Problème II. Trouver les relations qui doivent exister

entre les coefficients indéterminés d'une équation <p(x) = 0, pour qu'elle ait n, racines égales.

lr* Solution. Il résulte duprincipeétabli précédemment (607) que pour qUe l’équation ç(x) = 0ait n racines égales, il faut et il suffit que cette, équation et ses (n^l) premières dérivées aient une racine commune, et que par conséquent les polynômes <p(x), <f’(x), y"(x), . . . <j.n-\x)aient un facteur commun du premier degré. On cherchera donc le plus grand commun diviseur des deux polynômes du plus faible degré et

et on poursuivia l'opération jusqu’à ce qu’on soit parvenu à un reste indépendant de x; on l’égalera à zéro, et on exprimera ensuite que le reste précédent, qui est du premier degré par rapport à x, divise tous les autres polynômes ®(xj, . . . a^x).

On obtiendra ainsi (n — 1) équations de condition qui résoudront le problème.

S’il y a plus ou moins de (n — 1) coefficients indéterminés dans cpfa?), le problème sera indéterminé ou impossible.

Si l’ou voulait que l’équation proposée eût A racines de l’ordre n, on exprimerait que le plus grand commun diviseur des polynômes <p(x), <p’(x), y"(x),... f(n-,\x)est du degré A, ce qui ne saurait présenter aucune dilliculté. On obtiendrait alors (n — 1)A équations de condition.

01 1. Exemple. Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation x,4-px,-|-qx-|-r=0 ait deux racines égales?

On trouvera, en divisant le premier membre de celte équation par sa dérivée 3x’4-2/ix-f-ÿ, que le reste du premier degré est (6y— 2/fyr-f-9r — pq\ desorteque l’on aura la condition

demandée, en remplaçant a: par dans la dérivée (C6).

On trouvera ainsi

243r’ — 162/rçr -f-36pV-^-9/?V -|-36ç^ = 0.

Si on supposep=0, on retombe sur la condition connue(651) Aq'+ÏTi* = 0.

> 012. 2* Solution Soit a la racine qui doit entrer n fois dans

l’équation proposée : le premier membre de cette équation devra être divisible par (x — a)*; ainsi on effectuera cette division et on s’arrêtera à un reste du degré (n — 1), lequel sera de la forme

AiX"-' -f- Ajx—* -f -f A„.

Ce reste devant être nul quelle que soitx, il faut que les coefficients de ses différents termes soient chacun égaux à zéro, de sorte que •* •

Or j’observe que, si les coefficients indéterminés de l’équation proposée étaient déterminés comme on le demande , ces n équations devraient être vérifiées, lorsqu’on y remplacerait a par sa valeur, de sorte que leurs premiers membres auraient un facteur commun. On cherchera donc le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes du plus faible degré par rapport à a, on égalera le reste indépendant de a à zéro, et on exprimera ensuite que le reste précédent, qui est du premier de- , gré, divise tous les autres polynômes, ce qui fera en tout (n — 1 ) équations de condition, nécessaires pour que la proposée ait n racines égales. Elles sont aussi suffisantes : car , si elles sont remplies, les équations

Ai=0, A,=0, Aa=0, . . . Ab=0

auront une racine commune a, et par conséquent le premier membre de l’équation proposée sera divisible par (x — «)", de sorte que cette équation aura n racines égales à a. \ . '

Appliquons cette méthode à l’équation

- xi+px*-|-g=0.

En divisant le premier membre de cette équation parx* — 2ox-f-a*, et en égalant les coefficients du reste du premier degré à zéro, on trouvera

; a(3a + 2i>)=0> d’où j^^2p==0, etSa’+pa*— î = 0.

a = 0 donne ÿ— 0; et, en effet, si q =0, la proposée a deux . racines nulles. - • ••

3a-|-2p=0 donne a= — ~ et en substituant dans la se-

conde équation, il viendra

4/>>+27gr=0, qui est la condition demandée (888).

613. Scolie. 11 semblerait que le théorème fondamental du n° 602 doit conduire à une solution du problème que nous venons de résoudre; car il résulte de ce théorème que, si l’équation 9(a;)=0 a n racines égales, son premier membre et sa dérivée doivent avoir un commun diviseur du degré (n— 1), lequel sera une puissance parfaite de ce degré et réciproquement. En conséquence, on cherchera le plus grand commun diviseur entre f(x) et *'(£), on poursuivra l’opération jusqu’à ce qu’on soit parvenu à un reste du (« — 2)”* degré, et on égalera les coefficients de ce reste à zéro, ce qui donnera (n— 1) équations de condition. 11 est évident qu’elles ne sont pas suffisantes , puisqu’elles expriment seulement que <f(x ) et <p'(x) ont un commun -diviseur du (n — l)"* degré; ainsi elles conviennent également au cas où la proposée devrait avoir (n — 1) racines doubles; ou (n — 3) racines doubles et une triple; ou (n — 4) racines doubles et une quadruple ; ou etc. 11 faut donc encore exprimer que le dernier diviseur auquel on s’est arrêté est une puissance parfaite du degré (n — 1) ; on obtiendra ainsi (n — 2) nouvelles équations de condition (608), de sorte que l’on en trouvera en tout n — 1-J-n — 2=2 n — 3, ce qui ne s'accorde pas avec les deux solutions que nous avons données plus haut du problème dont il s’agit. En effet, les (n — 1) équations de condition établies en égalant à zéro le reste du (n — 2)m* degré expriment uniquement que le reste précédent est commun diviseur de <p(x) et de<p'(x), et qu’ainsi les racines de l’équation formée en égalant ce commun diviseur à zéro entrent chacune deux fois dans ?(£}, et comme rien n’indique qu’il y en ait d’égales, on voit qu’en les appelant a( , a, , a,, . . . an 4 , le premier membre f(x) revient à

(x— flE,)'(ar— aj'ix— a,/. . . (x—

Or , si l'on pose a, = a, == a, = . . . = a„, , f(x) deviendra ( x — X, et on a ainsi exprimé que la proposée a, non

pas n, mais (2n — 2) racines égales, ce qui , comme nous l’avons vu (610), exige (2n — 3) équations de condition.

01 A. Observons toutefois que cette méthode s’applique au cas où la proposée doit avoir deux racines égales, car en égalant à zéro le reste indépendant de x, que l’on trouve en cherchant le plus grand commun diviseur de q{x) et de q\x) , on exprime que le reste précédent, qui est du premier degré , divise ces deux polynômes, et qu’en conséquence ce facteur entre au second degré dans ?(ar). Donc

Pour qu’une équation ait deux racines égales , il faut et il suffit que son premier membre et sa dérivée aient un facteur commun du premier degré.