CHAPITRE XVIII

des racines Egales des équations.

G02. L’objet de la théorie des racines égales est de ramener la résolution d’une équation, qui a des racines égales, à la résolution de plusieurs équations partielles , dont toutes les racines soient inégales , et qui soient telles que chacune ait pour racines toutes celles de la proposée , dont le degré de multiplicité est le même, et indique, par son numéro d’ordre , quel est ce degré de multiplicité.

Soit <p(x)=0 une équation qui a n racines égales à a, p racines égales à b, q racines égales à c, etc., de sorte que

ij>(x) = (x — a)"(x — bf(x — c)’...(x — h) (x — A) = 0 [1].

Si l’on observe que les dérivées de ( x — a)", (x — b'/, (x—c)",... sont respectivement n{x — a)*-1, p(x — bf~', q(x — c)’-1,... on verra (484 J que

<p'(x) = n(x — a'j'-'ix — by (x — c)’ ...(x — A) p(x — a)* (x — b)*~'(x — c)’ . . .(x — k) -f ■ q{x — a)* (x — b'f (x — c^...{x — k)

-f (x — a)“ (x — bf (x — c)’ ...(x — h), ou, ce qui revient au môme, que

?(x) | ?(x) | J y(x) x — b'"x — «T-Tx — k

Cette égalité nous montre que

(x — a)"Xx — bf~l(x — c)’-1

est le plus grand commun diviseur de <p(x) et de <p'(x), car c’est le produit de tous les facteurs premiers communs à ces deux polynômes. En effet , aucun des facteurs simples de <p(x), tel

DBS RACINES ÉGALES DBS ÉQUATIONS. 479

que (* — k) ne divise ®'(x), puisqu’il divise tous les termes de cette dérivée à l’exception d’un seul , et aucun de ses fac-

teurs multiples ne peut entrer dans un diviseur de <p'(x) avec un exposant aussi grand que celui qu’il a dans <p(x), car (x — a)", par exemple, divise tous les termes de <p'(x), sauf le terme

Donc

Quand une équation a des racines égales , son premier membre et sa dérivée ont un plus grand commun diviseur * qui est le produit de tous les facteurs correspondants aux racines multiples de l’équation proposée, affectés chacun d’un exposant moindre (F une unité que celui qu'il a dans celte proposée; et si i équation n’a pas de racines égales, son premier membre et sa dérivée sont premiers entre eux, car n, p, q étant alors égaux à l’unité, le plus grand commun diviseur [x—a)n~\x—b'f''{,x—c)'i~i se réduit alors à l’unité. . . . ,

* Ce théorème découle très-naturellement d’e la règle que nous avons donnée pour former l'équation aux différences. En effet, il est d’abord évident que si une équation a des racines égales, l’équation aux différences de ses racines aura des racines nulles,. et qu’elle en aura autant que l’on peut former d’arrangements avec les racines égales de chaque espèce prises deux a deux (ainsi l’équation aux différences des racines de (at— a}*(®— b)3!®— e) =0 aura 1.3+3.5=18 racines nulles). Réciproquement, si l’équation aux différences ([ y) =0 a des racines nulles, la proposée ?{x)=0 en aura d’égales. Cela posé, l’équation f{j/l=0 étant l’équation finale (826) qui provient de l’élimination de x entre les équations

ç(*)=o et ^(*) + y1 + •..=<) W,‘

on voit que si ç(x)=0 a des racines égales, y=0 est une valeur propre à satisfaire à ces deux équations. Puis donc que la seconde se réduit alors A 9'(*)=0, »! faut nécessairement que les équations ?!x) — 0 et 9’(x)=0 oient une racine commune, et qu'ainsi leurs premiers membres aient un commun diviseur. La réciproque est vraie; car, si e'x) et o'(x) ont un facteur commun (x— a) , les équations [ij seront vérifiées par x= a et y =0 ; donc y=0 sera une racine de l’équation finale /(y) =0 , c’est-à-dire de l’équation aux différences; donc la proposée aura des racines égales.

Réciproquement, s'il existe un commun diviseur entre le premier membre d'une équation et sa dérivée , cette équation aura des racines égales, sans quoi ces deux polynômes seraient premiers entre eux ; et si le premier membre d’une équation est premier avec sa dérivée , cette équation n’a pas de racines égales, sans quoi ces deux polynômes auraient un facteur commun.

C’est sur ce théorème qu’est fondée la méthode des racines égales.

605. On commencera par chercher le plus grand commun diviseur entre le premier membre de l’équation proposée et sa dérivée, et si l’on n’en trouve pas, on conclura que cette équation n’a pas de racines égales.

