On déduit de ce qui précède la règle pratique suivante

pour déterminer les racines commensurables entières de l'équation il], . .

Calculez les limites supérieures des racines positives et néga~ tives de cette équation, cherchez ensuite les diviseurs du dernier terme et écrives sur une ligne horizontale ceux de ces diviseurs , tant positifs que négatifs , qui seront moindres que ces limites respectives. Divises le dernier terme par chacun de ces diviseurs et écrives les quotients au-dessous , sur une seconde ligne horizontale. Ajoutez à chacun de ces quotients le coefficiènt de la première puissance de x, qu’il soit zéro ou qu’il ne le soit pas; écrivez chaque somme au-dessous du quotient correspondant, puis divisez chacune d'elles par le diviseur qui est en tête de la colonne où elle se trouve, et écrivez les quotients au-dessous de ces différentes sommes.

Continuez ainsi jusqu’à ce que vous soyez parvenu à ajouter le coefficient du premier terme à chacun des quotients obtenus en dernier lieu, et celles des sommes ainsi trouvées qui seront nulles, correspondront aux seuls diviseurs qui sont racines de l’équation proposée.

Il est entendu qu’une fois qu’on a reconnu qu’un diviseur donne un quotient fractionnaire, on le rejette comme ne pouvant pas être racine et qu’on ne s’en occupe plus ,

Quant aux diviseurs -|- 1 et — 1 , il est plus simple de les substituer dans l’équation proposée que de les soumettre à la règle que nous venons d’exposer, et qui est connue sous le nom de MÉTHODE DES DIVISEURS COMMENSURABLES DU PREMIER DEGRÉ.

694. Exemple. Déterminer les racines commensurables entières de l’équation

ïjé — 23x* -f- 77x* — 62jc — 24=0.

On trouvera facilement que + L = 1 1* et que — L'=l, qu’ainsi il n’y a pas de racines commensurables entières négatives , et que + 1 n’étant pas racine, il faut appliquer notre méthode aux nombres 2, 3, 4, 6, 8. Voici le tableau des calculs :

4 et 6 sont les seules racines commensurables entières de l’équation proposée. En divisant son premier membre par (x — 4)(x — 6) = x* — 10x + 24, on trouve 2x*— 3x — 1 pour quotient; d’où l’on conclut que les deux autres racines sont

OOiî. Cette méthode exclut immédiatement tous les nombres compris entre les limites -f- L et — L', qui ne sont pas des diviseurs du dernier terme, et quant à ceux qui, jouissant de cette propriété, ne sont pas racines de l’équation , on reconnaît qu’ils doivent être rejetés après un nombre d’opérations faciles à effectuer, qui ne peut pas surpasser l’exposant du degré de l’équation , et est ordinairement moindre. Cependant, on comprend que si le dernier terme a un grand nombre de diviseurs compris entre -f-L et — L', l’opération peut encore être trèslaborieuse ; aussi Bezout a-t-il cherché des caractères auxquels on puisse reconnaître facilement que certains de ces diviseurs ne peuvent pas être racines.

Soit a une racine commensurable entière de l’équation «p(x)=0. On pourra exprimer que a est effectivement racine, en écrivant que ?(x) est divisible par [x — a); de sorte qu’en dé-

signant par 4<(x) le quotient de cette division, on aura

Cette équation étant identique, on peut y remplacer x successivement par -f- 1 et par — 1 ; ce qui donnera

£±l> = -t(+l) et

<pf—