CHAPITRE XVF
TI1E0RIE DE L'ELIMINATION
§ I. DE L’ÉLIMINATION ENTRE DEUX ÉQUATIONS DE DEGRÉ QUELCONQUE A DEUX INCONNÜBS.
885. Résoudre deux équations entre deux inconnues x et y, c'est trouver tous les couples de valeurs de ces inconnues qui peuvent satisfaire à ces équations.
884. S'il était toujours possible de résoudre une des équations proposées par rapport à l’une des inconnues qu’elle renferme , en substituant la valeur ainsi trouvée dans l’autre équation, on obtiendrait une équation qui ne contiendrait plus que l’autre inconnue , et qui en déterminerait par conséquent toutes les valeurs. Une pareille équation se nomme l 'équation finale. Soient p une de ses racines , et a la valeur correspondante de l’autre inconnue, que nous désignerons par#. Alors, en substituant p et a à la place de y et de x , dans les équations proposées , ces équations devront être satisfaites. Donc , si l’on y remplace y par 8, les équations résultantes devront avoir la racine commune a : donc leurs premiers membres auront un commun diviseur ; et , en égalant ce commun diviseur à zéro , on formera une équation dont les racines seront les valeurs de x, qui , conjointement avec la valeur p de y, satisfont aux équations proposées. Mais, la résolution d’une équation par rapport à l’une des inconnues qu’elle renferme étant souvent impossible dans l’état actuel de l’algèbre (814), on a dit chercher une méthode au moyen de laquelle on put , sans avoir besoin de résoudre aucune équation, effectuer l’élimination de l'une des inconnues entre les deux équations proposées , et obtenir ainsi une équation à une seule inconnue, dont les racines fussent toutes les valeurs et les seules valeurs de cette inconnue. C'est cette méthode que nous nous proposons d’exposer ici.
THÉORIE DE L’ÉUMtNATION.
888. Une équation complète du degré m entre deux inconnues x et y doit contenir tous les termes possibles du degré m tant en x qu’en y, savoir :
fM-", ff.yx"-', a„y\C-« am>/* ; *
tous les ternies du degré m — 1 , savoir :
btx~-\ hyx’*-' bny*~' x— 6„y— > ;
tous les termes du degré m— 2 , savoir :
cny^x^
tous ceux des degrés m~ 3, 7«-4, m— 5, .... 3, 2, 1 , 0; de sorte que la forme d une équation complète du degré m entre deux inconnues, ordonnée par rapport ù x, est
' + a,yp— ' -t-cny’l + &i | +b,y
Toute équation qui ne contient pas tous ces termes est incomplète, et l’on évalue son degré en faisant la somme des exposants de x et de y dans le terme où cette somme est maximum.
Remarquons que le nombre des termes d’une équation complète du degré m à deux inconnues est la somme des termes de la progression des nombres entiers depuis 1 jusqu’à (ra -f l) : •
ainsi une pareille équation contient 2) temies
880. Nous appellerons valeurs conjuguées , solutions, couples ou systèmes de valeurs, les nombres qui, substitués simultanément à la place de a: et de y, dans les équations proposées, en rendent les deux membres identiques.
887. On conçoit que la résolution des équations proposées sera en général d autant plus facile , que ces équations seront d un degré moins élevé : d’où il suit que, si l’on parvenait à d ('composer les premiers membres de ces équations en facteurs,
THÉORIE DK L'ÉLIMINATION.
le problème de leur résolution pourrait être beaucoup simplifié. Soient en effet M=0, N=0, les deux équations proposées, et sup- posons que M soit de la forme M=A.B, et N de la forme N=C.D : toute solution des équations proposées doit anéantir à la fois un facteur de M et un de ceux de N ; donc les solutions des équations ^ ~ q | satisfont aux systèmes
c=oj’
A=0) B=0) B = Oi
formés en combinant chaque facteur de M successivement avec chacun des facteurs de N. .Mais, réciproquement, les solutions de tous ces systèmes satisfont aux équations proposées ; donc la
résolution des équations est ramenée à celle des sys-
tèmes d'équations plus simples
. C = oj’ D=o)’ C = 0j ’ D=0)
558. Ainsi , la première chose à faire , quand on aura deux équations à résoudre, sera de décomposer leurs premiers membres en facteurs, si la chose est possible. Soient donc^ jjj
les équations proposées. Si l’on ordonne le polynôme M par rapport à y, que l’on cherche le plus grand commun diviseur des coefficients de ses differents termes, et que l’on divise M par ce facteur; si ensuite on ordonne le quotient par rapport à x, que l’on cherche le plus grand commun diviseur des coefficients des diverses puissances de x, et qu’on divise encore le quotient par ce plus grand commun diviseur, on aura ainsi décomposé le polynôme M en trois facteurs X, Y, M', fonctions respectives de x, de y, et de x et de y , de sorte que
M = XYM.
On pourra faire subir une décomposition semblable au polynôme N, et l’on aura
N=sXTN\
■444 THÉORIE DE L'ÉUMINATIOff.
