V. DE L INTERPOLATION

(167. L'interpolation a pour but, étant donne un certain nombre de valeurs d’une fonction avec les valeurs de la variable auxquelles elles correspondent , de déterminer les valeurs que prend cette fonction pour d' autres valeurs intermédiaires et données de la variable.

660. Lorsque la fonction proposée est entière et du degré », elle est entièrement déterminée, si l’on connaît les valeurs . correspondantes à (n-f- 1) valeurs différentes et données de ia variable; en effet, deux pareilles fonctions sont nécessairement identiques lorsqu’elles prennent les mêmes valeurs pour (»+i) valeurs différentes de la variable, car, si elles ne l’étaient pas, • .* en égalant à zéro leur différence, on formerait une équation qui serait au plus du degré n, et dont le premier membre serait annulé par(H-f-l) valeurs de la variable, ce qui ne se peut (018).

On représentera donc cette fonction par ...

y=A4-B^+Cx'-j-. Kx", '*

et en exprimant quelle prend successivement les valeurs connues y0, y( , y% .... y. , lorsqu’on y remplace x parles valeurs données ^r0 , x,,x,,.... xx, on aura (n -f 1) équations au moyen desquelles on déterminera les coefficients A, B, C, .... TJ, U.

Mais dans la plupart des cas, on n’a pas l’expression générale de la fonction dont on se propose de calculer les valeurs, et dont on connaît seulement un certain nombre de valeurs particulières. Il est évident que le problème est alors • • complètement indéterminé; puisqu'il revient A faire passer une courbe par un certain nombre de points désignés, et que • l’on peut toujours tracer une infinité de courbes qui satisfassent à cette condition, tout en pouvant d’ailleurs différer notablement les unes des autres dans l’intervalle de deux points consécutifs.

On choisit ordinairement pour la courbe dont l’ordonnée doit représenter la fonction que l'on a à considérer, une courbe

parabolique, à cause de sa simplicité; ce qui revient à suppo- • ser que cette fonction est une fonction entière que l’on déter- ' minera alors comme au numéro précédent. Mais ce calcul peut se faire très-simplement, sans résoudre les équations de condition qui doivent donner les coefficients A, B, C, .... T, U. 660. Soit en effet

y=A-j-Bx-j-Cx*-f- . . . . -f- Kx"

la fonction cherchée. Si l’on forme les (n-fl) équations do condition :

y0 = A Bx„ -|- Cx’0 -J- Kx#h iji = A -}- Bx, + Cx*, -f — 4- Kx," y* — A 4* Bxj 4* Cx* s *4“ .... 4* Kx,"

y» = A4-Bx„-l-Cx,„4- — 4-^»".

on reconnaîtra facilement, d’après les formules données par ■ Cramer pour l’expression des valeurs des inconnues dans un système d’équations du premier degré (172), que les coefficients A, B, C, .... K., ne contiendront les quantités y0, y, , y„ . . . .y, qu’au premier degré et seulement dans leurs numérateurs ; . par conséquent, en supposant que la fonction y soit ordonnée par rapport à y„, ylt y, .... y„, elle se présentera sous la forme’ s * • * ••• r

y = X0y, 4- Xjyi -|- X,y, 4* • • • • 4" [0] ,

les quantités X„, X,, X,, . ... X, ne dépendant que de la va- •

riable x et de ses valeurs connues x„, x,, x,, . . . . xB.

Cette expression de y doit se réduire à y0 pour x = x0 , à y, pour x=Xi,...à y„ pour x=xH; il faudra donc que l’on ait :

pour x=x0 , X0=l , X,=0, X,=0, .... X,=0; pour x=x, , X(,=0, X, = l, X,=0, .... X„=0; pour x — x, , Xg— 0 , X, ■ — 0, X , - — 1 , . . » « Xn — 0;

: : fl

pour x=x„ , X0=O, X,=0, X,=0, .... X„— 1.

Ainsi, la fonction X, par exemple, doit s'anéantir pour toute*

les valeurs de x égales àxt) x, x„ ; on satisfera à cette pre-

mière condition en prcnunt pour X„ une expression ayant pour numérateur le produit (x — xd(x — x,) .... (a? — x„). En second lieu, cette expression devant se réduire à l’unité pourx=x0, il suffira évidemment de lui donner pour dénominateur le produit (x<> — x,) (x» — x,) .... (x0— x„). On posera donc :

—Xi) (X -

—Xi) (X,‘