Si A. = 0 et C =0, la formule [7] se réduit à

£±Bp 2 P

et comme la proposée a alors ses racines deux à deux égales êt de signes contraires (239), il s’ensuit que son équation aux sonimes P=0 doit avoir deux racines nullcs ; ainsi nous en tireronsp=0. Mais, en introduisant cette valeurp=Odans [8], on

* On peut le reconnaître a priori, en admettant que les racines imaginaires d'une équation sont de la forme adtpV— ï. En effet, il peut se présenter trois cas , savoir :

I» Cet quatre racines de l’équation |t] sont réelles. Notre assertion est alors évidente, puisque les racines de l'équation P =0 sont réelles, et deux à deux égales et de signes contraires.

2* Deux racines a et b de la proposée sont réeÿes et les deux autres sont imaginaires. Dans ce cas, les racines de P=0sont

a+b, n+a+pV — Ji o+a — b+*+PV— ti — 1, 2a:

mais A=a+b+2a=0, donc o+b=— 2a, d'où l’on voit que le produit (a-fb).2a. I (o+aj’+p’] ( (b+aj'+p* ) de ces six racines est négatif.

3" Les quatre racines de la proposée sont imaginaires. Celles de P=0 sont alors

2a, (a+Yl+lP+SlV1— ï. (“+Tf)+(P — («+TΗ ’ (P- *)V — *>

(a + TÎ-ÜH-îJv^.ÎY.

Mais A=2a + 2Y=0; donc a= — y, et ainsi le produit

2a . 2T. I fa + tf-f (P + Î,’ ) ( (a+ Y)’ + (?-«}’)

de ces six racines est négatif.

trouve q = g. On supprimera donc le facteur p commun aux

deux termes de la valeur de q, et en y faisant ensuite p~ 0, on

trouvera g =-, de sorte que X’ — px-f? — quantité

qui ne saurait diviser x*-j- Bx* + D, puisque B et D sont deux quantités entièrement indépendantes l’une de l’autre. L’équation [8] ne peut donc pat nous donner la valeur de q correspondante à p = 0. i

Pour lever cette difficulté, je remonte aux équations [5] et [6], et j’y introduis les hypothèses A = 0 et C=0; elles deviendront

. p’+Bp — 2pg = G, g1— (p’+Bty -|-D = 0.

Leur résolution se décompose dans celle des deux systèmes

P=° ) rm p’+B-2g = 0 )

y.(p.+ B)? + D = 0 ) LJJ’ g*-(p*-j-B;g+D=0 j L,ÜJ'

Le premier système donne

„ Biv'BMÔ

Nous voyons par cette double valeur de q qui sera réelle, si B’ — 4D<£0, pourquoi la formule [8] a donné g=§. C’est que l’équation d’où on l’a tirée n’étant que du premier degré par rapport à q, ne pouvait pas donner les deux valeurs qui correspondent àp = 0; elle devait donc alors se réduire à une identité, et donner en conséquence g=ü, car nous démontrerons tout à l’heure que quand une équation doit avoir plus de racines qu’il n’y a d’unités dans l’exposant de son degré, les coefficients de tous ses termes sont identiquement nuis.

Mais pourquoi la formule [8] a-t-elle donné la valeur fausse

<7= 2? C’est que l’équation [5], d’où elle dérive, étant satisfaite

par p= 0, admet toutes les valeurs imaginables pour q : or, en la divisant parp, on lui été cette propriété, et il n’est pas étonnant que l’équation résultante donne pour q une valeur différente de celle que l’on cherche. D’ailleurs, en substituant dans [8] la valeur p = 0, nous ne faisons usage que de la seule équa- • . C. 37

tion [5], et par conséquent il n’y a pas de raison pour que les valeurs que l'on trouve ainsi satisfassent à l’équation [6].

Quant au système [ÎQJ, on en tire

ï=±v'D,^p = :fcV— B=fc*v^> M-

Si D<0, ces valeurs sont imaginaires; mais alors celles que l’on a tirées du système [9] sont réelles.

