CL

Or, <}/(x) étant un polynôme entier, et |(— 1) sont aussi

des nombres entiers; d’où l’on voit que pour qu’un nombre entier a, positif ou négatif, soit racine de l’équation 9(3:) = 0, il faut qu’étant diminué et augmenté d’une .unité, il divise respectivement les résultats qu’on obtient en remplaçant x par -j- 1 et par — 1 dans le premier membre de cette équation.

Pour faciliter l’application de cette règle, il sera bon de décomposer ç(+l) et — 1) en leurs facteurs premiers.

Si l’on trouvait que <p(+1) ou <?( — 1) est égal à zéro, on en conclurait que 4-1 ou — 1 est racine de <p(x)= 0 : on déterminerait alors le degré de multiplicité de cette racine (007), et on débarrasserait l’équation 9(x) = 0 de toutes les racines égales à 4-1 ou à — 1 qu’elle peut avoir, avant de chercher ses autres racines commensurables.

GOG. Exemple. <p(x) = x* — 44x* — 45x-|-12600 = 0.

On trouvera 4- 45, — L'= — 17. - *

Les diviseurs du dernier terme moindres que 4~L sont

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, il, 24, 25, 30, 35, 36, 40, 42,

Tous ces diviseurs , au nombre de vingt-deux , doivent être essayés positivement et les douze premiers négativement.

La substitution de -}- 1 et de — 1 dans <p(x) donne

9(4-1) = 12512 = 2». 17. 23 et ?(— 1)= 12600 = 2’.3‘.5\7.

On voit d’abord que 2 — 1 divise <p(4~l) et que 2-f-l divise 9( — 1); de sorte que 2 peut être racine En continuant ainsi, on

verra que les seuls diviseurs qui satisfassent aux conditions indiquées par Bezout sont 2, 3, 5, 9, 24, 35, —3, —7, — 15. Nous allons les soumettre à la méthode du n° 695.

Donc x* — 44x>— 45x + l 2600 = (x— 24 ) (x—35) (*+15).

697 . Lorsqu’on a déterminé ainsi les racines entières d’une équation , on divise son premier membre par le produit des facteurs du premier degré correspondants à ces racines, et, en égalant le quotient à zéro, on obtient une équation qui n’a plus de racines entières, à moins que la proposée n’en ait d’égales. On appliquera donc notre méthode à cette équation, en ayant soin toutefois de ne soumettre aux épreuves que les nombres entiers que l’on a déjà reconnus être racines. On divisera ensuite le premier membre de cette équation par le produit des facteurs correspondants aux nouvelles racines trouvées; ce qui donnera une seconde équation-quotient, sur laquelle on opérera comme sur la précédente et ainsi de suite. De cette manière, on déterminera toutes les racines entières de la proposée et le degré de multiplicité de chacune d’elles , et on sera conduit à une équation = 0, qui aura pour racines toutes les autres racines de cette proposée. Pour trouver les racines commensurables fractionnaires de +x)=0, on la transformera en une autre ir(x) = 0 dont tous les coefficients soient entiers, celui du premier terme étant l’unité (564), et comme une pareille équation ne peut avoir pour racines commensurables que des nombres entiers ^529), il sera facile, d’après ce qui précède, de calculer toutes ses racines commensurables. En les divisant ensuite par le nombre k, par lequel on a dû multiplier toutes les racines

de tj<iç) = 0 pour obtenir l’équation r(x) = O, on connaîtra toutes les racines commensurables fractionnaires de 'i(.r) =0 et le degré de multiplicité de chacune d’elles, et on aura de plus une certaine équation F(x) = 0, dont les racines divisées par k. seront toutes les racines incommensurables et imaginaires de l’équation proposée ç(ar) — 0 ; de sorte qu’il s’agit maintenant de résoudre cette équation F(a;)=0.