DK LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

Le moyen le plus naturel d’y parvenir est de substituer dans l’équation [1] la suite naturelle des nombres entiers 1, 2, 3,... ' et — 1, — 2, — 3,. et si l’on trouve autant de résultats égaux à zéro qu’il y a d’unités dans l’exposant du degré de cette équation, on aura déterminé toutes ses racines*. Mais s’il n’en est pas ainsi, on devra craindre de ne pas avoir poussé les substitutions suffisamment loin. Pour lever cette difficulté, nous allons tâcher de calculer les limites supérieures des racines positives et négatives de l'équation [1], c'est-à-dire de trouver deux nombres dont les valeurs absolues soient respectivement plus grandes que celles de la plus grande racine positive et de la plus grande racine négative de celte équation ; car, il n’y aura qu’à pousser les substitutions des nombres 1,2, 3,... et — 1, — 2,

— 3,... jusqu’à ces limites, et on sera sûr de ne laisser échapper aucune des racines conunensurables entières que l'on cherche.

670. Problème 1. Déterminer une limité supérieure des racines ,

positives d’une équation donnée.

Cette question est évidemment indéterminée, car on conçoit qu’il y a une infinité de nombres plus grands que la plus grande racine positive de l'équation [1 ]. Le but que l'on doit se proposer en cherchant une limite supérieure des racines positives d'une équation, est donc de trouver une règle simple pour obtenir un nombre qui ne surpasse pas de beaucoup la plus grande de ces racines. On a donné, de cette importante question, plusieurs solutions parmi lesquelles les suivantes méritent de fixer l'attention.

1” Solution. 11 est clair que si l’on transforme l'équation

proposée, que je représenterai, pour abréger, par *(a:)=o, en une autre dont les racines soient égales à celles de cette équation diminuées chacune d’une quantité arbitraire h, et que l’on

* Nous n’indiquons pas ta substitution de zéro , parce que zéro ne peut Ctre racine qu’aulanl que la proposée ne renferme pas de terme indépendant de z ; ainsi on reconnaît l’existence de celle racine à l’inspection seule de l'équalion.

détermine cette quantité h, de manière que la transformée n’ait que des permanences, cette transformée ne pourra avoir pour racines réelle* que des quantités négatives (S32 , 2°) et par ' conséquent la valeur -f-L que l'on aura trouvée pour h surpassera nécessairement la plus grande racine positive de <f(x)=0, c’est-à-dire qu’elle sera une limite supérieure des racines positives de cette équation.

On posera donc y = x — h, d'où x=^y-{-h, et par cou- ' • séquent

Maintenant, pour déterminer le plus petit nombre entier qui rendra positives toutes les fonctions

on cherchera quel est le plus petit nombre entier dont la substitution dans h ) donne un résultat positif, et la chose sera

facile, puisque cette fonction est du premier degré. Ainsi, si = ah -j- b, b étant positif , on fera 5 = 0; sift<0, on prendra pour h le nombre entier immédiatement supérieur à

— -, On substituera la valeur trouvée pour h dans la dérivée

de l’ordre ( m — 2), laquelle est du deuxième degré par rapport à A, et si le résultat est négatif, on augmentera cette valeur de h successivement d’une unité, jusqu’à ce que l’on obtienne un résultat positif. On opérera de même sur la dérivée de l’ordre (m — 3), et, en remontant ainsi successivement aux fonctions précédentes, on déterminera facilement un nombre entier L, que l’on devra prendre pour la valeur de h.

Cette méthode suppose que, si une valeur a de h rend positives une certaine dérivée <pn{A) et toutes celles d’un ordre inférieur au sien , toute valeur de h plus grande que « rendra aussi cette dérivée positive. Posons, en effet, h = a + k, k • étant >0, et il viendra

*"(« + k) =<?-(«) -f- . k -f Çÿ-W

Or, par hypothèse , *"■«(«), ?■*-»(«)... sont des quantités

positives : donc ç"(a-|-/r) est aussi positive.

077 . Appliquons la méthode que nous venons d’exposer, et qui est due à Newton , à l’équation

?.(■*) =xk-r-7x>+5aJ-\- 5Gx — 1 OA = 0.

