginaires qu’il y a d'unités dans le plus grand nombre pair contenu dans la différence de leurs exposants;
2° Que quand deux termes consécutifs sont de signes contraires, . il g a au moins autant de racines imaginaires qu’il y a d'unités dans le plus grand nombre pair contenu dans la différence de leurs exposants , diminuée d’une unité;
3° Que s’il y a plusieurs lacunes de termes dans le premier membre d'une équation , cette équation a au moins le nombre total des racines imagitiaires indiqtiéis par chacune d’elles en particulier.
Soit , par exemple , l’équation xn + 1 = 0. La différence des exposants de ses deux termes est m. En conséquence, si m est pair , toutes ses racines sont imaginaires ; et si m est impair, elle a (m — 1) racines imaginaires, car il est évident que — 1 la vérifie alors. .
Prenons encore pour exemple l’équation
Les deux premiers termes accusent l’existence de deux racines imaginaires au moins ; il en est de même du deuxième et du troisième ; donc cette équation a au moins quatre racines imaginaires. .....
Appliquez la règle à l’équation x*m-|-papM-)-g=0.
859. On peut encore reconnaître quelquefois qu’une équation a des racines imaginaires, lorsque les règles précédentes ne fournissent aucune indication. Pour cela, on multiplie le premier membre de l’équation proposée f'x) = 0 par (x — a), et on profite de l’indétermination de a pour faire en sorte que le nombre des variations du produit surpasse de plus d’une unité celui des variations de *(-r), ou que ce produit ait moins de variations que »(x); et, si la chose est possible, l’équation pro-
posée a des racines imaginaires. Car, si toutes les racines de <tfx)=0 étaient réelles, cette équation aurait autant de racines , positives que de variations, et par conséquent la transformée <p(x).(x — o)=0, devrait avoir une seule variation de plus que ' la proposée, si a est positif, et autant de variations qu’elle, si a est négatif.
*540. M. Stvrm a donné le moyen d’obtenir ainsi une limite „ inférieure du nombre des racines imaginaires. Supposons, en effet, qu’en donnant à a une valeur positive, on ait trouvé que l’équation f(x).,(x — a)=0 a k variations de plus que la proposée*, que nous supposerons être du degré m et avoir v variations. La transformée en — x de cette équation aura donc au plus w+1 — v — k variations, de sorte que ®(;r)=0 ne p>mt pas avoir plus de tn -)- 1 — v — k racines négatives , car ses racines négatives sont les mômes que celles de ÿx).{x — a) = 0. Mais elle a au plus v racines positives ; donc elle a au moins m — (»«-}- 1 — v — k-\-v)—k — 1 racines imaginaires.
Si a<C0, et que tpf.r).(x — a) = 0 ait k variations de moins que ç(j;) = 0, que nous supposons toujours en avoir r , cette transformée aura au plus (v — k) racines positives , et il en sera de même de <p(;r)=0. Mais <p( — or) a au plus (/« — v ) variations ; donc le nombre des racines réelles de la proposée est au plus égal à v — A -)->/» — v—in — k ; donc elle a au moins k racines imaginaires. >
Prenons pour exemple l’équation
en multipliant son premier membre par ( x — a) , on trouvera
x*— 1 lia;* — llx-(-a=0,
et on voit immédiatement qu’en posant a= — 1 elle se réduit à x* — 1=0 ,
équation qui a quatre variations de moins que la proposée; donc celle-ci a quatre racines imaginaires, car elle est vérifiée par ,r=l .
* Qe Muni iire k e»l impair, d’après la note de la |«^e tJ4.
Prenons encore pour exemple l’équation 3? -f- 3a* -f- 12x -f- 4 = 0.
En multipliant son premier membre par ( x — a), on trouvera x‘-f-3a?-j-12|a:,+ 4 Ij; — 4a = 0.
