PI

+2p 1 +Gpy

+py

— 3ys

2y’|:r-fyJ

-•py

+2pl +py

+Zq

2y! x+i'ÿ+pf

+3py

le terme indépendant de x sera — 3(y*-| -py — 3j)(y*-|-py-|-3g) -f-4 (y*-| -pf, et en effectuant les calculs , on trouvera que l’équation aux différences est

L’équation aux carrés des différences est par conséquent 3S+ Qpz'-\-tyz + (4/-f- Î7q') = 0 [11].

Pour que cette équation n’ait que des variations , il faut que l’on ait

p< 0 et 4^4-279*<0,

et comme la première de ces conditions est comportée par la suivante, il s’ensuit que la seule condition nécessaire et suffisante pour que l’équation •r‘-f-pa:-f-ç=0 a't ses trois racines réelles est 4p,-[-279,'<0.

Si 4jos-j-279!>0, la transformée en — z de l’équation [11] aura au moins une variation , et par conséquent la proposée aura deux racines imaginaires. Cette condition est donc suffisante pour qu’il en soit ainsi. Elle est de plus nécessaire, car si 4p3.-)-279*^>0, l’équation a?-\-px -\-q = 0 a ses trois racines réelles.

«>99. La méthode que nous avons -donnée précédemment pour calculer l’équation aux différences s’applique à la formation de l’équation aux sommes , aux produits et aux quotients deux à' deux des racines d’une équation donnée ? (x) = 0. On verra, en répétant les raisonnement^ du n° 894, que

DK U TRANSFORMATION DIS ÉQÜATIONS. 475

l’équation aux sommes s’obtiendra par l’élimination de x entre les deux équations »

**)=0 et &=JÙ=42L= O.

En effectuant cette élimination , on trouvera que le reste Y, qui précédera le reste indépendant de x, sera du deuxième degré, par rapport à cette inconnue. En effet, si y = p est une racine de l’équation finale , il faudra qu’en la substituant dans l’équa- . tion formée en égalant le reste précédent à xéro , on en tire la valeur correspondante de x. Mais fs étant la somme de deux racines de la proposée, cette équation ne doit pas donner l’une de ces racines plutôt que l’autre; donc elle les fera connaître toutes les deux ; donc ce reste est du second degré , et par conséquent la véritable équation finale sera Y’=0 (odO). Donc l’équation qui aura pour racines les sommes distinctes des racines de <f(x) = 0 est Y = 0.

Dans le cas particulier, où l’équation f{x) =0 est du troisième degré , on peut obtenir très-simplement l’équation aux sommes distinctes de ses racines prises deux à deux. Soient en effet

a4 — Ax' -)- Bx — C — 0 [12]

l’équation proposée , et y la somme de deux quelconques de ses racines, la troisième racine sera par conséquent (A — y), de sorte qu’on doit avoir

mais, si cette équation a lieu, (A — y) est une racine de la proposée , et comme A est la somme de ses trois racines, y est nécessairement la somme des deux autres. L’équation [13] est donc l'équation aux sommes distinctes des racines de l’équation [ 1 2].

000. On verra de même que pour former l'équation aux produits deux à deux des racines de l’équation ^(x)=0, il faudra éliminer x entre

que l’équation en a: et y qui, conjointement avec l'équation en y seule , remplacera ce système , sera du deuxième degré, et que si l’équation proposée est

<p(jc) = x* — Ax’ + Bx — C = 0,

l’équation aux produits distincts sera

(y)*— A(f)*+B(y)— C=0, ou y^’+ACy-c^otté].

Exemplb. t^(x) = x* — 6x + 7. On trouvera que

ou bien , en effectuant la division ,

En éliminant x entre cette équation et la proposée, on trouvera

x* — (jx +7

yx3 — 6y x + 7y

yx* — 7x+y*

yx* — 7x+y*

7yx* — y*ix + 7y* — 6y1

On voit que le reste du premier degré en x est divisible par ( — y’ — 6y*+49) : on supprime ce facteur, et on divise, en conséquence, le diviseur yx* — 7 x + y* par x, ce qui donne y’ pour reste. Mais comme on a introduit le facteur y*, pour rendre possible la deuxième division, et que ce facteur est premier avec le coefficient du second terme du diviseur correspondant, ce facteur introduirait des solutions étrangères (ÎSfiO), de sorte qu’il faut le supprimer, dans le reste indépendant de x, ce qui réduit ce reste à l’unité. Les solutions du système

x* — 6x + 7 = 0 et y’ + afy+x* — 6x*=0,

seront donc celles mêmes du système

y*-f-6y’ — 49 = 0 et yx’ — 7x-j-y' — 0.

Or, à chaque valeur de y correspondront ainsi deux valeurs de x, de sorte que la véritable équation finale de ce système est (y' + Oy» — 49)* = 0. Telle est donc l’équation qui a pour racines tous les produits deux à deux que l’on peut former en multipliant successivement chaque racine de la proposée x? — 6a. -f-7 = 0 par toutes les autres. Mais comme ces produits sont égaux deux à deux, il en résulte que l'équation aux produits distincts est

vV+6»/— 49)*=0, ou ÿ*-j-6ÿ* — 49 = 0,

comme on peut le vérifier facilement en faisant A=0, B= — 6 et C= — 7 dans l’équation [14].

601. Quant à l’équation aux quotients, on l’obtiendra en éliminant x entre les équations

**)=<> e, tËSidlÈ!=0.

Elle sera du degré m(m — 1), mais comme ses racines seront

xf x "

réciproques (car, si -* est une de ses racines, -y en est une

aussi), elle pourra s 'abaisser à une équation de degré sous-double, c’est-à-dire du degré ajnsj qUe nou8 |e verrons

bientôt (chap. XIX, § 1).