Si D>0, et qu’on ait en même temps B>9 et B* — 4D > 0, p est imaginaire, mais les valeurs fournies par les équations [9] sont encore réelles. Si, au contraire, B* — 4D<0, les valeurs de p données par la formule [11] sont réelles. Elles le sont aussi, si D étant positif, B est négatif. Donc le théorème de ‘ Descartes est vrai dans tous les cas.

702. Théorème. Lorsqu' une équation a plus de racines qu il n y a d'unités dans l'exposant de son degré, les coefficients de tous ses termes sont identiquement nuis.

Considérons, en effet, l’équation

Ax” -|- Bx“-‘ -f Cx"-* +• • • • +Tx + U = 0,

et supposons qu’elle ait (m + 1) racines a, b, l: U ré-

sulte du théorème du n» «IB que l’on aura identiquement

Aaf + Bz— ‘-h . .+Tx+ ü = A(x— a){x— b) (x— <!). ..(x— *).

Or si l’on remplace x par l, le premier membre se réduira à ïéro de sorte qu’il en devra être de même du second. Mais aucun des facteurs l-a, l-b, l-c,...l-k n’étant nul, d faudra nécessairement que A = 0. Ainsi une équation du degré m «« peut pas avoir (m + t) racines, à moins que le coefficient d? son premier terme ne soit nul. Mais les w quantités q, b, c,...k sont racines de l’équation

Bx"-1 -f Cx"*-* -f...-fTx + U = 0,

car on a, par exemple, l’identité Aa*,-|-®0

donc B=0. On prouvera de même que C=0, D = 0, ... — ,

DBS ÉQUATIONS NUMÉRIQUES.

§ m. DD THÉORÈME DE M. STUM1.

703. Le théorème dont nous allons actuellement nous occuper fournit un moyen sûr de connaître combien une équation a de racines réelles comprises entre deux nombres quelconques, ce qui suffit pour conduire à la détermination effective de toutes les racines réelles de cette équation,

.Soit

Ax*"-)- Bx"*-' -t-Cx"1-1 -)-... +Ta;-)- U =0

une équation numérique d’un degré quelconque : je suppose * que l’on ait effectué les opérations nécessaires pour trouver le plus grand commun diviseur entre le premier membr^ de cette équation que je désignerai par X, et sa dérivée, que j’appellerai X„ en ayant toutefois la précaution de changer les signes de tous les termes de chaque reste avant de le prendre pour diviseur. Ainsi, on divisera d’abord X par Xf, et, quand on sera arrivé à un reste d’un degré inférieur à celui de X|, on changera les signes de tous les ternies de ce reste. Désignons par X, le polynôme ainsi obtenu. On divisera de la même manière Xt par X,, et, après avoir encore changé les signes de tous les termes du reste, on aura un nouveau polynomë X, d’un degré moindre .que celui de X,: on divisera X, par X,, et en continuant cette série de divisions, on parviendra finalement, soit à un reste numérique indépendant de x et différent de zéro, soit à un reste fonction de x qui divisera exactement le reste précédent. Nous examinerons ces deux cas séparément. ‘

1" Cas. Supposons d’abord que l'équation X = 0 n'ait pas de racines égales , auquel cas les polynotnes X et Xi sont premiers entre eux. En représentant les quotients successifs que

* Nous croyons ne pouvoir mieux faire que d'extraire cé qui va suivre du beau Mémoire de M. Slurm.

. l’on aura trouvés par Qt, Q,, Q,. on a cette suite d’égalités

X = Q1X,-X, X,= Q,X,-XS

X r, — Qr- |X r i — X

Xr étant une quantité uumérique. Gel« posé, M. Sturvi a déduit de la considération des fonctions X, Xf, X,,...Xr le théorème suivant, l'une des plus belles découvertes algébriques que l’on ait faites dans ce siècle.

