II. DES ÉQUATIONS IRRATIONNELLES

577. Lorsqu’une équation ne renferme que deux radicaux et que l’un d’eux est du deuxième degré , il est facile de faire évanouir ces radicaux et de rendre ainsi l'équation proposée rationnelle. Pour cela on isolera dans un membre le radical dont l’indice est le plus grand (127), et, en élevant ensuite les deux membres de l’équation résultante à la puissance marquée par cet indice, on obtiendra une nouvelle équation qui ne renfermera plus qu’un seul radical, car la puissance d'un binôme tel que a-\-\fb est de la forme P-f-Q^Â. On traitera donc cette équation comme la proposée , et on obtiendra ainsi une équation rationnelle. Si on a, par exemple, l’équation

2 \Jx — 1 — \ — \ =0,

on en tirera successivement

1\Jx — 1=1+^# — 1 «

32(ar— 1)=1-(-5v/t^-1+10(«— l)-f- 10(x— l)v/x— 1

32 (x — I )=\Jx — 1 (x*+8x — 4) + 5x* — 4 ,

5x* — 32x + 28 = — \]x — 1 (x’+8x — 4), et en élevant enfin au carré et transposant ensuite,

xs — 1 ftr*+ 3G0X5— 1 424x’+ 1 872x— 800 = 0.

578. On pourra encore, d’après ce procédé, rendre rationnelle une équation qui contiendrait deux radicaux , tels que le plus faible des deux indices fût 3. En effet, considérons d’abord l’équation

^Â+yB+C=0.

THÉORIE DK L’ÉUMINATtON. 459

On en tirera >" #«[■,?

puis, en élevant au cube les deux membres de cette équation, on trouvera

B -f 3C ÿB* -(- 3C* y B + G5 = — A.

Je fais maintenant passer les termes rationnels dans le deuxième membre et je mets SCy B en facteur commun ; ce qui donnera

3C y B (y B + G) = — (A + B -f Cs) :

mais y' B -f- C = — V Â ; donc

3C^ÂB = A + B + CS;

ainsi il ne s’agit plus que d’élever les deux membres de cette équation au cube, pour la rendre rationnelle.