III. CONSTRUCTION DES TABLES NUMÉRIQUES

654. Nous venons d’appliquer avec une grande facilité la considération des différences au calcul des valeurs d’une fonction entière. On peut en étendre l’usage au calcul des valeurs successives d’une fonction quelconque. Si l’on considère en effet une série de valeurs d’une fonction quelconque formées suivant une certaine loi et suffisamment rapprochées, on remarque en général que leurs différences successives tendent, de plus en plus à devenir égales, à mesure que leur ordre s’élève; dn pourra donc, en négligeant des quantités fort petites, regarder comme constantes dans un certain intervalle les différences d’un certain ordre , et procéder alors comme s'il s'agissait (l’une, fonction entière, pouf construite le tableau qui donnera dans cet intervalle la suite des valeurs de la fonction considérée. .

Nous allons faire l’application de ce qui précède à la construction des Tables de logarithmes et des Tables trigonomé triques.

633. Considérons d’abord la fonction y = log x, et formonsses différences successives. On trouvera :

=a log (x+h) ^ 10g * — log = log (i +

A’y = log (x +■ 2h) — 2log(x + fc).+ log x (649)

=[log (x-f 2/i)— log x] —2 [log (*+h)— log a] =iog ^1 + ^—5 log ( l -f ^

^r\oSe

AJj/ = log (x-f 3h) — 3 log(x-f 2iq-f31og (x+h)— log x

= [log (x+3h) — logx] — 3[log(x +-2ft) — log x] + 3[l<>g (x-f h)— log *]

='°S (' + j)~3 l°s (‘ + t) +3 log 0+ î)

=l°ge(f

etc.

On voit que si l’on prend, par exemple, 10000 et A=l, les différences successives décroîtront très -rapidement. On trouvera dans ce cas, en forçant l’unité sur le quinzième chiffre décimal , que

Asy< 0,000 000000 000 869. . . , *

- Si donc on veut calculer une table de logarithmes avec huit décimales, on pourra négliger pendant longtemps les dtffé- •rences du troisième ordre, et procéder comme si la différence deuxième était constante. li est facile d’ailleurs d’apprécier Terreur qu’occasionne sur la valeur d’un, terme de rang quelconque n la suppression des différences d’un ordre donné, en faisant usage de la formule [3] :

u.=,u, + nAu,+

<nr1W+

A'Mf •{*