IJ
et, parlant, celle du système proposé, j’observe que y* — 1 = (y — 1) (y -(- 1); or, y — 1 est facteur commun à y’ — I et au coefficient de x *, et est premier avec le coefficient de x ; y-\-\ est premier avec le coefficient de x‘ : donc y — I entrera dans l'équation finale à la première puissance, et y -f 1 à la seconde (500) ; cette équation sera donc
Comme y = l réduit la première des équations [1] à x — 1=0, d’oh x — 1 ; que y = — 1 réduit cette même équation à
— 2x‘— x— 1 = 0, d'oùx=-1-^j — demandés sont :
; on voit que les couples
506. Les raisonnements sur lesquels nous avons établi la théorie de l’élimination au n° 503 supposent essentiellement C; 29
•150 THEORIE DE L'ÉLIMINATION
que, dans la recherche du plus grand commun diviseur des polynômes A et B, les divers quotients partiels soient des fonctions entières de y. Supposons , en effet, que la division de A par B ne puisse pas se faire sans qu’on soit obligé d’écrire au quotient des termes fractionnaires par rapport à y , et désignons ce quotient par N étant une fonction de y; on aura
. MB
A — -jÿj- + n,.
Or, si l’on remplace dans cette équation x et y par des valeurs ijui satisfassent aux équations A=0 et B=U, il pourra se faire que la valeur de y réduise en même temps N à zéro, de sorte
que devienne ainsi 2, et puisse en conséquence avoir une
valeur différente de zéro ; donc R, peut ne pas s’évanouir, dans l’hypothèse actuelle. On n’est donc plus certain que toutes les
solutions du système g () : se trouvent parmi celles du sys-
terne g Q ! , et réciproquement : car la valeur de y qui, con-
jointement avec une certaine valeur de x, réduit les polynômes B et R, à zéro, peut aussi anéantir N, de sorte que le ternie^
devient alors g; et qu’ainsi A peut ne pas devenir nul.
On voit donc que si , en appliquant aux premiers membres des équations proposées la méthode du plus grand commun diviseur, les différents quotients n’étaient pas tous des fonctions entières de y, on ue serait pas certain que le système formé eu égalant deux restes consécutifs à zéro eût les mômes solutions que celui que l’on obtient en égalant à zéro le premier de ces restes et celui qui le précède. Par conséquent, l’équation que l’on trouve en égalant le reste indépendant de x à zéro, peut ne pas avoir pour racines toutes les valeurs différentes de y, qui sont propres à former des solutions des équations proposées. Il est doue indispensable d'appliquer aux premiers membres des
THÉ0H1K DE t’ftUMINATIO.V.
équations le procédé du plus grand commun diviseur,
avec les modifications propres à rendre entiers tous les termes des quotients successifs. Mais ces modifications, qui n’altèrent pas le plus grand commun diviseur, n’altéreront-elles pas non plus le reste indépendant de x? Examinons cette question.
SG7. Soit Y le facteur par lequel il faut multiplier A, pour rendre la division de ce polynôme par B possible en termes entiers; appelons Q le quotient, et Ri le reste : nous aurons
YA=BQ + Ri.
Or, tout couple de valeurs de # et de y qui rendent nuis B et R, , anéantit YA, et partant Y ou A : donc toutes les solutions du
système ^ ! sont comprises parmi celles des deux systèmes
B=0 j et B = 0 )' MaiS0D ne P™1 aVOir B=oj 0u B=üj ’ • sans avoir en même temps Ri=0 : donc, réciproquement,
toutes les solutions des systèmes j et se trouvent
parmi celles du système Jj ~ ® j ; donc les solutions du système
j sont les mêmes que celles des deux systèmes j Y— 0)
et p 0 ce que nous conviendrons d écrire ainsi :
Rj=o) B=0; ' B=0)
En résolvant donc les deux équations
R,=oj’
on trouvera
toutes les solutions du système proposé, et en outre celles du système étranger .D’où l’°n yoitqiic lesystèrue dcsëqiia-
tions formées en égalant à zéro le reste indépendant de x et le diviseur correspondant sera vérifié par toutes les solutions du système proposé, mais qu'il admettra d’autres solutions que celles-là.
t h ton! b dk l’élimination.
