Problème. Trouver une limite supérieure des racines

négatives d'une équation donnée, c’est-à-dire un nombre dont la valeur absolue soit plus grande que les valeurs absolues de ses racines négatives.

Si l’on change x en — x dans l’équation proposée, on obtiendra, comme on le sait, une équation dont les racines seront égales et de signes contraires à celles de la proposée ; donc en affectant du signe — la limite supérieure des racines positives de la transformée, on aura résolu la question.

Exemple. = aJ— ôx* — 1 3a-* + lx' -f- 1x — 69 = 0.

687. Problème 111. Déterminer une limite inférieure de» racines positives (Tune équation <f(x) = 0.

11 est clair que zéro est une limite inférieure des racines positives de l’équation proposée, de sorte que l’objet qu’on a en vue ici est de chercher une quantité positive moindre que la plus petite des racines positives de cette équation.

Or, si l’on pose x==^> et que l’on calcule la limite supérieure L des racines positives de l’équation transformée <pQ^=0, onauraL>y, et par conséquent i<i=x. Ainsi,

- on obtiendra la limite demandée, en divisant l’unité par la limite sif^érieure des racines positives de l’équation que l’on trouve

en remplaçant x par - dans la proposée.

688. Soit N le plus grand des coefficients qui sont de signes contraires au dernier terme de l’équation proposée, après avoir dégagé son premier terme de son coefficient : cette équation sera ainsi de la forme

q>C — ar) = 0 = x1 + 5a:*— 13a^ — 7x*-j- 2z -f- 69.

La méthode de décomposition en facteurs donne L' = — — , et

celle de M. Bret conduit à L'= — 3^.

f(x) = xm. . . =fc Nx\ . . U = 0 ;

donc

1>E LA RÉSOLUTIOX

d’où, en chassant les dénominateurs, ordonnant suivant les puissances descendantes de y, et dégageant ym de son coefficient,

•— üyB~n

=Fïj=0.

Le plus grand coefficient négatif de cette équation est ^ ; donc

1-f- p= — p — est une limite supérieure de ses racines positives; donc est une limite inférieure des racines positives

de la proposée <f(x)=0. Ainsi, on obtient immédiatement une limite inférieure des racines positives d’une équation, en divisant son dernier terme par la somme faite de ce dernier terme et du plus grand des coefficients qui ont un signe contraire au sien.

689. Comme il est important, dans la pratique, d’avoir pour la limite inférieure le plus grand nombre possible, on n’emploie presque jamais cette règle, et on calcule la limite supérieure des racines de l’équation en y par la méthode du n" 679, la seule qui puisse donner pour cette limite une quantité moindre que l’unité.

En appliquant cette règle au premier exemple du n” 680, on trouvera

?<y)=13y5-f 52y*+ 49^+ 12y*-7y— 1=0, ou <p(y) = 13y‘-j-52y‘+ 7y(7y’- 1) + (I2y>— 1) = 0.

La limite supérieure des racines positives de cette équati&n

est y/^’ donc la limite inférieure des racines positives de la proposée est \j'7-

La règle du n" 688 donnerait-^— = ^.

690. Pour obtenir la limite inférieure des racines négatives d'une équation , on cherchera la limite inférieure des racines positives de sa transformée en — x , et on C affectera du signe — .