Au moyen des principes que nous venons d’établir, on

pourra déterminer toutes les racines commensurables entières d’une équation donnée; car, il suffira pour cela, de substituer • • dans son premier membre la suite naturelle des nombres

t,2, 3, 4....+L et — 1, — 2, — 3, — 4,,..— L',

en désignant par -|- L et par — L' les limites supérieures de ses racines positives et de ses racines négatives.

Nous ne prenons pas, pour point de départ, les limites inférieures des racines positives et des racines négatives de l’équation à résoudre, parce que pour obtenir des limites plus grandes que l’unité, il faut appliquer la méthode du n° C79 à l’équation dont les racines sont réciproques de celles de cette équation, et . que ce n’est que dans des cas très-particuliers que l’on trouve une quantité plus petite que l’unité pour limite supérieure des racines de cette transformée.

092. En réfléchissant à la méthode que nous venons d’indiquer pour trouver les racines commeusurables entières d’une équation, on sent combien cette méthode est imparfaite, puisque, si les différences entre les racines sont un peu grandes, on • est forcé d’essayer beaucoup de nombres et de faire ainsi des calculs très-longs 11 convient donc de chercher des caractères d’exclusion qui puissent faire reconnaître facilement que tel mmbre ne peut pas être racine de l'équation qu'on veut résoudre.

Soit . '

Ax"-f-B.r— ' + + R*» + S**-f Tx+U = 0

l’équation dont il s’agit, A, B,... R, S, T, U représentant des nombres entiers. La condition nécessaire et suffisante pour qu’un nombre a soit racine de cette équation , c’est qu'étant substitué à la place de x, il rende son premier membre identiquement nul, de sorte que l’on ait

Aa” + Ba— ' + ... + Rn» + Sa*-f Ta + U = 0 [3]. „

Mais c’est précisément la longueur des calculs nécessaires pour , vérifier cette condition qui fait l’imperfection de la méthode précédente; il faut donc chercher à la remplacer par une autre

qui lui soit équivalente , mais dont l’application soit plus

iacile.

Si, après avoir changé les signes de tous les termes et transposé le dernier dans le second membre, on divise par a, l'égalité [3] deviendra

— Aa"-1 — Ba"-1 — ... — Ra’ — Sa — T=

Or, a étant un nombre entier, le premier membre de cette égalité l’est aussi, et par conséquent U est divisible par a, de sorte que le dernier terme d’une équation dont les coefficients sont tous entiers , est divisible par chacune de ses racines commensurables entières. Si on pose, pour abréger :

ïï ~

et qu’après avoir transposé le ternie — T, on divise de nouveau par a, on trouvera

Aa"-*— Ba-*— . . . — Ra — S =

Ainsi T’-j-T doit être divisible par a. Je pose T'+T 0,

et, après avoir transposé le terme — S, je divise par a ; il viendra

— Aa*^— Ba~-‘-...— R=^±^i

donc S'+S doit être divisible par a. En continuant d’opérer de la même manière et en observant qu’à chaque transformation les exposants de a diminuent d’une unité, on verra que la C m — 1)”* transformée sera

Aa-B = ^±Ç;

donc C' -j- C est divisible par a. Enfin si on poæ

des équations numériques. 567

•t, qu’après avoir transposé le terme — B, on divise par a, on trouvera

ou

■ A rs 0,

ce qui prouve que B' + B est divisible par a.

En résumant tout ce que nous venons de dire, nous conclurons que pour qu’un nombre entier a soit racine (Tune équation dont tous les coefficients sont entiers, il faut qu’il divise .

1* Le dernier terme de l'équation ; •

2° La somme qu’on obtient en ajoutant au quotient de cette division le coefficient de la première puissance de l’inconnue ;

3* La somme formée du quotient de cette seconde division et du coefficient de la seconde puissance de l’inconnue ;

Enfin que la somme du coefficient du premier terme de l’éqifation et du dernier quotient obtenu soit égale à zéro.

Il est entendu que si l’équation est incomplète , il faudra agir comme si elle était complète, en prenant zéro pour coefficient des puissances de x qui manqueront.

Ces conditions sont toutes nécessaires, et je vais montrer qu’elles sont suffisantes. Supposons-les, en effet, toutes remplies, de sorte que l’on ait

5±£=ir

B', C',... S’, T représentant ainsi des nombres entiers. J’élimine toutes ces quantités entre ces m équations, ce qui se fera en les multipliant respectivement par a, a’, a*, ... a*-1, am et

en ajoutant membre à membre les équations-produit. On trouvera .

Àa" -f Ba"-' -f ... -f R«* + Sa* + Ta -f- U = 0,

ce qui prouve bien que a est racine de l’équation proposée.