Théorème, a et p étant deux nombres de grandeurs et de signes quelconques , on substituera le plus petit des deux a , à la place de x , dans toutes les fonctions

X, X„ X,,...Xr i, xr,

puis on écrira, par Ordre, sur une même ligne, les signes des résultats, et l'on comptera le nombre des variations qui se trouvent dans cette suite de signes ; on comptera de même le nombre des variations fournies par la substitution de p à la place de x, et autant il y aura de variations de moins dans cette seconde suite de signes que dans la première, autant l’équation X = 0 aura de racines réelles comprises entre a et p.

Si la seconde suite présente autant de variations que la première, l'équation proposée n'aura aucune racine^ comprise entre a et p.

D’ailleurs la seconde suite ne peut pas avoir plus de variations que la première. •

Pour démontrer ce théorème, nous allons examiner comment le nombre des variations formées par les signes des fonctions, pour une valeur quelconque de x, peut s’altérer, quand cette variable croit d’une manière continue. Or, il ne peut arriver de changements dans cette suite de signes qu’autant qu’une des fonctions X, Xi, XtI... X j change de signe, et par conséquent devient nulle (842). Il y a donc deux cas à examiner, selon que la fonction qui s’évanouit est la première X, ou quelqu’une des fonctions Xi, X,,... XT, intermédiaires entre

DES ÉQUATIONS HCMÉRIQUES. 581

X et Xr. La dernière X, étant un nombre ne peut pas changer de signe. ‘ •

704. Voyons premièrement quelle altération éprouve la suite des signes lorsque x, en croissant d’une manière continue, atteint et dépasse une valeur qui annule la première fonction X. Désignons celte valeur par a. La dérivée X| de X ne peut pas s’évanouir en môme temps que X, pour x=a, car, par hypothèse, l'équation X=0 n'a point de racines égales. Ainsi il existe une quantité positive À assez petite pour qu’entre a — A et a-|-A il ne tombe aucune racine de l’équation X, = 0, de telle sorte que quand x croîtra d’une manière continue, depuis a — A jusqu’à a-|-A, X, ne changera pas de signe. Il faut maintenant déterminer le signe de X pourx = a-|- A. Pour cela, je désigne X par f'x) et ses dérivées successives par o'(x), o"(x),... selon la notatiorr usitée. Lorsqu’on fera x=«-j-/i, X et X, deviendront respectivement tp(a-f-A) et ^(a-f-A^, et on aura

ou bien, en observant queç(o) est zéro et que ç'(a) ne l’est pas,

tfa+A) = a[?'(<.) + g^A*+... j.

On voit, d’après celte expression, qu’en attribuant à A des valeurs positives suffisamment petites , on pourra rendre les termes qui suivent <p'(a) aussi petits que l’on voudra, de sorte que le deuxième membre, et par conséquent le premier, aura le même signe que <p'(a). Donc ?(a-f- A) aura aussi le même signe que<f-'(a-|-A), puisque nous avons observé que le signe de ?’(*) ne changeait pas lorsque x variait depuis a — A jusqu'à «-(-A. Donc X a le môme signe que X, pour z=a-(-A.

En changeant A en — A dans la formule précédente, il viendra

ia-A)=A[-<p’{a) + ^A-Î^A*-|-...},

et l’on verra, comme tout à l’heure, que ?(«— h) a un signe contraire à celui de <p'(a) ; d’où il suit que pour x = a — h , le signe de X est contraire à celui de X,.

Donc, si le signe de X, pour x— a est +, le sigue de X sera -}* pour x=a-)-/i,.et — pour.z=a — h. Si, au contraire, X, a le signe — pour x—a, X aura le signe — pour «= a + A,' et le signe pour x=»—h. D'ailleurs X, a les mêmes signes pour x=a—h et pour x=a-±h que pour x=a.

Ces résultats sont indiqués dans le tableau suivant

f XX, -yx

Ainsi, lorsque la fonction X s’évanouit pour x—a, le signe de X forme àvec celui de X, une variation avant que x atteigne la valeur a, et cette variation est changée en upe permanence -après que x a dépassé cette racine.