On voit qu’en donnant à a une valeur comprise entre -(- 3 -et + 4, cette équation aura trois variations, tandis que la proposée n’en a aucune; donc cette proposée a (3 — 1) = 2 racines imaginaires (524j.
541. On a longtemps énoncé la règle des signes de Descartes de la manière suivante : Une équation n’a pas plus de racines positives qu'elle n'a de variations , ni plus de racines négatives >. qu’elle n’a de permanences , et si toutes ses racines sont réelles ,* elle a autant de racines positives que de variations et autant de racines négatives que de permanences. Mais cet énoncé est inexact, car les deuxième et troisième parties de ce théorème ne sont pas vraies, si l’équation que l’on considère est incomplète, à moins que, dans ce cas, on n'ait eu soin de la compléter auparavant, en y rétablissant les termes qui manquent , en leur donnant le coefficient zéro , quel que soit d’ailleurs le signe dont on affecte ce coefficient.
Si la proposée est complète , ou si on l’a rendue telle , ainsi que nous venons de l'indiquer, on conçoit qu’eu y changeant x . en — x, on obtiendra une transformée qui aura autant de variations et de permanences que la proposée a de permanences et de variations; car deux termes consécutifs étant l’un de degré pair et l’autre de degré impair, quand on y remplacera x par — x, l'un d’eux conservera son signe et l’autre en changera, de sorte que s’ils formaient une permanence ou une variation, ils formeront maintenant une variation et une permanence. Mais les racines positives de la transformée sont les racines négatives de la proposée; donc celle-ci n’a pas plus de racines négatives qu'elle n’a de permanences.
Maintenant si l’équation étant complète , toutes ses racines
432 tHKORlE GÉNÉRALE DES EQUATIONS,
sont réelles, le nombre total I* 4- V des permanences et des variations de son premier membre sera égal au nombre total p-\-n des racines positives et des racines négatives, puisqu’il y a toujours dans une équation complète autant de successions de signes que d'uqilés dans l’exposant de son degré, lequel est, dans notre hypothèse, égal au nombre des racines positives et négatives. Ainsi
Or si V était plus grand que p, il faudrait que P fût moindre que n, ce que nous avons reconnu tout à l’heure impossible. D’ailleurs V<£p; donc V=p et partant P = n. Donc quand une équation complète a toutes ses racines réelles , elle a autant de racines positives que de variations et autant de racines négatives que de permanences.
On pourrait déduire du deuxième énoncé, mais rectifié, de la règle des signes de Descartes les limites inférieures que nous avons données plus haut du nombre des racines imaginaires d’une équation, mais il est inutile de nous arrêter sur ce sujet.
842. Théorème IX. Lorsque deux nombres substitués successivement dans le premier membre d'une équation donnent deux résultats de signes contraires, ces deux nombres comprennent au moins une racine réelle de cette équation.
Soient a et p les deux nombres qui, substitués dans le premier membre de l’équation <p(.r)=0, donnent deux résultats de signes contraires, et supposons, pour fixer les idées, que a soit plus petit que p, et que l’on ait ?(«)<() et ©(P)>0. Cela posé, concevons que l’on fasse croître x d’une manière continue depuis a jusqu’à p : lu fonction 9(2) variera d’une manière continue (487), de sorte qu’elle passera par tous les états de grandeur compris entre la quantité négative ç(«) et la quantité positive ©(P); donc il y a au moins une valeur de x comprise entre a et p pour laquelle la fonction 9(2) se réduit à zéro; doue celte valeur de x est racine de l’équation proposée.
J'ai dit, au moins une valeur de x, parce que la fonction 9(2)
peut recevoir des valeurs qui croîtront jusqu’à une certaine limite, pour décroître ensuite jusqu’à une autre limite, et croître de nouveau, et ainsi de suite, de sorte qu’il peut se trouver 1 entre a et p plusieurs valeurs de x pour lesquelles ?(x) s’anéan- < . tisse, c’est-à-dire qui soient racines de l’équation proposée ?(aO = 0. .