Supposons que l’on en trouve un : on sera sûr alors que l’équation a de pareilles racines. Représentons par Xt le produit des facteurs correspondants aux racines inégales de la proposée, et en général par Xn le produit de ses facteurs de l’ordre », mais élevés seulement à la première puissance* : on aura donc

f (x) — XtXj’Xj’X^X,1,

en supposant qu’il n’y ait pas de racines dont le degré de multiplicité surpasse le cinquième. Cette hypothèse, comme on va le voir, n’ôtera à la méthode rien de sa généralité.

Le plus grand commun diviseur Di entre <p(x) et sa dérivée <f'(x) sera le produit de tous les facteurs multiples de <f(x), affectés chacun d’un exposant moindre d’une unité que celui qu’il a dans <p(x) ; donc

Si maintenant j’opère sur Dj comme sur f(x); sur le plus grand commun diviseur D, que je trouverai ainsi, encore de la même manière, et ainsi de suite, je finirai par obtenir un plus grand commun diviseur qui sera le produit des facteurs du plus haut

*De telle sorte que si la proposée était (x— a;(x— b){s—i ef(x—< e)‘=0, on aurait X,=(x -a){x-b), X,=x— e, X,=t, X,=(*— d){x — *).

degré de multiplicité qui sont dans *(ar), et j’en serai averti parce que le plus grand commun diviseur sera premier avec sa dérivée, de sorte que le calcul s’arrêtera là. Nous trouverons ainsi la suite d'équations

D,=X.XS';

D»=XS.

Cela fait, nous diviserons »(x) par D, , D, par D, , D, par D, , et enfin D, par Dv, et en appelant Q,, Q,, Q,, Q4 les quotients correspondants, nous aurons ,

Q1=X,X,XsXlX5,

Q,=X,XsX4X5, -

. Q»— XjXtXj, ,

En divisant enfin le deuxième membre de chacune de ces équations par celui de la suivante, et en égalant à zéro les quotients ainsi obtenus, on formera les équations

Xi = 0, Xj = 0, X,=0, X4 = 0, Dt= Xj=0.

Les racines de ces diverses équations sont toutes inégales ; cha- * cune a pour racines toutes celles de l’équation y(x)=0, dont le degré de multiplicité est le même , et son numéro d’ordre est précisément égal à l'exposant de ce degré de multiplicité.

Exemple. Soit %(x)=x' — 2x‘ — — 3*2=0. On trouvera — 2x* — 4x-}-8; Da=x — 2.

Puis

Ainsi l’équation proposée à deux racines égales à — 2 et trois racines égales à 2.

G04. Si l’on trouvait que le plus grand commun diviseur Dt

' • A; , * kiïîa> •’ï

entre <j>(#)et tp’(.r) est du deuxième degré, on examinerait si ce plus grand commun diviseur est ou n’est pas un carré parfait. Dans le premier cas, on en conclurait que la racine double de l’équation D,=0 entre trois fois dans la proposée, et en égalant à zéro le quotient de la division de <p(.r) par (^Di)5, on formerait une équation dont les racines seraient toutes les racines simples de la proposée. Si D, n’est pas un carré parfait, chacune des racines de D,=0 entrera deux fois dans la proposée, et en conséquence on divisera <f(x) par D,’ et on égalera à zéro le quotient de cette division.

603. La méthode précédente exige des calculs qui deviennent très-longs, lorsque l’équation proposée est d’un degré un peu élevé, aussi est-il important de n’y avoir recours qu’autant que la chose est indispensable. Or, j’observe que si une équation, a une seule racine multiple d’un certain ordre et que ses coefficients soient rationnels, celte racine est commensurable, car elle sera la racine unique d’une de nos équations partielles Xj=0, X.=0, X,=0,... lesquelles sont évidemment rationnelles.

11 suit de là 1° qu’une équation du troisième degré dont toutes les racines sont incommensurables ne peut pas en avoir d’égales, car elle ne saurait avoir qu’une seule racine double ou une seule racine triple. •

S* Qu 'une équation du quatrième degré dont les racines font incommensurables ne peut avoir pour racines multiples que deux racines doubles ; mais alors son premier membre est un carré parfait. On verra donc si cette condition est remplie : si elle l’est, l’équation s’abaissera à une équation du deuxième degré , qu’il sera facile de résoudre. Si son premier membre n’est pas un carré parfait, toutes ses racines sont inégales. .

Exemple I. Soit l’équation xi — 2x* — x1 -f- 2x 4- 1 = 0. J’extrais Ja racine carrée de son premier membre et je trouve que xl — x — 1 est sa racine exacte. Je résous donc l’équation

ic* — x — 1=0, et j’en conclus que ses racines — et - 5

entrent chacune deux fois dans la proposée.

Exemple II. Soit encore l'équation av — x * — 2 x — 1=0: son premier membre ne saurait être un carré parfait , car il manque du terme en x 3 et renferme la première puissance de x; de sorte que cette équation ne peut pas avoir de racines incommensurables égales.