Quant aux autres fonctions X,, Xs. . . , chacune aura comme X,, soit pour x=a-(-A, soit pour.r=a— À, le même signe qu’elle a pour a:=a, si toutefois aucune ne s’évanouit pour x — a en même temps que X. Ainsi, la suite des signes des fonctions X, X,, Xj,... X, perd une variation, lorsque x en croissant dépasse une valeur a qui annule X sans annuler aucune des autres fonctions X,, X„ X,,... 11 faut maintenant examiner ce qui arrive lorsque l’une de ces fonction^ s’évanouit.

703. Soit X„ une fonction intermédiaire qui s’annule quand x devient égale à b. Cette valeur de x ne peut réduire à zéro ni la fonction X„, qui précède immédiatement X„, ni la fonction XB+, qui la suit; car, si cela était. Je facteur x — b diviserait en même temps deux restes consécutifs X„, et X», ou X„ et X«+i, et par conséquent X et X,, ce qui ne se peut, puisque 'équation X = 0 est supposée ne pas avoir de racines égales. Les deux fonctions X», et XIl+, ont donc , pour x = b, des va-

leurs différentes de zéro en outre, ces valeurs sont de signes contraires, car l’équation .■

donne X^(= — X*^,, lorsqu’on aXB=0.

. Gela posé, substituons à la place de x, deux nombres b — A , et 54* h, très-peu différents de b . les deux fonctions X„t et , X„+i auront, pour ces deux valeurs de x, les mêmes signes que pourx = 6, puisqu’on peut toujours prendre h assez petit pour qu’il ne se trouve aucune racine des équations X«,^=0 et X„+,=0 entre b — h et 5-j-A. Quel que soit le signe de X„, pour x=b — h , comme il est placé dans la suite des signes, entre ceux de X,, et de X»+i, qui sont contraires, les signes des trois fonctions consécutives X„, , X. et , pour x =b — A, formeront toujours, soit une permanence et une

variation, soit une variation et une permanence. Pareillement

les signes de ces trois fonctions pour x =b -f- A, quel que soit celui de X,, formeront une variation et n’en formeront qu’une.

D’ailleurs, chacune des autres fonctions aura un même signe pour x=b — A et pour ar==6-)-A, pourvu qu’aucune ne devienne nulle pour x=.b, en .même temps que X..

Conséquemment, la suite des signes de toutes les fonctions X, Xi , X», ... Xr, pour art=A-j-A, présentera précisément autant de variations que la suite de leurs signes pour x = b — h. Ainsi, le nombre des variations dans la suite des signes n'est pas changé, quand une fonction intermédiaire quelconque passe par zéro.

On arriverait évidemment à la même conclusion, si plusieurs fonctions intermédiaires non consécutives s'évanouissaient pour la même valeur de x. Mais si cette valeur annulait aussi la première fonction X, le changement de signe de celle-ci ferait alors disparaître une variation sur la gauche de la suite des signes, ainsi que nous l’avons fait voir au n° 704. - Il est donc démontré que chaque fois que la variable x, en croissant d’une manière continue, atteint et dépasse une valeur

qui rend X égale à zéro, la suite des signes des Fonctions X, Xi, X,, ... X, perd une variation formée sur la gauche par les signes de X et deX, , laquelle est remplacée par une permanence, tandis que les changements de signes des Fonctions intermédiaires X, , X| , ... Xr, ne peuvent jamais ni augmenter ni diminuer le nombre des variations qui existent déjà. En consé-' quence, si l'on fait croître x d'une manière continue depuis a jusqu'à autant la suite des signes des fonctions X, Xt, X„,..Xr, pour x= fl, contiendra de variations de moins que la suite de leurs signes pour x=z «, autant il y aura de racines de l’équation X=0 comprises entre a et fl.

706. Pour faciliter les applications, il est nécessaire d’ajouter plusieurs remarques à ce qui précède.

Dans les divisions successives qui servent à former les fonctions X», X,,... Xr, on pourra multiplier ou diviser chaque dividende ou chaque diviseur par tel nombre positif que l’on voudra. Les fonctions X, Xt, X», ... Xr que l’on obtiendra ainsi auront encore les mêmes signes, pour chaque valeur dex, que celles que nous avons considérées précédemment. On évitera de cette manière les coefficients fractionnaires.