Remarquons que cette démonstration ne suppose qu’une chose, savoir : que <p(x) varie d’une manière continue lorsque x croit aussi d’une manière continue. Ainsi, le théorème que nous venons d’établir sera vrai , quelle que soit l’équation proposée ?{x) = 0, qu’elle soit algébrique ou non, pourvu que son premier membre satisfasse à cette condition ; mais il n’y a que les équations algébriques rationnelles et entières pour lesquelles il soit applicable sans aucune restriction.
343. Théorème X. Lorsque deux nombres comprennent un ' nombre impair dé racinés d’une équation, ces nombres, substitués dans son premier membre, donneront deux résultats de si- . tjnes contraires ; mais ils donneront (leux résultats de mêmes signes, si le nombre des racines qu'ils comprennent est zéro ou un nombre pair.
Soient en effet a, b, e,...AIes racines comprises entre les deux nombres a et p : nous pourrons diviser le premier membre de l’équation proposée par le produit des facteurs du premier degré correspondants à ces racines. Appelons le quotient de cette division , et le premier membre de l’équation proposée • pourra être mis sous la forme
de sorte que les résultats trouvés en remplaçant x successivement par a et par p, reviendront aux produits
(a 0) (a ft) (a — c)...(a Â'j.^a) [3],
Or j’observe que les nombres •]>(*) et 4<P) sont de même» „ signes, sans quoi a et p comprendraient au moins (312' une
racine réelle de l’équation <|/x)=0, c’est-à-dire une racine de la proposée autre que a, b, c,...k. Cela posé, si nous supposons «<p, on voit que tous les facteurs a — a, a — b, * — e,...( a — k) sont négatifs, de sorte que leur produit sera négatif, si les racines a, b, e,...k sont en nombre impair (38); mais le produit [4] est au contraire positif; donc les produits [3] et [4] sont de signes contraires, puisque les facteurs <j/(a) et ■}([!) ont les mêmes signes. • *
Il est évident que ces deux produits auraient les mêmes signes, si le nombre des racines a, b, c,,..k, comprises entre * et p était pair.
Dans le cas où les nombres a et p ne comprendraient aucune racine de la proposée, les résultats de leur substitution à la place de x dans son premier membre auraient les mêmes signes, sans quoi ces deux nombres comprendraient au moins une racine de celte équation (842).
844. Thf.orkmk XL Réciproquement si deux nombres substitues dans le premier membre d’une équation donnen t deux résultats de signes contraires, ils comprennent un nombre impair de racines de cette équation , sans quoi ces résultats auraient les mêmes signes; et s'ils donnent deux résultats de mêmes signes, ils ne comprennent point de racines , ou ils en interceptent un nombre pair, sans quoi les deux résultats seraient affectés de signes contraires.
848. Scolib. Il est important de remarquer que, dans les énoncés île ces deux derniers théorèmes, il faut avoir égard au degré de multiplicité des racines égales (322) qui pourraient être comprises entre les nombres substitués a et p. Ainsi dans l’équation
(x—3) (x— 4;*(x— bf(x— 6) {x— 8) = 0,
il y a neuf racines iuterceplées entre 2 et 7.
840. Théorème XU. Toute équation de degré impair a nécessairement une racine réelle de signe contraire à celui de son dernier terme, cl si elle a plusieurs racines réelles, celles qui sont
de signe contraire au dernier terme sont en nombre impair, et les autres , s’il y en a t sont en nombre pair.