Nous exécuterons les calculs suivants :

<?'(*) = 4** — 2 Lr* -J- 1 Or -f 56

4r — 7 = 0 donne xr=.-\ ainsi on fera d’abord x = %, et on

trouvera que

pour xz=-2, f^>°-

ainsi L=4 est une limite supérieure des racines positives de l’équation proposée.

078. 11 ne faudrait pas s’imaginer que la limite L, fournie par cette méthode de Newton, fût égale au nombre éntier immédiatement supérieur à la plus grande racine positive de , <i(x)=:Q ; en effet, comme il n’est pas nécessaire qu’une équation n’ait que des permanences pour que toutes ses racines réelles soient négatives, on comprend qu’en donnant à A des valeurs entières plus petites que L, il pourrait se faire que l’équatbn transformée ip(jf-j-À)=0 eût des variations, et que toutes ses racines réelles fussent encore négatives; de sorte que ces nouvelles valeurs de A seraient aussi des limites supérieures des • racines positives de ?(a:)=0. C’est ce dont l’équation que nous

avons considérée ci-dessus nous offre un exemple; car, comme elle revient à . ,

on voit que ses racines sont ±^8 et

et qu’ainsi 3 est une limite; or, en faisant y = x — 3, on trouve

équation qui a deux variations et n’a pour racines réelles que les quantités négatives (-f- — 3) et — (y^ + 3).

Remarquons cependant que L serait précisément égal au nombre entier qui est immédiatement supérieur à la plus grande racine positivé de sp(.r)=0, si celte équation avait toutes ses racines réelles. En effet, ai N désigne ce nombre entier, et que l’on pose y=x— - N, il est clair que la transformée ^{y-j-N)=0 ayant toutes ses racines réelles et négatives, ne pourra avoir que des permanences (B51); donc la substitution de N à la placé de x dans les fonctions

les rendra toutes positives ; et comme L est le plus petit nombre entier qui jouit de cette propriété, il faut en conclure que L = N.

679. 2* Solution. Cette solution et la suivante reposent sur ce principe qu’un nombre est une limite supérieure des racines positives d'une équation , lorsque sa substitution dans le premier membre de cette équation donne un résultat plus grand que zéro et que tous les nombres plus grands que lui jouissent de la même propriété; en effet, aucun nombre plus grand que celui dont il s’agit ne pourra rendre nul le premier membre de l’équation proposée.

Désignons par n(x) la somme de tous les termes de l’équation proposée qui précèdent son premier terme négatif, et par 4^)

UES EQUATIONS NUMERIQUES.

bb 7

la somme de tous ses termes négatifs : je dis que si -f- L est un nombre qui, substitué à la place de x, rend la différence <!)— ty(x) plus grande que zéro, L sera une limite. En effet, soit r le plus petit exposant de x dans w(x), nous aurons

Or — — ne renferme que des puissances positives de x, tandis

que x— ne contient, au contraire, que des termes affectés de

puissances négatives de cette variable , de sorte qu’en faisant croître x k partir de x=L, la première de ces deux quantités augmentera, ou du moins restera constante, si tc(t) est un monôme, et la deuxième diminuera constamment jusqu’à devenir nulle pour x=ac ; donc la différence *(x) — tyx) sera toujours positive, puisque par hypothèse w(L)>"j<L), et croîtra même au delà de toute grandeur donnée. Donc L est une limite supérieure des racines positives de l’équation proposée.

Cela posé, je partage le premier membre de l'équation proposée en plusieurs groupes de termes ordonnés suivant les puissances décroissantes de x, ne présentant qu'une seule variation et ayant une quantité positive pour premier terme ; puis je substitue, dans chacun de ces groupes, la suite naturelle des nombres 1,2, 3, 4,.... jusqu’à ce que je trouve un nombre qui donne un résultat plus grand que zéro ; le plus grand de tous les nombres qui rendront ainsi les différents groupes positifs, sera évidemment une limite supérieure des racines positives de la proposée.

Si les groupes sont des binômes ou des trinômes qu’ou puisse réduire au second degré , en mettant en facteur commun la plus faible des trois puissances de x que chacun d'eux ren-< ferme , on évitera les tâtonnements en égalant chaque groupe à zéro et en prenant, pour valeur de L, la plus grande racine positive de ces différentes équations.

