II. DIFFÉRENCES DES FONCTIONS ENTIÈRES

6dl . Supposons actuellement que les quantités «<,, «,....

soient les valeurs successives que prend la fonction entière et rationnelle de x ,

u = <f(x) = A*“ + Ba—‘ + Cx**-» ,-f . . . . + S*1 + Tx -f U ,

DES DIFFERENCES FINIES, lorsque l'on dorme à la variable x les valeurs respectives

x0, x,, x, supposées en progression arithmétique, c’est-

à-dire telles que

xt ~ xt -)- A — x0 -f- 2A

x3 = Xt -j- A = x0 -f 3A

. ... etc., . .

en désignant par A la différence constante de deux valeurs consécutives de x. Si l’on appelle x l’une quelconque des valeurs x\, xti x, . . . . et « la valeur correspondante de la fonction, on aura (482),

d’où l’on conclut que la différence première d’un terme quelconque u de la série w0, vt , «î, . • ... est un polynôme du degré (m — I) en x {puisque tp'{x) est du degré ( m — 1), </(x) du degré ( m — 2), etc.], dont chaque terme renferme le facteur A; et le premier terme de ce polynôme, celui qui contient x à la plus haute puissance, est d’ailleurs évidemment le premier terme de ?'(x)A, c est-à-dire inkx"~' A. Donc, en ordonnant par rapport à x et mettant en évidence le facteur A, il viendra pour Au une expression de la forme . .

Au = tnkhx’^' -|- B,Ax"~’ -jr . . . . -J- S,Ax -f-T,A

■|<x) étant du degré (»n — 1) en x.

Considérons maintenant la série des quantités Au,* Au,, Au,„.., qui sont toutes, d’après ce qui précède, des polynômes du de- > gré (m — 1) multipliés par A. La différence première d’une ‘ , quelconque de ces quantités, c’est-à-dire la différence seconde d’une quelconque des quantités u0, «i , u, , sera :

et l’on Verra facilement, comme ci-dessus, que <{{x-|rA)^-'Kx;'

sera un. polynôme du degré (m — 2) dont tous les termes renfermeront lo facteur A, et dont le. premier terme sera le premier terme de <yx) -h, c’est-à-dire m[m — 1)A«*-*.A; donc, A5w sera un polynôme du degré ( m — 2), dont tous les termes renfermeront le facteur A*, et de la forme : * .

A*a = m'm. — 1 ) AAV*-5 -f- JVi’o."" s

On verra de môme que les degrés des différences successives A’», A‘«, etc., iront toujours en décroissant d’une unité de chaque différence à la suivante ; par conséquent la différence de l’ordre m, ou A"», ne dépendra pas de x, et elle sera :

A”u — m(m — l)(m — 2) . .. .2 . 1 AA”*, ou bien •

A"u — 1.2.3 »i.A.AM [5];

cette différence étant constante, toutes celles des ordres suivants seront nullès.

Ainsi, s» dans une fonetion entière et rationnelle du degré ni, on substitue une suite de nombres en progression arithmétique, les différences m“*‘ des résultats ainsi obtenus sont constantes.

682. Cette propriété des fonctions entières permet d'obtenir facilement la suite des valeurs que prend une pareille fonction pour des valeurs équidistantes de la variable, lorsque l’on a déjà calculé directement un nombre de ces valeurs égal au degré de la fonction.

Exemple I. Soit la fonction du troisième degré : y = 2x®-)-3«* — 5x-j- 1,

et proposons-nous dé former les valeurs que prend ce polynôme pobr les valeurs entières de x-

11 suffira de calculer d’abord directement les valeurs qu’il prendra pour trois valeurs consécutives quelconques données à la variable.

Si nous faisons pour plus de simplicité «,= — 1, «i = 0, «i=l, on trouvera pour les valeurs correspondantes de y ,

DES UIHEUKNCES UNIES.

y0=.- }-7, y, 2= -J- 1, y»=+ 1 ; ça -en déduira successivement:

A'/o=yi— !/<,=— G; i=yt—yi=o,

\*y0 = 5y, — Ay0 = -f 6.

On a d’ailleurs, d'après ce qui précède; formule [5],

On pourra disposer ces résultats de la manière suivante :

On remplira ensuite les différentes colonnes en allant de droite à gauche, et en observant que chaque terme de l’une d’elles (la première colonne exceptée) est égal à celui qui est au-dessus de lui dans la même colonne augmenté du terme correspondant à ce dernier dans la colonne placée à sa droite. On pourra ainsi prolonger les colonnes dans les .deux sens, èt former le tableau suivant :

Ôj

utmm

mmm

in

DUS DlFKÉHEfiChs FIMES. '

Pour obtenir les nombres au-dessous des filets, on continue d’abord la colonne des différences secondes +18,-|-30,

-f- 42 , etc., dont chacune est égale à la précédente augmentée de la différence constante 12; on forme ensuite chacune des différences premières en ajoutant à celle qui précède la différence seconde placée dans la même ligne que celle-ci, et ainsi de suite. Pour obtenir les nombres placés au-dessus des filets, on formera d’abord les différences secondes — 6, — 18, — 30, etc., dont chacune se déduit de celle immédiatement inférieure en en retranchant la différence constante 12 ; on obtiendra ensuite chacune des différences premières en retranchant de celle déjà écrite au-dessous la différence seconde placée dans la môme ligne que celle que l’on veut former, etc.

Exemple II. Former la somme des troisième et quatrième puissances de tous les nombres impairs positifs.

On calculera directement quatre valeurs de la fonction y= a* -f- x*, correspondantes aux valeurs de la variable xt=i , t, = 3, x, =5, xt = 7, et on déduira successivement Ay0, Ay„ Ay,, A*y#, A*;/, ,A‘y0; on aura d’ailleurs A‘y,=l .2.3.4. 2‘=384, en faisant in = 4, A=^l, A=2 dans la formule [5]. On obtiendra facilement le tableau suivant :

Ay

elc.

etc.

HÎS5. La formule générale [t] devient, en remplaçant « par

Dans le cas où f(x) est un polynôme algébrique, le premier membre se réduisant à une quantité indépendante de x, il faudra qu’il en soit de même du second ; on pourra donc égaler à zéro tous les coefficients des diverses puissances de x, et obtenir ainsi des relations qui fourniront divers théorèmes d’algèbre. Supposons , par exemple , spfa?) = x" ; il viendra :

A-(r-) = (* + mh)-— ™[f + (n-l) h.]- + — y~'-j [»+ (m— 2) h]-—...;

d’où l’on tire, en faisant x — 0 et A = 1,