S H. DES DIVISEURS COMMENSURABLES DU SECOND DEGRÉ

098. Le premier membre de cette équation F(ar)= 0 n’a plus de diviseurs commensurables du premier degré, mais on conçoit qu’il peut très-bien en avoir du second, et que s’il en était toujours ainsi , le problème de la détermination des racines incommensurables et imaginaires des équations serait ramené à la recherche de ces diviseurs. Cherchons donc les diviseurs commensurables du second degré du premier membre de f équation F(x) = 0.

Un pareil diviseur est de la forme x * — px-\-q, p et q étant deux indéterminées dont il s’agit de trouver les valeurs. Pour y parvenir, nous diviserons F(x) par x1 — px-\-q, et nous nous arrêterons à un reste du premier degré, qui sera de la forme Ma: -f- N, M et N étant deux fonctions de p et de q. Ce reste devra donc être identiquement nul, si x * — px-f-yestun diviseur de F(x), et par conséquent il faudra que l’on ait

On résoudra ces deux équations, et tous les couples de valeurs de p et de q que l’on en tirera étant substitués dans le trinôme X* — px + q lé rendront diviseur de F(x).

Or, rien n’exprime, dans le calcul que nous venons d’indiquer, que p et q soient des quantités commensurables, et par conséquent les équations M =0 et N =0 devront admettre autant de solutions que l’équation F(x) = 0 a de diviseurs du second degré, c’est-à-dire^^ — — » s> elle est du »»"• degré, car

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LIES EUUAflO.NS NUMÉRIQUES

les facteurs simples de son premier membre donnent —

combinaisons deu* à deux. Si donc on élimine q , par exemple, entre M=0 et N=0, l’équation finale résultante P=Osera du de- .

gré — — • Donc, si ce nombre est plus petit que m, et quand

même l’équation P=0 n’aurait pas de racines commensurables, nous aurons fait dépendre la résolution de l’équation proposée de celle d’une équation de degré inférieur au sien, et ainsi le problème de la résolution des équations sera trouvé ; car, on ferait de même dépendre la résolution de cette équation P=0 ’

de celle d’une autre équation dont le degré serait moindre que le sien, et ainsi de suite; de sorte qu’on finirait par ramener la résolution de l'équation Ffj-) = 0 à celle d’une équation du premier ou du deuxième degré. Posons donc

— -<w: il en résulte »j<;3;

ainsi, celle méthode est illusoire, puisqu’elle ne saurait s’appliquer qu'aux équations du deuxième degré, pour lesquelles elle est tout à fait inutile.

Quoi qu’il en soit, si l’on veut déterminer les diviseurs commensurables du deuxième degré de F (a"), on cherchera les racines commensurables de l’équation P=0, et quand on les aura obtenues, il sera facile, d’après la théorie de l’élimination, de calculer les valeurs correspondantes de q. Si l’on trouve ainsi des diviseurs commensurables du second degré de l’équation proposée, on effectuera la division de son premier membre par le produit de ces diviseurs, et on Y abaisser a ainsi à une autre de degré inférieur au sien. Toutefois l’avantage ainsi obtenu sera plus que compensé par la longueur des calculs qu’entraînera l’élimination dep ou de q entre leséquations M=0, N=0.

699. Remarquons enfin que l'équation P=0 n’est autre chose que l’équation aux sommes des racines de la proposée, et que l'équation Q=0, que l’on obtiendrait en éliminant p entre les équations M=0 et N=0, est l’équation aux produits .

574 / DK LA lIBSOLl'TIOft *.

des racines de cette môme équation : en conséquence , pour obtenir les diviseurs commensurables du deuxième degré de l’équation F(x) = 0, on cherchera l’équation aux sommes ou ' l’équation aux produits de ses racines*, et cela par la méthode des fonctions symétriques (644), et si on a trouvé que cette dernière a une racine commensurable p, on représentera par p la somme des deux racines dont p est le produit, et on exprimera que F(x) est divisible par x* — px+ p; ce qui conduira à deux équations A = 0 et B=0, qui devront être vérifiées par cette valeur de p, de sorte que pour l’obtenir il n’y aura qu’à résoudre l’équation formée en égalant à zéro le plus grand commun diviseur de leurs premiers membres.

700. Descaries a déduit de la recherche des diviseurs du second degré d’une équation une méthode pour résoudre l’équation algébrique du quatrième degré. Considérons, en effet, l’équation

x*— Ax’ + Bx* — Cx-f-D = 0 [4],

et cherchons ses diviseurs du deuxième degré. Nous effectuerons donc la division de son premier membre pgr x* — px-(-g, et, en exprimant que le reste du premier degré est identiquement nul, nous formerons les équations

p* — Ap*-|-Bp — q[ip — A) — C = 0

qx — (p* — Ap -f- B) q + D = 0

Si de la première on tire la valeur de y,

P* — Ap* + Bp — C

pour la substituer dans la deuxième, ou trouvera une équation

* Une équation du troisième degré à coefficients rationnels et qui n’a pas de racines commensurables , n’a pas de diviseur rationnel du deuxième degré; car, en égalant à zéro le quotient de la division de son premier membre par ce diviseur, on tirerait de l'équation ainsi formée une valeur commensurable pour t.

finaleP = 0 qui sera du sixième degré, comme on le savait d’avance. Or, je dis qu’elle est réductible au troisième degré. En effet, ses racines étant les sommes distinctes deux à deux de celles a, b, e, d de la proposée, leur somme est le triple de celle des racines de cette équation ; donc, si on la transforme en une autre P'=0, dont les racines soient égales aux siennes, diminuées chacune de la sixième partie de leur somme, ce qui fera évanouir son second terme (38U), cela reviendra à diminuer chacune des racines de notre équation P=0, de la demi-somme de celles de la proposée ; donc sa racine a -J- b deviendra

donc aussi sa racine c-(-d deviendrait-^ — — — , et ainsi

des autres racines de P = O ; donc la transformée P'=0 aura ses racines deux à deux égales et de signes contraires; donc elle ne renfermera que des puissances paires de l’inconnue et sera par conséquent réductible à une équation de degré sous-double, c’est-à-dire du troisième degré. De cette manière, la résolution de l’équation du quatrième degré se trouve ramenée à celle d’une équation du troisième.

Mais si l’équation [4] n’a pas de second terme , et on peut toujours supposer qu*il en est ainsi, l’équation P=0 est ellemême immédiatement réductible au troisième degré; car, la somme des quatre racines de la proposée étant nulle, la somme de deux quelconques d’entre elles est égale et de signe contraire à la somme des deux autres ; de sorte que ces sommes étant les diverses racines de P = 0, cette équation ne pourra renfermer que des termes de degré pair. Et, en effet, si on fait A =0 dans la formule [7], et qu’on substitue la valeur

- p* -j- Bp C

dans l’équation [6], on trouvera

• ’p*-t-2Bp‘+(B*— 4D)p»— C* = 0.

DK LA RÉSOLUTION

Le dernier terme de cette équation étant négatif*, elle aura deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative (347); et comme à chaque valeur réelle de p correspond une pareille valeur de q, il s’ensuit que le premier membre de toute équation du quatrième degré, à coefficients réels, est décomposable en facteurs réels du second degré. Ce théorème est d ù à Descartes, qui en a déduit la résolution de l’équation littérale du quatrième degré.