. Soit
<f(x) -xm + A*»-' -f B.r—’-f O"-5 + T.r-f-U = 0 -,
lequation proposée, et supposons d’abord que son dernier terme soit négatif. Si l’on y fait x = 0, son premier membre se réduira à son dernier terme, et on aura ainsi un résultat négatif. Cela posé, mettons xm en facteur commun de tous les termes du deuxième membre , il viendra
et si l’on donne à x des valeurs positives qui croissent indéfiniment , il est clair que tous les termes qui ont x dans leur dénominateur décroîtront indéfiniment, de sorte que l’on arrivera à une valeur -f L de .r, pour laquelle leur somme sera moindre que l’unité en valeur absolue; par conséquent, à partir de cette valeur de x, le polynôme compris dans les accolades restera constamment positif, et comme il en est de môme du facteur x ", on n’obtiendra plus que des résultats positifs, et ainsi -j-L surpasse toutes les racines positives de la proposée. Puis donc que zéro et L donnent deux résultats de signes contraires, ces deux nombres comprennent une racine positive, et ils en comprennent un nombre impair, s’il y en a plus d’une.
Si on remplace maintenant x par — x dans l’équation <p{x)=0, et qu’on change ensuite les signes de tous les termes , on aura une transformée dont les racines seront égales et de signes contraires à celles de <f{x)=0 et dont le dernier terme sera positif. On verra alors, en reprenant le raisonnement précédent, que les substitutions de zéro et de -f-L, dans son premier membre, donneront deux résultats de mômes signes, de sorte que les racines positives de cette équation , et par conséquent les racines négatives de la proposée, seront en nombre pair, si elle a de pareilles racines.
Supposons actuellement que le dernier terme de l’équation
THÉORIE GfcNÈHALE lltS ÉOlAïlONS.
<j.(x)=0 soit positif : nous remplacerons x par — a ■ dans cette équation , et , après avoir changé les signes de tous les termes , nous obtiendrons une transformée dont le dernier terme sera négatif; elle aura donc, en vertu de ce qui précède, un nombre impair de racines positives et un nombre pair de racines négatives; par conséquent la proposée aura au contraire un nombre impair de racines négatives et un nombre pair de racines positives.
847. Théorème XIII. Toute équation de degré pair, dont te dernier tenue est négatif, a au moins deux racines réelles, V une positive et T autre négative, et si elle a plus de deux racines réelles, ses racines positives sont en nombre impair, ainsi que ses racines négatives.
Soit
<p(x) = xm -f Ax"-1 -f Bx*-' + ....— U = 0
l’équation proposée, dans laquelle U représente une quantité positive. Si l'on fait x = 0 dans son premier membre, on trouvera un résultat négatif. Cela posé , si l’on met x* en facteur commun de tous ses termes, on reconnaîtra, en répétant les raisonnements que nous avons faits dans le numéro précédent, qu’il existe une valeur +L de x, à partir de laquelle le polynôme <p(x) restera constamment positif, de sorte que -|-L surpassera toutes les racines réelles de la proposée. Puis donc que x — 0 et x = + L donnent deux résultats de signes contraires, ces deux nombres comprennent au moins une racine positive do :pfx)=0, et ils en comprennent un nombre impair, si elle en a plus d’une.
Si dans l'équation proposée on change x en — x, son premier terme ne changera pas, de sorte que le dernier terme de la transformée étant négatif, elle aura un nombre impair de racines positives; donc lu proposée, dont les racines ne ditlèrent des siennes que par les signes, aura un nombre impair de racines négatives.
ü4tb Théorème XIV. Toute équation qui a des racines ima-
g in a ires ma toujours un nombre pair ; si elle n'a que de pareilles racines , son dernier terme sera positif , et si on substitue
des nombres quelconques à la place de x, on ne trouvera (pte des résultats positifs*.
Eu effet, si l’on divise le premier membre de l’équation proposée par le produit des facteurs du premier degré correspondants à toutes ses racines réelles, et qu’on égale à zéro le quotient de cette division , on formera une équation qui aura pour racines toutes les racines imaginaires de la proposée, et qui n’en aura point d’autres. Il faut donc que cette équation-quotient soit de degré pair (44tt), et que son dernier terme soit positif (Ü47).