080. Exemple I. x*.-f-7«* — 12X3 — 49x* — 52x-^-13=0. t . . ’ •'

Je mets cette équation sous la forme

afc* — 1 2X* — 52) + (7*‘ — 49x’ — 1 3) = 0.

En égalant à zéro les quantités comprises entre les parenthèses , on formera deux équations, d’où l’on tirera x = 4 et x— y 8 ; ainsi 4 est une limite.

La méthode de Newton aurait donné 3 pour limite.

Exemple II. x* — 5x* — \Sx' — 6x®+3a:* — 20xk— 27 x* — 5x* + 10 = 0. Cette équation revient à

x\& — 5x* — 1 Sx— 6) + «■(fcc* — 20x* — 27a; — 5)+ 10=0.

On voit immédiatement en mettant a? en facteur commun du premier et du deuxième terme de chaque groupe , que pour rendre le premier positif, il faut que x soit plus grand que 5, et que le deuxième groupe sera négatif, si x n'est pas supérieur

à — . J'essaye donc 7. Le groupe x* — Sx1— 13x — 6 prend une

valeur positive, mais le deuxième 3x* — 20xf — î~x — 5 devient négatif. Je substitue alors 8 au lieu de x dans ce polynôme, et comme j'obtiens un résultat positif, j’en conclus que 8 est une limite.

La méthode de Newton aurait donné 7.

Exemple III. 2x1+llx‘ — 10x* — 26x‘+31x,+72x’ — 230x — 348 = 0. Cette équation peut être mise sous la forme suivante : .

5)+l — yy) +3*1 (®‘-^)+72!r(x~^=0.

En égalant chaque groupe à zéro, on trouvera

x — \fbj x — y ’ïï'

La dernière de ces valeurs est plus grande que toutes les autres,

ainsi -x- est une limite, oo

081. On peut modifier la méthode précédente de manière à obtenir une limite , sans avoir aucun tâtonnement à faire.

. DBS EQUATIONS NUMÉRIQUES. 559

Représentons, en effet, par — Nx"— le premier terme négatif de 1 équation proposée, et par — IV-*, — Qx'—',.... ses antres termes négatifs, et supposons d’ailleurs qu’on ait dégagé le premier terme de l’équation de son coefficient ; on obtiendra évidemment une limite, si l’on peut trouver une valeur positive de x qui satisfasse à l’inégalité • J

x*> Nx*— -f- Px"-* -j- Q.r*-« -j- ... -

Mais si nous appelons S le plus grand coefficient négatif, il est clair que nous aurons satisfait à cette inégalité, si nous pouvons vérifier la suivante * •

xm > Sx"-" -j- Sx*—1 -f- Sx*-"-* + ... -J- Sx* -f- Sx -f S.

En mettant S en facteur commun et en observant que 4* x*-"-1 -f- x™-"-’ -f- ... -(- •£* 4* x + 1 est le quotient de la division de (x"-n+1— 1) par (x— 1), on verra que l’inégalité ci-dessus revient à

1 Sx*— +i S

Si on ne cherche la limite que parmi les nombres plus grands que l’unité, cette inégalité sera comportée par la suivante

■ Sx*-n+1

d où, en divisant ses deux membres par •*- — -, ce qui est per*

mis, puisque x doit être plus grand que 1, on trouvera xB-'(x — 1)>S.

Or, comme x'-'Xx — l)*-1, on satisfera à cette condition en posant

(x— l)"-’(x — 1)=S ou (x— 1)*=S, d’où l’on tire enfin

Donc, on aura une limite supérieure des racines positives d'une équation , en ajoutant l’unité à la racine du plus grand coefficient négatif, dont C indice est égal à la différence des expo-

» V , « Il

oBO UK LA RESOLUTION *.

tant s du premier terme de l’équation et de son premier terme négatif. ■

602. En appliquant cette règle aux trois équations qui nous ont servi d’exemple, dans le numéro précédent, nous trouverons

L=l-fv'62— 9. L= 1+27=28, L = l+y/^5=15.

Elle fournit, comme on voit, une limite bien moins approchée que les méthodes précédentes.

On pourra encore, après avoir décomposé le premier membre de l’équation proposée en groupes, ainsi que nous l’avons indiqué précédemment (679), calculer la limite de chaque groupe, à l’aide de la règle précédente.