Cela posé, il est possible que les polynômes X et X', X et Y‘, M' et N', aient des facteurs communs : on cherchera donc leurs plus grands communs diviseurs respectifs d, (T, <T, et les polynômes M et N pourront alors être mis sous la forme
Maintenant, tout couple de valeurs des équations ^~oj 'luit
anéantir à la fois un facteur de M et un facteur de N, et réciproquement : donc, on obtiendra toutes les solutions de ces équations en égalant simultanément à zéro un facteur de M et un facteur de N. On posera donc d’abord :
d— 0, ou d'—O, ou d"—0.
La première de ces équations détermine un certain nombre de valeurs de x, et laisse y arbitraire ; la seconde donne un nombre limité de valeurs de y , et laisse x indéterminé; enfin, la troisième laisse tout à fait arbitraire celle des deux inconnues que l’ou voudra , mais détermine les valeurs correspondantes de l'autre.
Ainsi, chacune des équations
fournit une infinité de solutions des équations proposées.
Les autres manières de satisfaire aux équations
consistent à égaler en même temps à zéro l’un des facteurs restants X,, Yi, A de la première, et l’un de ceux X'lt Y’,, B de la seconde. Mais nous remarquons que l’on ne peut pas avoir
en même temps ~q|: car *es facteurs Xi et X'j sont pre-
miers entre eux, et par conséquent ne peuvent pas être anéantis par une même valeur de x. Par la même raison, on
ne pourra pas poser non plus
Y, =01 Y'i=oj*
Donc on achèvera la
TUKOHUS I)E LÉLIMINATION. 445
résolu lion des équations proposées, en résolvant les sept systèmes
X,=0) X,=0| Y, =0 ) Y,=0) A =0) A =0) A=0) Y',=0 ) ’ B=0)’ X'i=0 J ’ B =0)’ X'i=0 ) ’ Y',=oj’ B=0>’
Or, dans les six premiers systèmes, l’une au moins des deux équations ne renferme qu’une seule inconnue : par conséquent, pour trouver toutes les solutions de l’un quelconque de ces systèmes, on résoudra l’équation qui ne contient qu’une seule inconnue; et, en substituant successivement chacune de ses racines dans l’autre équation, on obtiendra les valeurs correspondantes de l’autre inconnue.
La résolution complète des deux équations esl ainsi
ramenée à celle des deux équations à deux inconnues
dont les premiers membres sont premiers entre eux , et n’ont aucun facteur qui soit fonction de l'une seulement des de Hx
inconnues. Mais avant de nous occuper des équations
nous ferons quelques remarques sur les équations finales des six premiers systèmes.
*389. Nous avons dit que l’on appelle équation finale une équation qui a pour racines, non pas seulement les valeurs différentes de l'une des deux inconnues, mais toutes les valeurs , tant égales qu’inégales, de cette inconnue, avec lesquelles sont conjuguées des valeurs de l'autre inconnue (tfo4). Ainsi l’équation finale doit avoir autant de racines que les proposées admettent de couples. 11 suit de là que l’équation finale en y du
système y,1 j n’est pas Y',=0: car à chaque racine de cette
équation correspondent autant de valeurs de x qu’il est marqué par le plus haut exposant de cette variable dans X|=0; donc,
si cet exposant est n, l’équation finale du système y,1 est (Y',)"=0.
446 THÉORIE DE L’ÉLIMINATION
*860'. On voit de môme que l’équation finale en y du système
=0) n’est pas non plus Y, =0 : car à chaque racine de cette *
dernière correspondent en général plusieurs valeurs de x. Mais, comme on ne sait pas a priori quel est le nombre de ces valeurs de x, on ne peut pas dire immédiatement, comme tout
à l’heure, quelle sera l’équation finale en y du système g Q | . Pour la former, je suppose que l’équation B = 0 soit • axm4-6x"-‘-f cai'-’+dx"-’ +
Je décompose Y» dans le produit de deux facteurs a, et a, dont l'un soit premier avec n, et dont l’autre ne renferme que des facteurs premiers de a*; je décompose de même a en deux fac- .leurs b, et p, dont l’un soit premier avec b, et dont l’autre ne soit composé que de facteurs premiers de b; je décompose de même p en deux facteurs, c, et y, dont l’un soit premier avec c, et dont l’autre ne contienne que des facteurs premiers de c, et ainsi de suite, jusqu’à t inclusivement, s’il y a lieu. Mais, pour fixer les idées, nous supposerons que y soit premier avec d, et nous aurons ainsi
Y,=a,a, #=6ip, p=tvr, et partant Y,=ffAciTr»
de sorte que les racines de l’équation Y, = 0 sont fournies par les équations plus simples
üi=0 ôi=0, C|=0, y = 0.
