Soit actuellement l’équation
;/À+yVB + C = 0 :
j’isole le terme y'A dans le deuxième membre, et j’élève ensuite à la puissance n les deux membres de l’équation résultante ; j’obtiendrai ainsi une équation dont le premier membre ne renfermera pas d’autres radicaux que y B et y B*; car les exposants des puissances auxquelles on aura élevé y^B seront de la forme 3/t, 3A + 1 ou 3£+2, et (^B>‘ = B‘, =B‘ y« ,
ct (y B)’**’ =8*^11’. Cette équation pourra donc être mise sous la forme
D -J-Ey'B + Fy B?=0.
On en tirera successivement
BE» + 3DE’ y'F-H 3D‘E y'B + D* = — B’F»,
BES -f D‘ + B!FJ — 3BDEF = 0.
8U0. Mais si l’équation proposée renfermait seulement trois radicaux, è moins qu’ils ne fussent tous du deuxième degré, la méthode précédente ne réussirait plus. Dans ce eus, on égalera
NV
Wi
Pi t
THÉOBIK DE i. ÉLIMINATION.
chaque radical à uoe inconnue, on élèvera ensuite les deux
membres de chacune des équations ainsi formées à la puissance marquée par l'indice du radical unique qui s’y trouve , et on remplacera, dans la proposée , chaque radical par la lettre qui la représente. On formera de celle manière autant d’équations plus une que l’on a d’inconnues auxiliaires, et comme elles sont -commensurables, on n’aura qu’à éliminer entre elles toutes ces inconnues auxiliaires pour obtenir une équation rationnelle en x seulement.
Soit, par exemple, l’équation
Je pose
\fi—x=y, d’où 2=0 [7];
\Jx — 1=3, d’où s*—x-j- 1 = 0 [8] ;
et par conséquent y — 3 — 1 = 0 [9] .
J’élimine y entre [7] et [9] , ce qui me donne
s> + Zz' + 3z + x— 1=0 [10] ;
puis j’applique à cette dernière et à l’équation [8] la méthode d’élimination par le plus grand commun diviseur et je trouve ainsi pour équation finale
U=io.
Or, en substituant successivement ces valeurs de x dans l’équation proposée, on trouve que la seule valeur x = 1 la vérifie. Ceci n’a rien de surprenant; ear, queltes que soient les valeurs algébriques des deux radicaux y 2 — x ti\'x — 1 que l’on considère , on aura toujours entre y , z et x les équatious [7] , [8] et [9] ; de sorte que l’équation [10] doit donner non-seulement les valeurs de x qui vérifient la proposée , mais encore toutes celles qui conviennent à toutes ies équations que l’on peut en déduire, en ayant égard aux diverses valeurs de chaque radical , puisque les équations [7] et [8], étant une conséquence
THÉORIE DK L'ÉLIMINATION. 461
des définitions de la racine cubique et de la racine carrée , doivent donner, pour une même valeur de x, toutes les valeurs et
les seules valeurs dont ^2 — x et y/l — x sont susceptibles.
On verra ainsi que x = l vérifie l’équation [6] ; que x = 2 satisfait aux trois équations
V^2 — x-\-^x — 1 — 1 = 0, y 2 — ar-f -\Jx — 1 — 1=0,
** V»2 — x-f -\Jx — 1 — 1=0,
dans lesquelles a et a* représentent les deux racines cubiques imaginaires de l’unité (333),
Enfin x = 10 vérifie l’équation
Donc, si l’on cherche les valeurs de x qui satisfont à l’équation proposée, en ne considérant que les déterminations arithmétiques des radicaux qui y entrent, il faudra admettre , parmi les racines de l’équation rationnelle qu’on aura obtenue , celles seulement qui vérifieront cette proposée. Ainsi, dans notre exemple, les valeurs x=2 et x — 10 devraient alors être rejetées, et si l’équation proposée était y'I-J-a;-)- V'i — x = 1 , cette équation serait impossible ; car il est évident que des deux termes du premier membre, l’un étant > 1 , leur somme arithmétique ne peut pas être égale à 1 .