*308. *0r, je dis que l’on pourra écarter ces solutions étrangères. Effectuons, en effet, la division de B par R,; mais, conformément à la théorie du plus grand commun diviseur, on cherchera auparavant le plus grand commun diviseur entre les coefficients de x dans Rt. Soit Fi ce diviseur, de sorte que
R, = F).R', : alors les solutions des deux équations R se
composeront de celles des deux systèmes plus simples j B q i
et „ — (337}. Nous verrons donc, d’après l’équation [2], que
B =01 A=0).Y— O.B=Oi R',=oj “ B=0) + B=0j F| = o)
Conformément à la méthode du plus grand commun diviseur, nous supprimerons le facteur F, dans le reste Rt, et nous diviserons B par le quotient RV Soient Yi le facteur à introduire pour rendre cette division possible en termes entiers, Q» et R, le quotient et le reste : nous aurons
Y,B = R’iQi -j- R» ,
et l’on prouvera, comme plus haut, que les solutions du sys- R7 q \
tème D 1 ! sont les mêmes que celles des deux systèmes
R,0JetR,0j;quams.
donc , en vertu du résultat [3] ,
R,=oj~B=0)i"B=or R',=o) Fi=0j
Supposons que l’on découvre dans R, un facteur F, commun aux coefficients de tous ses termes, de sorte que R,=F,.R’,i
alors la résolution du système
R'i=0i Ri = 0)
sc décomposera dans
THÉORIE DE L’kMMÜUTIOS. . 45.1
celle des deux systèmes g,'~0 [ et de l’équation [4] , on verra que
p‘ donc, en vertu
R'1=Oj-B=o)"hB=o)'+'R'l=oj F,=Oj ^=0)*
Il faudra actuellement diviser R'i par R', ; mais , sans aller pins loin , on conçoit que si l’on continue d’appliquer le procédé du plus grand commun diviseur, en raisonnant toujours après chaque division tomme précédemment , on arrivera à un reste Rp indépendant de x, et qu’on aura l’équation
RV-«=° ) A=0 ) , Y=° (Y.=°jY,=°j Y,, =0 j
R, =0 B=0 j + B=0 j + R'i=0 j + R',=0 j +RV-,=0 J
F,=oj F,=Oj F, =0 j F^=or
donc, si l’on multiplie le dernier reste R, par le produit F,, F,, F,...F*i des facteurs supprimés dans le cours du calcul, l’équation
RpFlF,F3...F,1 = 0,
que, pour abréger, nous désignerons par C=0, aura pour racines toutes les valeurs différentes de y propres à former des
solutions des équations proposées g ^ j , et en outre des sys-
tèmes étrangers
B=0)’ R'^O)’ R'1=0j", RV I=0j ’
donc, en divisant le premier membre C de cette équation par lo produit des facteurs du premier dpgré correspondants aux valeurs de y qui peuvent former des solutions de ces systèmes étrangers, l’équation-quotient aura pour racines toutes les valeurs de y propres à former des solutions des équations propo
sées A==0) seesB = 0j
*ÎSB0. Voyons donc comment on pourra déterminer le produit des facteurs du premier degré correspondants aux valeurs
4M • . THÉORIE DE L’ÉtWIfîATIOS.