* Pour effectuer cette décomposition, on cherche le plus grand commun diviseur
d' entre Y, et a; ainsi Y, = J' .q ; puis le plus grand commun diviseur
d* entre q et a; ainsi q =d'. q’; puis le plus grand commun diviseur
d * entre q1 et a-, ainsi q1 puis le plus grand commun diviseur
d1* entre q’ et o; et ainsi de suite.
Je suppose, pour fixer les idées, que q" soit premier avec a. On aura donc Y1r=d'd'd'",.ç"i et ainsi «=d'd*d"\ et a, = </'.
Remarquons que d' et dm ne renlermenl pas d’autres facteurs premiers que ceux de d', puisqu'ils sont communs 'a Y, el à a.
THEuiuE de l’élimination.
Or, toute racine de l’équation y = 0 anéantit c et p, par conséquent b et *, et partant a : donc toute racine de y — 0 réduit B à un polynôme en x du (n — 3;"" degré; donc à chacune de ces racines correspondent (n — 3) valeurs de x; donc le facteur y devra entrer à la puissance [n — 3 dans l 'équation finale en y
du système p1 >. On verra de même que toute raciné de
l’équation c,— 0 anéantit b et a, et réduit ainsi B à un polynôme en x du degré (n — 2), et que par conséquent le facteur e, doit entrer dans l’équation finale à la puissance (« — 2). Les mômes raisonnements feront voir que les facteurs b, et «, doivent y entrer aux puissances respectives (n — 1) et n, de sorte que cette équation est
«:6,-’cî-1ï"-a= 0.
oHI. Remarquons que, si les coefficients de x dans l’équation B=0 renfermaient tous, à l’exception du dernier w,
tous les facteurs premiers de Y,, le système g1 ® j serait in-
compatible : car la substitution de chaque racine de Y,=0 dans B réduirait ce polynôme à un nombre.
*1162. Pour obtenir les équations finales en y des systèmes
et
, JM, il n’y aurait qu’à éliminer x entre ces équations, de sorte que cette recherche se trouve implicitement comprise dans celle de l’équation finale en y du système jjHq j • dC3. Nous allons maintenant exposer la méthode qu'il convient de suivre pour résoudre les deux équations p Q { •
Supposons les deux polynômes A et B ordonnés par rapport à x, et que B ne soit pas d’un degré plus élevé en x que A. Divisons A par B, et admettons que l’on arrive à un reste Ri d’un degré moindre en x que B, sans écrire au quotient des termes où //entre eu dénominateur. Si l’on désigne ce quotient par Q, on aura
A = BQ-)-R,.
THK0HIK 1>E L E1.1MINATIÜN.
Or, tout couple de valeurs de x et de y qui satisfait aux équa-
Mais B et Ri ne peuvent être nuis sans que A le soit aussi;
équations le système forme de l'une d'elles et de l'équation que l’on obtient en égalant à zéro le reste de la division de leurs premiers membres. D'où il suit que, si l’on divise B par Rlt R! par le reste R, de cette seconde division, R, par le reste R3 de la troisième, et ainsi de suite jusqu a ce qu’on arrive à un reste R„ indépendant de x, les solutions du système proposé seront les mêmes que celles du système
formé en ég liant les deux derniers re stes à zéro (on suppose toujours que les quotients successifs aient tous leurs termes entiers}.
D'équation R„=0, fonction de g seulement, fera connaître toutes les valeurs différentes de y, et les sonies valeurs dont celte inconnue soit susceptible. Quand on l’aura résolue , on substituera ses racines successivement dans l’équation R„-,=0, et l'on trouvera ainsi les valeurs correspondantes de x*.
* on trouve cependant quelquefois des facteurs égaux dans le reste II,; mais cela n’arrive que quand le inètnc couple satisfait plusieurs fois aux équatirins R.= 0elR..i = 0 ; car, chaque racine de R. =0 doit être conjuguée avec les valeurs correspondantes de s fournies par R^,=0. La réciproque esi fausse; car on conçoit que pour y = p, racine de R. = 0, le polynoine R.-, pourrait se réduire à une fonction de * de la forme
tions anéantit Ri : donc les solutions de ce système se
trouvent parmi celles des équations plus simples
Rn-!=0j
TUÉ0H1K DK L ELIMINATION.
.1(5 4 . Si le reste R» indépendant de x l’était aussi de y, c’est ù-dires’il était numérique , les équations A — 0 et B=0 seraient évidemment incompatibles, puisque l’équation R„=0 serait absurde. . •
805. Exemple. Résoudre les deux équations (y* — >JX' — (y* — 2y* — y + 1 ]x* — (y* -f y*— 2y -f 1 )x* +(y*+y— a)*— y*+2y— i=o,
En appliquant la méthode du plus grand commun diviseur à leurs premiers membres, on trouvera pour les deux derniers restes (y — \)x'-\-yx — 1 et y * — 1 ; de sorte que l'équation qui donne toutes les valeurs différentes de y est y’ — 1=0,
* Pour former l’équation finale du système
(y — Ijx'-f yx — 1 = 0 5
yx — 1=0) y1 — 1=0;