707. Si X s’évanouit pour x — a, on en conclut d’abord que a est une racine de X=0; puis, on attribue à x une valeur a-j-A qui surpasse « d’une quantité aussi petite que l'on voudra. Pour cette valeur a-j- A de x, les signes de X et de X, forment une permanence, comme on l’a vu au n° 704, tandis que dans le reste de la suite des signes, depuis Xt jusqu’à Xn il y a le même nombre de variations que pourx = « (706). On trouvera donc, par la règle générale, combien il y a de racines de X=0 comprises entre a-f A et p, c'est-à-dire plus grandes que a et plus petites que fl. Ainsi, on comptera le nombre des variations formées par la suite des signes des fonctions Xi, X,,... Xr pour x = a, et autant il y en aura de moins que dans la suite des signes de toutes les fonctionsX, Xt, X,,... X,, pour x=fl, autant, etc.

De même si fi était racine de X=0, on déterminerait, par la

DBS ÉQUATIONS NUMÉRIQUES.

même règle, le nombre de ses racines comprises entre « et P — h , en observant que , pour x = p — h , le signe de X est contraire à celui de Xi , et que, dans le reste de la suite, il y a autant de variations pour .r = p — h depuis Xt jusqu’à Xr que pouræ=p.

708. Lorsqu’on pourra reconnaître qu’une des fonctions auxiliaires X„ conserve constamment le même signe pouf toutes les valeurs de x comprises entre a et p, il ne sera point nécessaire de considérer les fonctions qui suivent X„ ; il suffira de substituer ces deux nombres a et P dans les fonctions X, X, , X,,... X„, et d’écrire les signes des résultats; autant la suite des signes, pour x=p, présentera de variations de moins que celle des signes, pour x=m, autant il y aura de racines de l’équation X = 0 comprises entre a et p.

En effet, on peut appliquer au système partiel des fonctions X, X, , X, , .. X„ la démonstration que nous avons donnée plus haut pour le système complet des fonctions X, Xi, X,,..,X„, Xwl, ... Xr, dont la dernière était un nombre constant. Dans l’hypothèse actuelle, X„ conserve toujours le même signe sans avoir une valeur constante pour toutes les valeurs de x croissant depuis a jusqu’à p. Or, comme ori l’a vu, la suite des signes de ces fonctions X, X|,... X„ perd une variation chaque fois que X devient nul (70-1), et l’évanouissement d’une fonction intermédiaire entre X et X. ne peut ni augmenter ni diminuer le nombre des variations (708). Donc, autant la substitution de p à la place de x, dans les fonctions X, Xi, X, ,... X», donnera de variations de moins que la substitution de a, autant il y aura de racines de X = 0 comprises entre « et p.

700. Le théorème de M. Sturm, modifié de cette manière, sera souvent d une application plus facile. Ainsi, lorsqu’en cherchant le plus grand commun diviseur de X et de X,, on parviendra à un reste X, du deuxième degré qui, égalé à zéro, ne donne que des valeurs imaginaires de x, il ne sera pas nécessaire de pousser plus loin les divisions; car, ce polynôme X„ sera constamment de même signe que son premier terme, pour toutes

les valeurs réelles de x, de sorte qu’on pourra le prendre pour

la dernière des fonctions auxiliaires.

On peut même encore s’arrêter à un polynôme X» qui s’annule pour des valeurs réelles de x , pourvu qu'on puisse déterminer toutes ces valeurs, et qu’aucune d’elles ne réduise en même temps X à zéro. En effet, en désignant pur/), q, r,... celles qui seraient comprises entre a et jl, après les avoir disposées par ordre de grandeur (120), en commençant par la plus petite, et en observant que X„ conserve le même signe pour toutes les valeurs de x depuis a jusqu’à p, on trouvera par l'application du théorème modifié (708), et en raisonnant comme dans le n° 707, combien l’équation X = 0 a de racines comprises entre a et p — h, h étant une quantité susceptible de décroître indéfiniment; de même, X» ayant encore un signe constant pour toutes les valeurs de x comprises entre p et q, on trouvera combien X=0 a de racines entre p+A et q — h , c’est-à-dire entre p et q , en prenant h suffisamment petit. On reconnaîtra de même combien X = 0 a de racines entre q et r, et ainsi de suite. >