De plus, si l’on y substitue des nombres quelconques nu lieu <
dex, on ne pourra trouver que des résultats positifs; car, s'il • ’ n’en était pas ainsi , puisque x = 0 réduit le premier membre à son dernier terme , notre équation-quotient aurait au moins une racine réelle comprise entre les deux nombres dont la substitution aurait donné deux résultats de signes contraires.
iî40. Scoub. Lu réciproque de la dernière partie du théorème précédent n’est pas vraie , car les équations qui ne renferment que des racines réelles égales , dont le degré de multiplicité est pair, ou qui ne renferment que de pareilles racines jointes à des racines imaginaires, jouissent aussi de la propriété de donner des résultats constamment positifs, quelques valeurs réelles que l’on y substitue au lieu de x. Telles sont les équations
(x — af“ .{x — b? .(x — e)*=0,
(x — oj*" . (X — bf* . ( x— C)*I. i (x — a)» 4- j . \x— a’)* -f P”! = 0
iî.10. Nous terminerons cette première partie de la théorie générale des équations, en faisant une application des principes que nous avons établis, à la solution de cette question : ’. •
• Ce théorème est une conséquence directe du IhéorèmcIV, car d’abord les racines imaginaires sont toujours conjuguées deux à deux, cl si une équation n’a que des racines imaginaires, son premier membre esl le produit de facteurs du second degré, tels que (.r — af+ (F.
Problème. Trouver les relations qui doivent exister entre les coefficients de l'équation *
x* + px+q = 0 [5],
pour que ses t rois racines soient réelles.
Nous supposerons que le dernier terme q soit négatif, et œla n’altérera pas la généralité des résultats; car, si q était positif, en remplaçant# par — x et en changeant ensuite les signes de tous les termes, on obtiendrait une transformée dont le dernier terme serait négatif, et comme cette transformée aurait ses racines égales et de signes contraires à celles de la proposée, les conditions qui expriment que les racines de l’une sont réelles doivent exprimer qu’il en est de même de celles de l'autre.
Cela posé , l’équation proposée ayant son dernier terme négatif aura une racine réelle positive, et elle n’en aura qu’une , puisque son premier membre n’a qu’une variation (533). Soit u cette racine : si l’on divise x?-\-px-\-q par (x — a) et qu’on égale à zéro le quotient de cette division , on formera l’équation
dont les racines seront les deux autres racines de la proposée, de sorte que, pour que celle-ci ait ses trois racines réelles, il faut que l’on ait
a* — '4(a’-f-p)>0, ou 3n*+4p<0.
p doit donc être une quantité négative , et c’est ce qui résulte d’ailleurs de la règle des signes de Descartes, car si p~>0, l’équation px-\-q—0 a nécessairement deux racines imaginaires (530). De 3a’ + 4/><;0, on tire
Mais a est la seule racine positive de la proposée, donc, en remplaçant x par y/ — ^ qui est une quantité plus grande que a, il faut que l'on ait un résultat positif, sans quoi entre zéro et
Ap
y/— y qui donneraient deux résultats négatifs, il ne pourrait pas sè trouver la seule racine positive a (844), donc
d’où
-Pi / iP-^ o-
et comme les deux membres de cette inégalité sont positifs, on pourra les élever au carré, ce qui donnera
— ou enfin 4ps4-27ÿ’<0.
Telle est la seule condition nécessaire , pour que les racines de l’équation proposée soient réelles, puisqu’elle exige que/>soit<0. Elle est suffisante , car si elle est remplie, la substitution •
de y/ — y dans [5] donnera un résultat positif, et comme 0
en donne un négatif, cette équation aura une racine positive
et elle n’en aura qu’une seule positive , puisque son premier membre ne présente qu’une variation. Mais de cette inégalité, on tire
et ainsi l’équation [6] a ses deux racines réelles , de sorte que celles de la proposée le sont aussi.