étrangères de y. Considérons l'un quelconque des systèmesétrangers j . Le polynôme R't est de la forme
R'^cw:’’-^ Ju;"-1 +cæ"~* + d*cn* + -“+ïa;1-|-Lr -f^-
Cela posé, j’observe que les quantités Y», a, b, c... s, t, u, n’ont poiut de facteur commun, et je décompose Y» en deux facteurs, ' dont l’un, D, ne soit formé que de facteurs premiers communs à tous les coefficients b, c...s, t, et dont l’autre, Q, soit premier avec tous ces coefficients* : ainsi Yt = DQ, de sorte que le
système ~ q j se décompose dans les deux autres j
et 2, Or, la substitution dans R* de l’une quelconque
des racines de D=0 réduira ce polynôme h un nombre : donc les équations j sont incompatibles. Au contraire, en sub-
stituant une racine quelconque de Q=0 dans R\ , une partie seulement des coefficients a, b, c,... s, t, s’évanouira, de sorte que R'* sera fonction de x : donc à chaque racine de Q = 0 correspondent des valeurs de x propres h satisfaire au système
R'.=oj-
Q=oi
R'*=oj
; donc en divisant l’équation
* Pour efTectuer cette décomposition, on cherche d’abord le plus grand commun diviseur S de tous les coefficients b, c ... s, t, puis le plus grand commun diviseur d, entre Y» et S; on divise ensuite Y* par d„ et l’on cherche le plus grand commun diviseur d, entre le quotient q , de celte division et S; puis on divise q , par d,, et l’on cherche le plus grand commun diviseur d, entre le quotient q , de celte division et S ; puis on divise q , par d3, et l’on cherche le plus grand commun diviseur d, entre le quotient q< de cette division et 5, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à un quotient qui soit premier avec S. Supposons que q, soit ce quotient, de sorte que d, = t , on aura la suite d’équations \'t=zd,q„ q,=dyy,, qf=dsqa, d’où l’on tire Vi= d,d,d,.q> Le produit d,d,d, n’est formé que de facteurs premiers communs à b, c...t, t; mais aucun fadeur premier deq, ne peut diviser à la fois ces mêmes coefficients : donc D = d,d,dj, et Q=zqa.
Si les coefficients b, c ... t étaient premiers entre eux, ou si leur plus grand commun diviseur l’était avec Y», alors Y» serait lui-même le facteur que nous avons désigné par Q, et D serait l'unité.
' THÉORIE DE l’ÉUMINATION. 455
C = 0 par l’équation Q =0, on l'aura dégagée des valeurs de y
qui forment des solutions du système étranger ~ ® j .
En opérant comme nous venons de l’indiquer sur chacun des systèmes étrangers ^ Q j , Q|, etc., on parviendra à une
équation dont les racines seront toutes les valeurs différentes de y propres à former des solutions des équations proposées. *870. Remarquons que si le diviseur R'p( est du premier de- Y =0) '
gré en x , le système y J est incompatible; car les coef-
ficients des deux termes de R'p t sont premiers entre eux.
*871. Remarquons encore que si, après avoir introduit un facteur (y — 6) , pour rendre une division possible, on le svpprime dans l'un des restes suivants, on n'aura plus à s’en occuper, si toutefois on a reconnu, par ta méthode, du n° 8(50, que. ce facteur devait compliquer l’équation C = 0.
* 872. 11 résulte de ce qui précède , qu’après avoir divisé le reste Rp indépendant de x, par les facteurs étrangers qui ne se seront pas trouvés dans les facteurs supprimés F,, F3... F,,i (aucun d’eux ne peut diviser Fi), l’équation
R'p.Fj.F’jF',,. .F'p!*=0
aura pour racines toutes les valeurs différentes de y qui peuvent former des solutions des équations proposées ; de sorte que la
résolution des deux équations ^ ! sera ramenée à celle des
systèmes
RV-i=01 B =01 R', = 01 R’t = 0 ! R'p, = 01
ce qui ne saurait présenter de difficulté , puisque In seconde de chacun de ces systèmes d’équations ne renferme qu’une seule inconnue.
* 875. Maintenant, si l’on veut avoir l’équation finale du sys -
* F', représente le quotient de F. par le produit des (acteurs étrangers
qu’il renferme. . .. .