710. Le théorème général donne le moyen de connaître le nombre total des racines réelles de l’équation X = 0. En effet, il suit du n° 684 qu’il est toujours possible d'assigner à x deux valeurs -|-L et — L, à partir desquelles chacune des fonctions

X, Xj, Xtl... X, conserve constamment le signe que prend son premier terme pour cette valeur de de sorte que toutes les racines réelles de l’équàtion X = 0 sont comprises entre ces deux nombres -|-L et — L. D'un autre cêté, il est clair que faire x = — L, dans toutes le6 fonctions, revient à y remplacer d'uberd x par — x , et à substituer ensuite L au lieu de cette variable dans jes fonctions résultantes ; donc pour connai/re le nombre des racines réelles de l’équation X=0, on changera x en — x dans le premier terme de chacune des fonctions X, Xj, X||... Xr, , X, , et on écrira les signes des résultats sur une ligne horizontale; on écrira sur une seconde ligne les signes des premiers termes de ces mêmes fonctions, et autant il y aura de

variations de moins dans cette seconde ligne qve dans la première, autant la proposée aura de racines réelles.

Si on écrit sur une troisième ligne les signes des derniers termes de toutes les fonctions X, X,, Xj,... X„ ce qui revient à y faire a;=0, l’excès du nombre des variations ainsi trouvées sur celui que présente la deuxième ligne déterminera le nombre des racines positives de l’équation X = 0.

711. On peut faire usage d’une règle plus simple pour déterminer le nombre des racines réelles de l’équation X = 0, lorsque les fonctions X, Xt, X,,... sont au nombre de m-f-1, m désignant le degré de la première.

Il est clair, en effet , que deux fonctions consécutives quelconques sont l’une de degré pair, et l’autre de degré impair; de sorte que si leurs premiers termes forment une variation ou une permanence, ils présenteront au contraire une perma-, nence ou une variation, quand on y aura changé x en — x. Si donc, dans là suite des signes des premiers ternies de toutes les fonctions X, Xt, Xt,.., Xm, il y a v variations et p permanences, quand- on aura remplacé# par — x , la suite des signes de leurs premiers termes contiendra p variations et v permanences; par conséquent la proposée a ( p — v ) racines réelles (703); mais le nombre total de ses racines est »»=p-fw; donc elle a (p-\- v)

— 0»— v} = 2« racines imaginaires. Donc l'équation X = 0 a autant de couples de racines imaginaires qu’il y a de variations dans la suite des signes des premiers termes de toutes les fonc- . lions X, X„ X,,... Xm.

712. Corollaire. Pour que l'équation X = 0 ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffit que les fonctions X, X,, Xs,... jusqu'à celle qui ne contient plus x inclusivement , soient au nombre de m-|- 1, et qu’en outre leurs premiers termes soient fous positifs . En effet, si le nombre des fonctions X, X,, X„...- . était moindre que m -f- 1 , la suite des signes de leurs premiers termes ne pourrait pas présenter m variations, quand on y au- . rait changé x en — x\ or, au contraire, elle doit avoir m varia-' tions de plus que la suite des signes des premiers termes de ces

fonctions, sïla proposée a toutes ses racines réelles. Il faut donc d’abord que le nombre des fonctions X, X(, Xf,...soit «-(-1 :«n second lieu, leurs premiers lermesdoivent être tous positifs ; car, ceux de X et de Xf l’étant, s’il n’en était pas de même de tous les autres, il y aurait une ou plusieurs variations dans la suite des signes des premiers termes des foflctions X, X», Xt,... Xm, et l’équation X = 0 aurait ainsi un ou plusieurs couples de racines imaginaires. Les conditions que nous avons énoncées sont donc nécessaires; elles sont aussi suffisantes; car, si elles sont remplies, la proposée ne pourra pas avoir de racines imaginaires (710).

