X. par ces valeurs dans l’équa

En multipliant Xj, X,, X, tion [9], il viendra enfin :

. (x — xQ fx — x ,) ....{x — xJ ' (x„— x,)(x0— XJ . . . . (x0

■ ~r(xt— x«)(Xi— x,) (Xi— x„.

( x —xJ (x —Xj) [x —a-.-,)

'(a:,,— x„) (x„— -x,) te-,— xB,)

Cio]

Cette élégante formule, donnée par Lagrange , est très-commode dans les applications numériques, puisque tous ses termes sont calculables par logarithmes.

Il est important de remarquer que l’on aurait pu prendre pour les quantités X0, X1 .... X„, d’autres expressions qui eussent également satisfait aux conditions du problème; ainsi, on aurait pu remplacer les différences (a? — x9 ), (x — x,), etc., par leurs carrés [x— x0f, (x — Xi)’, etc. Si l’on avait voulu prendre pour y une fonction transcendante, on aurait pu,

à la place de (x—x,,), (x— x,) , etc., écrire sin w(x— x*), J sin m(x — x,), etc., m étant d’ailleurs quelconque. On voit combien le problème de l’interpolation est indéterminé lorsque l’on ignore la forme de la fonction que doivent vérifier les valeurs données.

670. Lorsque les valeurs de la variable sont en progression arithmétique, on peut mettre sous une autre forme la fonction dont on connaît les valeurs correspondantes. Soient, en effet, u„, m, w„ les valeurs connues que prend la fonc-

tion lorsque l’on donne à x les valeurs désignées x„ , Xi=x,4-A, x,=x0-f- 2A .. . , .r.=x0-{-nA. Si nous nous reportons à la formule générale [3] (CüO), qui donne un terme quelconque d’une suite de quantités en fonction de la première et de ses différences successives ; le second membre de cette formule devient successivement w#, m, . etc., lorsque l’on y fait

n—0, = 1, =2, etc.; si donc on pose n = — , on voit que

ce second membre deviendra successivement w„, w,,.*, «„

lorsqu’on fera x=x#, = x0-}-A,:=x#-}-2A, . . . .3=x0-{-nÂ; il sera d’ailleurs une fonction entière de x, du degré n, et sera par conséquent la fonction cherchée. Ainsi, en la désignant par u, , cette fonction aura pour expression :

Si, la forme de la fonction n’étant pas connue d’avance, on voulait néanmoins la représenter par cette formule, il sqrait nécessaire que les différences successives décrussent assez rapidement pour que l’on pût négliger toutes celles qui dépasseraient l'ordre n. 1 -

671. Supposons, par exemple, que l’on veuille obtenir le logarithme de 3,1415026536 au moyen d’une table de logarithmes à dix décimales. On regardera les logarithmes contenus

dans cette table comme les valeurs données de la fonction u,, les nombres auxquels correspondent ces logarithmes comme . celles de x, et l’on formera le tableau suivant :

M,=loga:

■PHOTPVH

JhH

En prenant quelques logarithmes consécutifs de plus, on trouverait encore — 0,000 0000003 pour la différence quatrième; de sorte que, lorsqu’on s’arrête à dix chiffres décimaux, les différences cinquième et suivantes sont nulles. On s’arrêtera donc dans l’expression de la valeur de u. pour *==3,1415926536

au terme en A‘m0 inclusivement.

Le tableau ci-dessus donnera :

Am, =-|-0, 001 380 905 7 A*u, =—0,000 004 376 9

et comme A=0,01,ar0=3,l4, x= 3, 14 15926536, on aura :

Avec ces valeurs, il sera facile de mettre en nombre la for- ' mule; et l’on trouvera : n • ' • < ' .

ur = u log 3,1415926536 = 0,4971498726.

«72. Si dans la formule [11] on faits: — xt=h ,ur — k„=Sm,

il viendra, en écrivant simplement u au lieu de *0,

. A' . h'(h' — A) SK=Â*M+77ÏTAï-Aa

formule qui fera connaître la différence Su, pour un intervalle A' entre deux valeurs de la variable, au moyen des différences Au,A*u,.... relatives à l’intervalle A. Si les différences A*w, asm,,.. sont assez petites pour qu’on puisse les négliger, on aura sim-

plement 3w = -^- Au, c’est-à-dire que la différence Su sera proportionnelle à l’intervalle A'.

Nous verrons plus loin dans la résolution des équations numériques qu’il est utile de savoir substituer dans une fonction entière uno suite de quantités dont la différence est le dixième de la différence existant entre les termes d’une suite de quantités déjà substituées; ainsi, après avoir substitué la suite des nombres 0,1,2, 3, .... dont la différence est A=l,on se propose de substituer entre O et 1 les nombres 0,1, 0,2, .... 0,9; entre 1 et2 les nombres 1,1, 1,2, .... 1,9, etc. On devra donc, dans

la formule [11], donner à — 3 = =az les valeurs successives

0,1, 0,2, 0,3, 0,9; et on calculera pour chacune de ces

valeurs les coefficients s,^ — etc., de Am, A’u, etc. Si l’on observe d’ailleurs que ces coefficients sont des fonctions en-

tières du rapport -j- = a, on pourra calculer pour chacun d’eux

la suite de ses valeurs successives par la méthode des différences (682) ; ainsi , pour avoir la suite des valeurs des coefficients de A*u, on en calculera directement quatre valeurs correspondantes à ^ ou 3=0,1, =30,2, =0,3, =0,4, et les

valeurs suivantes pour 3=0,5, =0,6,. . , . =0,9 s’obtiendront par le procédé indiqué au numéro 082. On trouvera de la sorte pour les coefficients de la formule [11] les valeurs données dans le tableau suivant :