685. Dans le cas particulier où le deuxième terme de l’équation est négatif, la règle du n° 681 donne pour limite le plus grand coefficient négatif augmente de l’unité. C’est là une limite, dans le cas même où le deuxième terme de l’équation est positif, car c’est le résultat auquel on serait parvenu si l'on avait posé

x" > Sx"*-1 + Sx"-* + Sx"-* + . .. + Sx + S.

684. On tire de là le moyen de résoudre la question suivante : J*. "

Problème II. Étant donné un polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes, entières et positives de x , trouver une s valeur de cette variable, à partir de laquelle ce polynôme conserve constamment le signe de son premier terme, et acquière des valeurs absolues qui puissent surpasser toute grandeur donnée.

Soit . .

± Ax"*±Bxm-1 zfcCx"'*±...±Tx±U

le polynôme proposé, dans lequel A, B, C,... U sont des quantités positives.: on résoudra évidemment la question en cherchant la limite supérieure des racines positives de l’équation

Si donc S est le plus grand des coefficients de notre polynôme.

la valeur demandée de x sera ^ 1 , c’est-à-diré la somme ob-

tenue en ajoutant à l’unité le plus grand coefficient qu'a le polynôme quand on a divisé tous ses termes par celui du premier.

GBIS. 3* Solution. M. Bret a donné, dans les Annales de Mathématiques de M. Gergonne, une méthode par laquelle on obtient, sans tâtonnement, une limite qui est souvent plus resserrée que la précédente.

Soit l'équation

Ax" -f . . . + Mx"+I — Nx* -}- . . . -f P x**1 — Qx« -f . . .

-f- Rx**' — Sx* -j- etc. = 0

dans laquelle les coefficients ont leurs signes en évidence. Nous remarquerons d’abord que quel que soit A, pourvu qu’il représente un nombre entier et positif, on a toujours

X*=(x*— 1)4-1 =(x*-‘+x*-*+x*-»-j-...+x+l)(x— ou, en faisant# — l = y,

x* = yx*“‘ -f- yx*~* -j- yx*~* -|- . . . -f- yx y -{- 1 .

Cela posé, si, en conservant les termes négatifs tels qu’ils sont, on applique cette transformation à tous les termes positifs de la proposée, on aura

. Ayx",<-|-...-f- Ay

x"-{-. Ay|x*-|-...=0 [2]

+My

+ Mj

+ Pÿ

(toutes les puissances de x que l’on n’écrit pas ont des coefficients entièrement positifs). D’où l’on voit que si l’on égale à zéro les coefficients qui renferment un terme négatif, que l’on résolve les équations ainsi obtenues Aÿ+...-(-My — N=0,

Ay+--+My Py — Q=0,

Ay+--.+My+”*+Py+—l Ry — s=o,

etc.,

et que l’on remplace y dans la transformée par la plus grande des valeurs de y tirées de ces équations :

y A + . .. + P’ y A + ...+R’ etC'’

tous les termes de cette transformée auront alors des coefficients positifs, de sorte que pour toutes les valeurs de x, à partir de cette valeur de y augmentée de l’unité (a:=y + l), 1® premier membre de l’équation proposée sera constamment positif h et prendra même des valeurs qui croîtront au delà de toute limite ; donc cette valeur de x est une limite supérieure des racines positives de la proposée. Ainsi

Ajoutes successivement à l'unité une suite de fractions ayant chacune pour numérateur un des coefficients négatifs de l'équation proposée et pour dénominateur la somme de tous les coefficients positifs qui le précèdent. Le plus grand des nombres ainsi obtenus sera une limite supérieure des racines positives de cette équation.

Il est d’ailleurs entendu que , dans la pratique , il suffit de faire entrer en considération le plus grand des coefficients que renferme chaque série de termes négatifs, de sorte qu’il n’y a pas plus de nombres à essayer qu’il n’y a de ces séries.

Si on applique cette règle aux trois exemples que nous avons considérés au n° 680, on trouvera :

2M + y=14, l + jq^==qp doncL=l4.

a» i | ^ — 3 il 348 ,

donc L =4.

On voit que la méthode de M. Bret est surtout avantageuse quand le premier terme négatif est précédé de plusieurs termes positifs et que les plus petits coefficient» négatifs précèdent les plus grand».