715. Lorsque les coefficients de l’équation X = 0 sont indéterminés, les polynômes Xt, X,,... que l’on obtient par la recherche du plus grand commun diviseur de X et de X,, sont respectivement des degrés m — 2, »i — 3,..., et les coefficients des plus hautes puissances de x dansces polynômes, en y comprenant Xm, sont des quantités littérales composées des coefficients de l’équation X = 0. Les conditions de la réalité de toutes les racines de cette équation se réduisent donc à ce que les coefficients des premiers termes des polynômes X>, X„...X. soient positifs, aucun n’étant nul. On voit que le nombre de ces conditions n’est pas plus grand que (m — 1), mais il peut être moindre, parce que quelques-unes peuvent être comprises dans les autres.

La méthode de l’équation aux carrés des différences avait

donné — — pour la limite du nombre de ces conditions (595).

*7ld. 2' Cas. Nous avons admis jusqu’à présent que l’équation X = Q n’avait pas de racines égales, parce qu’on peut toujours faire en sorte.de n’avoir à résoudre que des équations qui remplissent cette condition (602); mais le théorème énoncé au n° 705 peut encore s’appliquer au cas où l’équation aurait des racines égales. Supposons donc que

X=(x — a)*(x — by(x — c)’...(x— A)= 0;

ues ÉyUAnuNS mmkbiql es. 589

alors, eu cherchant le plus grand commun diviseur de X et de Xi, comme nous l’avons prescrit au n° 703, on trouvera un diviseur Xr qui divisera exactement le précédent X* , et on aura (602)

Xr = (x — a^'fx — bf~' {x — c)’-1...

Cela posé, si l’on divise les fonctions X, X,, X,,... Xr, par Xr, on trouvera une suite de fonctions T, T„ T,,... TP= + 1, auxquelles on pourra appliquer le théorème de M. Sturm.

. En effet, on voit d’abord que

de sorte .que l'équation T =0 a les mêmes racines que X=0, mais chacune de ces racines n’entre qu’une fois dans T = 0. Ensuite, comme ; .

Ti — n

x — a que

fpx—

x — an

et qu’ainsi les fonctions T et Ti sont premières entre elles (ceci est d’ailleurs une conséquence des équations T = TiQ, — T,, T|=T»Q, — Tr iQr-i— 1, que l’on déduit de celles du n° 703). En outre , on tire de cette dernière équation

en appelant Q la somme de toutes les fractions qui suivent

cette fornîule fait voir que le rapport ^ est positif pour les va-

leurs de x un peu plus grandes que a, et négatif pour les valeurs de cette variable un peu plus petites que a ; car, en posant x=a-\-h et prenant h suffisamment petit, le numérateur du second membre aura le môme signe que ». Ainsi, le signe de T

590 DK LA RÉSOLUTION

forme avec celui de Ti une variation, avant que x atteigne la valeur a, et cette variation est changée en une permanence, après que x a dépassé cette racine.

Chacune des autres fonctions Tj , T,,... aura d’ailleurs, soit pourx=a — h, soit pour x = a + h; le même signe qu’elle a pourx=a, si toutefois aucune ne s’évanouit pour x^=a. On conclut de là que lasuite des signes des fonctions T,Ti,Tt,... Tr perd une variation sur la gauche lorsque x, en croissant , dépasse une racine de l’équation T = 0.

En raisonnant comme au n° 70d, on verra que si unè des autres fonctions Tt, T*... Tr i, telle que T„( s’évanouit pour une valeur de x qui ne réduira pas en mépie temps T à zéro, le nombre des variations restera le même dans la suite des signes ; car on a T*, m T„Q„ — Tfc+1 .

En conséquence, si x croit d’une manière continue, depuis « iusqu'à p, autant la suite des signes des fonctions J, T,, Ti,...Tr aura de variations de moins pour x = p que pour x — ol, autant l’équation T = 0 aura de racines comprises entre ces deux nombres.

