Problème Y11I. Résoudre une équation
dont les racines forment une progression géométrique.
Nous distinguerons deux cas, suivant que la raison sera ou ne sera pas donnée.
l*r Cas. Soit q la raison : les m racines de la proposée pourront être représentées par
a, aq, aq',,..aqm-\
. . o(qm — 1) J( v K(q— 1)
de sorte que I on aura — k = — - — d ou a = — — — 7-.
On connaîtra de cette manière une des racines extrêmes, et par suite toutes les autres.
2* Cas. Appelons encore q la raison inconnue de la progression : nous avons vu que les deux équations y(x) = 0 et
sp ^^=Odevaient avoir les m racines communes aq, aq*,...aqm-i‘,
on cherchera donc le plus grand commun diviseur de leurs premiers membres et on écrira que le reste du (m — 2)"'* degré
est identiquement nul, ce qui donnera les ( tn — 1) équations de condition
Ai— 0, A,=0,, . .Àm i=0,
qui devront avoir, pour racine commune, la raison q de la progression. Mais comme il n’y a pas de motif pour regarder cette' progression comme étant croissante plutôt que décroissante,
elles auront aussi la racine commune ~. Par conséquent leurs
premiers membres auront un commun diviseur du second degré, lequel sera le coefficient Ai de xm~t, dans le premier terme du reste; car ce coefficient est du deuxième degré par rapport à q, comme nous le verrons tout à l’heure. On l’égalera donc à zéro, ce qui fournira une équation d’où l’on tirera la valeur de q, et on rentrera ainsi dans le premier Cas ; mais il sera plus simple de remplacer q par sa valeur dans l’équation formée en égalant à zéro le quotient de la division de <${x) par le reste du . (m — l)m* degré, carbn aura ainsi très-simplement une des racines extrêmes.
J’ai dit que At était un polynôme du deuxième degré par rap-
port à q : en effet, l’équation <p^
=0 revenant à
xm+b.q3f*-i-\-\lq'a?*-t + CÿV’,-f- . . . + Uç"=0,
on pourra substituer au système de cette équation et de la proposée, un système formé de cette proposée, et de l’équation
A xm~' -f- B( q -}- 1 )xm~' -f- C(ç’ -j- q -f- 1 )xm~l -f- . . . = 0
obtenue en divisant par (q — 1) la différence de leurs premiers membres. Le premier membre de cette dernière équation doit donc diviser x)t ou, pour éviter les quotients fractionnaires, A.’cpfx) En effectuant cette division, on trouvera pour quotient
jï
DIS ÉQUATIONS SUSCEPTIBLES D’aBMSSBMBNT. 507
Aar-f-'A* — B(y-j-l)| et pour coefficient du premier terme du reste correspondant
A»=(B* — ÀC)?’+(2B*-A*B— ACjy+B*— AC.
Ainsi , la résolution de l’équation proposée se trouve ramenée à celle des deux équations
[B* — AC)g * + (2B*— A’B — AC)? + B* — AC = 0 et Aa- + A*— B(ï+1) = 0.
Soit , par exemple , l’équation
<? (te) = x* — 1 5x* -J- 70x* — 1 2Qx + 64 = 0 ,
on aura
9 ^ = a* — 1 5qx* -f- 70çV — XlOq'x -f 64ÿ*=0,
-~~t~ — 1^—70(74-1^4 i20tg'4-9 4-i)*-r. . .=o.
Le quotient de la division de ÿ{x) par le premier membre de cette dernière équation est x-\-\iq — 31, et le reste a pour coefficient de son premier terme 310(2g* — 5q + 2).
En égalant ce reste à zéro, on trouvera q—2 et g = 4 Mais comme, pour effectuer la division , on aura m ulti plié le premier dl-
vidende par 15 et le second par 3, c’estl’équation x-j — =0
qui donnera la première racine. En faisant q= 2, on trouve x = 1 et ainsi les racines sont 1, 2, 4, 8.