THÉORIE DE L ÉLIMINATION
tème g o } , il n’y aura qu’a former (300) les équations finales
des systèmes [5], et les multiplier entre elles. Nous renverrons, pour de plus grands détails, au mémoire que nous avons publié sur l’élimination *.
*374 Résoudre les deux équations
B = 2 ya* — (y* — 2y* -f- y-f-2)x — (2y‘ — 10y’+ 8) = 0. ' On trouvera successivement
Ri=(y*— 2y*— y+*)a*-|-(îy*— 10y’-f-8) x— {y1— 2y*— y5 -f2y*) , d’où F, = y* — 2y’ — y-f2 ,
et R’,=«*+(2y+4)x— y»;
Y,=l , R,=(9y>+34y*+3ly-2)a:-(6y‘+8yï-10y*+8) ; d’où F,=y + 2,
et R',=(9y,-|-16y — l)x — (6y’ — 4 y* — 2y-f-4) ;
Le facteur Y=y étant premier avec le coefficient de la première puissance de x dans le premier diviseur, et ne divisant aucun des facteurs supprimés dans le cours du calcul , doit se trouver dans R,. Quant au facteur Yi il ne saurait s’y rencontrer (370); donc
Le facteur Fi étant premier avec le coefficient du premier terme du diviseur correspondant B, entrera dans l’équation finale au cube.
Le facteur F, est premier avec le coefficient du premier terme du diviseur correspondant R'i : donc il entrera au carré dans l’équation finale. Celte équation est en conséquence (63y*— 182y*— 240y»-)- 1 35y-|-240J (y* — 2y*— y-f 2)* (y-f2)*=0.
’ Théorie de l'élimination entre deux équations de degré quelconque h d.us inconnues. Cites Hachette, libraire.
THÉORIE DE L'ÉLIMINATION
La résolution des équations proposées est ramenée à celle des trois systèmes partiels
(Oy’+lOy-' 1+ — 6y3+4y’+2y — 4=0 ) ’jJ+(2y+4>- — y*=0 j ’
2yx* — (y’ — 2y* + y + 2+ — (2y* — 1 Oy’ + 8 )]= 0 j ‘
676. Les raisonnements par lesquels nous avons établi notre méthode d’élimination supposent nécessairement que les valeurs de x et de y soient des quantités finies, de sorte que si l’on a besoin d’avoir égard aux solutions dans lesquelles la valeur de l’une des inconnues doit être infinie, il faut les chercher directement. Or, la chose est facile, car il n’y aura qu’à diviser tous les termes de chacune des deux équations proposées par la plus haute puissance de x qu’elle renferme, et en faisant ensuite x=ao , on obtiendra deux équations f{y)= 0 etF(y)=0, qui devront avoir pour racines communes toutes les valeurs de y qui, conjointement avec x = <x> , vérifieront les équations proposées. On obtiendra donc ces valeurs de y en cherchant le plus grand commun diviseur des polynômes f{y ) et F (y), et en résolvant ensuite l’équation formée en égalant ce plus grand commun diviseur à zéro.
On déterminera de la même manière les valeurs de x , qui , conjointement avec y — oo , satisfont aux équations proposées.
576. Supposons actuellement que l’on ait à résoudre trois équations de degré quelconque à trois inconnues x, y, z. On éliminera successivement z entre l’une d’elles et chacune des deux autres; ce qui donnera deux équations ip(x,y)=0 et |(a;,y)=0, qui auront pour solutions communes tous les couples de valeurs de a; et de y qui, conjointement avec certaines valeurs dez, peuvent satisfaire aux équations proposées. Si donc a et£ sont un de ces couples, on pourra remplacer j: et y respectivement par a et par (î dans leurs premiers membres, et en égalant à zéro le plus grand commun diviseur des polynômes résultants,
THÉORIE DE L’ÉLIHHUTION.
on trouvera les valeurs de « qui sont conjuguées avec ces valeurs a et p de x et de y.
On étendra facilement cette méthode à la résolution de m équations entre m inconnues.
