On appelle fraction algébrique l’indication d’une divi

sion, soit qu’on puisse ou qu’on ne puisse pas l’effectuer. Ainsi la quantité complémentaire que nous avons prescrit d’ajouter au polysome trouvé, en divisant deux polynômes l’un par l’autre, pour obtenir le quotient de leur division, est une fraction algébrique. Telles sont les quantités — et (0®)-

2 qIjP

Telle est encore l’expression s-;-; .

77. Les deux termes d’une fraction algébrique portent, comme dans l'arithmétique, les noms de numérateur et de dénominateur, mais il faut bien se garder d’attacher ici à ce mot de fraction la môme signification qu’en arithmétique, c’est-àdire de regarder une fraction algébrique comme représentant une partie ou la collection de plusieurs parties égales de l’unité, attendu que les lettres qui entrent dans ses deux termes de-

42 • DBS OPÉRATIONS DE LALUÉBRS.

vaut recevoir des valeurs quelconques, son numérateur et «on dénominateur peuvent devenir des quantités fractionnaires ou incommensurables, positives ou négatives.

70. Il suit de cette remarque que les raisonnements par lesquels on a établi, dans l'arithmétique, les règles du calcul des fractions , étant fondés sur la définition qu’on y a donnée des fractions, laquelle suppose que le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers abstraits-al«olus, ces raisonnements, dis-je, ne peuvent pas s’appliquer aux fractions algébriques, et qu’il faut en conséquence avoir recours à de nouvelles explications, pour savoir comment le calcul de ces fractions devra s’effectuer.

Or, une fraction algébrique exprime la division de son numérateur par son dénominateur, et comme en multipliant ou en divisant un dividende par une certaine quantité, on multiplie ou on divise le quotient par cette quantité, et qu’au contraire en multipliant ou en divisant un diviseur par une certaine quantité, on divise ou on multiplie le quotient par cette quantité, on reconnaît immédiatement que les règles du n° 07, et par suite celles des 09 et 407 de Y Arithmétique , s’appliquent aux fractions littérales.

Ainsi 1° pour multiplier ou diviser une fraction algébrique par me quantité entière , opérez comme s’il s' agissait d’une fraction arithmétique et d’un nombre entier;

2° On ne change pas la valeur d’une fraction algébrique en multipliant ou en divisant ses deux termes par une même quantité;

3® Pour réduire plusieurs fractions algébriques au même dénominateur, multipliez les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs de toutes les autres.

79. On dit qu’une fraction algébrique est irréductible , lorsque ses deux termes sont premiers entre eux.

80. il suit de là que, pour réduire une fraction algébrique à sa plus simple expression , il faut supprimer tous les facteurs

DBS OPÉRATIONS DE L’aLGÈDRB.

communs à scs deux termes ; car son numérateur et son dénominateur seront alors les plus simples * possibles.

Cette règle, qui peut entraîner dans des calculs très-compliqués, comme on le verra plus tard, quand le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, est d’une application très-facile , lorsque les deux termes sont des monomes. Il suffit , en effet , de diviser les coefficients du numérateur et du dénominateur par leur plus grand commun diviseur, de supprimer les lettres qui ont le même exposant dans le numérateur et dans le dénominateur, et d'écrire chacune des autres lettres dans celui des deux termes où elle a le plus grand exposant, en lui donnant pour exposant la différence de ceux qu'elle a dans le numérateur et dans le dénominateur. On verra ainsi que

car le plus grand commun diviseur des coefficients est 6, et a’, b, e5, sont les facteurs littéraux communs aux deux termes. 81. Yeut-on maintenant trouver une fraction équivalente à

- on observera que si l’on multiplie ce polynôme

par m , on aura pour résuhat a -f- b — e (41); donc, en divisant ce produit par le facteur m , on retrouvera l’autre facteur

* On ne peut pas dire qu'une quantité algébrique est plus petite qu’nne autre, parce que, sf pour un certain système de valeurs données aux lettres qu'elles renferment , la première prend une valeur moindre que la seconde; le contraire pourra arriver, quand oa assignera a ces lettres un autre système de valeurs. Ainsi, ba+b <o’— b, si l’on suppose a=6 et b=2, mais 5a b > a’— b pour a = 3 et î> = l.

Quand nous dirons qu’une quantité algébrique est plus simple qu'une autre, nous entendront qu’elle renferme moins de facteurs que cette autre.

3èy,

30 a*bt?(P 5««P ’

Di

Ainsi l'addition et la soustraction des fractions algébriques, qui ont le même dénominateur, s’effectuent d’après les règles données pour les fractions arithmétiques.

Si les fractions à additionner ou à soustraire n’ont pas le même dénominateur, on commencera par les y réduire (78, 3°).

82. Observons toutefois que quand les dénominateurs des fractions que l’on veut réduire au même dénominateur ne sont pas tous premiers entre eux, on doit, comme dans l’arithmétique , chercher leur plus simple multiple.

Si ces dénominateurs sont des monomes , il suffira , pour former leur plus simple multiple, d’écrire à la droite du plus petit multiple de leurs coefficients numériques , les lettres différentes qui entrent dans ces dénominateurs , en donnant à chacune le plus grand exposant dont elle est affectée fiS7). On multiplie • ensuite les deux termes de chaque fraction par le quotient trouvé, en divisant ce plus simple multiple par le dénominateur de cette fraction.

Exemple. Soient les trois fractions

7a 5 b 11c 4ÔàV ’ mFd ’ Abb'd?

Le plus simple multiple des trois dénominateurs est 2\3’.5 6W1 : en le divisant successivement par chacun d’eux , on trouvera

9b\ P, 10 b'cd, 8c*,

de sorte que nos fractions reviennent aux suivantes :

63a b'd* 50 b'cd 88c‘

3606‘csd” 360 6‘c8d*’ 3606 W

85. Si les dénominateurs des fractions proposées sont des polynômes, il faudra, pour obtenir leur plus simple multiple, avoir recours au plus grand commun diviseur algébrique, comme on le verra plus loin.