3° Une équation du cinquième degré, dont les racines sont incommensurables, ne peut pas en avoir d'égales, car elle ne saurait admettre une seule racine d’un certain degré de multiplicité, et si elle avait deux racines doubles, elle en aurait une seule simple.

On voit donc que l’on n'aura jamais à appliquer la méthode DES racines égales qu’à des équations d’un degré supérieur au cinquième; car, on peut toujours, comme on le verra plus tard, déterminer facilement les racines commensurables égales ou • inégales d’une équation donnée, et former ensuite une deuxième équation, qui ait pour racines les seules racines incommensurables et imaginaires de l’équation proposée.

GOG. On propose quelquefois de décomposer une équation - 9(x) = 0, qui a des racines égales , en deux autres , dont l’une ' ne renferme que les racines simples de cette proposée et dont l’autre admette toutes ses racines multiples, prises chacune une fois seulement. Ce problème est résolu au n° G03, puisque nous y avons formé les équations X,=0 et XsX3X,X5=0; mais on peut obtenir ces deux équations plus rapidement. Pour y par- . venir, on formera d’abord le polynôme Q, =XiX,XsXt... ; puis • en cherchant le plus grand commun diviseur </, entre Q, et D, = XSX3ÎX^,... et en égalant d, h zéro, on obtiendra l’une des équations demandées XsX,Xk.. ..=0. Il ne s’agira plus, pour • avoir l’autre, que d’égaler à zéro le quotient de la division de Qt par rf3, ce qui donnera X, = 0.

G07. Le théorème sur lequel repose la méthode des racines ' égales donne le moyen de reconnaître si une racine connue a d'une équation f(x)=0 est une racine multiple de cette équation, et quel est son degré de multiplicité. Il suit, en effet, de ce théorème que le facteur (x — a] devra entrer aux puissance

DSS RACINES ÉGALES DES ÉQÜATIONS.

(n— - 1)™, (n — 2)“*,... troisième, deuxième, première dans les dérivées respectives tp'{x), i"(x),...y'~\x), (p*- *(a:), et à la

puissance zéro dans <p"(.r), s’il se trouve à la n”" dans <p(x). Par conséquent, toutes ces fonctions s’évanouiront, & l’exception de <f"(x), par l’hypothèse d e x — a. D’où l’on voit que pour trouver le degré de multiplicité de la racine a, il n'y a qu’à former les dérivées successives de l’équation proposée *(x) = 0, et l’indice de la première dérivée qui ne s’ anéantira pas, en y faisant x =a, sera l’exposant du degré de multiplicité de cette racine.

Exemple. Combien l’équation ç(x)=x*' — 6x*-(- llx* — 2x’ — 1 2x -f- 8 = 0 a-t-elle de racines égales à 2 ?

.•ne. \

y(ar). =5 af — 24-c*-i-33x’ — Ax — 12; x=% donne ?'(2) =0; =l<te*— 3&r*+33x— 2 ;

±Q=10xi-24x+ll;

Il y a donc trois racines égales à 2.

608. Problème I. Trouver les conditions nécessaires et suffisantes qui doivent exister entre les coefficients indéterminés de l’équation ip(x) = 0, pour que ses m racines soient toutes égales.

On voit d’abord que toutes les racines de l’équation proposée devant être égales, son premier membre sera la m"* puissance du binôme correspondant à cette racine multiple ; mais alors la dérivée de ce premier membre sera égale à m fois la (m — 1)"« puissance de ce binôme; donc il faut que le premier membre de l’équation proposée soit divisible par sa dérivée.

Cette condition est suffisante ; car, si elle est remplie, <p’(x) sera alors le plus grand commun diviseur Dj de y(x) et de ?'(#); mais le quotient de la divnion de f(x) par Di doit être le produit des facteurs du premier degré correspondants aux racines de chaque espèce; donc, puisqu’il est du premier degré, on doit en conclure que la proposée n’a qu’uue seule espèce de raciucs, et qu’ainsi ses m racines sont égales.

En conséquence, on effectuera la division de 9(3;) par <p'(«), et on s’arrêtera à un reste du degré (m— 2;, lequel sera de la forme

Ce reste devant être nul quelle que soit x, on égalera chacun de ses coefficients à zéro, et on formera ainsi les (m — t) équations de condition demandées,

À, — O, Àj = 0, A, = 0,.. . A, = 0.

609. Exemple. Appliquer cette règle à l'équation x'+Px*-}- Qx*-fRx + S=0.

La dérivée du premier membre de cette équation étant 4x‘ -f- 3Px* 2Qz-(- R , on devra, pour éviter les quotients fractionnaires, multiplier le premier et le deuxième dividende partiel , chacun par 4 , et on trouvera ainsi pour quotient et ' pour reste,

«-f P et (8Q— 3P*)^-f-(6R— PQ)a:-)-(16S— PR), de sorte que les équations de condition sont