Remarquons qu’il n’est pas même nécessaire de calculer les fonctions T, T,, Tt)... Tr; car, puisque ces fonctions sont .les quotients respectifs que l’on trouve en divisant X, X„ X,,...Xr par Xr, on conçoit que si, pour une certaine valeur de x, X, a une valeur positive ou négative, les fonctions T, T)t T„... Tr seront toutes de mêmes signes ou de signes contraires que leurs correspondantes X, Xi, X„... Xr, et qu’ainsi cette dernière suite présentera les mômes variations que la suite des ÿignes de T, T,, T,,... T,. Donc le nombre des racines réelles différentes de l’équation X = 0 comprises entre a et p, abstraction, faite du dogré de multiplicité de chacune, est égal à l'excès du nombre des variations contenues dans lasuite des signes de X, X,, X„... Xr, pour x = a, sur le nombre des variations de la même suite pour x = p. Ainsi, le théorème convient au cas des racines égales, pourvu toutefois que a et p ne soient pas des racines de X=0.

*741*. Occupons-nous maintenant de déterminer le degré de

multiplicité de chaque racine, il suit du n* 002, que la dérivée de T a pour expression

d’où

I=x— ! ! — \ — — — + ...H — 1— *»!±âî£zSf

eD appelant R la somme des fractions qui suivent — i — . En di- T' T

visaut par ce rapport^ le rapport^1, dont nous avons trouvé

la valeur précédemment, il viendra

T, n-fQte — a)

T'-l+R(*— «)’ d’où l’on tire, en faisant x — a,

St la racine a est incommensurable et qu’on ne l’ait pas obtenue sous forme finie, on ne trouvera que des valeurs approchées de Ti et de T', mais leur quotient devra différer très-peu d’un nombre entier, qui sera n.

716. 11 est intéressant de savoir comment la suite des signes des fonctions X, X,, X,,... Xr doit se modifier, pour qu’elle puisse perdre une variation, chaque fois que X s’évanouit.

Soit a une racine, soit simple, soit multiple, de X=0 : les deux fonctions X et X, auront des signes semblables pour x=a-\-h, et si b désigne la racine simple ou multiple de X=0 immédiatement plus grande que a, de sorte que cette équation n'ait point de racines entre a et b, X, aura pour x= ù — h uh signe contraire è celui de X. Mais X conserve constamment le même signe, lorsque x croit d’une manière continue depuis a-f h jusqu’à b — h ; donc Xi doit, en même temps, changer de signe une fois ou un nombre impair de fois.

DK U RÉSOLUTION

Soit d la valeur unique, ou la plus petite racine de l’équation X(=0, qui soit comprise entre a et b, X et Xi auront pour x=d — h le môme signe qu’elles ont pour x=a-f-A; mais, pour x=d-\-h, X aura encore ce même signe et X, un signe contraire; de sorte que la permanence formée par les signes de X et de X, pour x=a + A, se sera changée en une variation pour r = o'-f A. Or, X, aura un signe contraire à celui de X pour les trois valeurs x = a' — A, x = a' et x = a'-\-h (708); de sorte qu’on peut former le tableau suivant :

X X, X, x—a'— h rt ± rp

x — a’ ± 0 rp

- : x = a' + h dt , pp qp

Ainsi, en même temps que la permanence formée par les signes de X et de X, s’est changée en une variation, la variation formée par les signes de X, et de X, s’est changée en une per- ‘ manence , et par conséquent le nombre des variations dans la suite totale des signes n’est ni augmenté ni diminué.

Si l’équation Xi=0a une seconde racine «"comprise entre a et b, la variation que forment les signes de X et de Xi avant que x atteigne cette valeur a", sera de nouveau remplacée par une permanence, quand x l’aura dépassée, et cependant à cause de X, le nombre des variations restera le même dans la suite des signes, ainsi que le montre le tableau ci-dessous :

X X, X, x — a" — h ± zç. zç.

x=a" dsz 0 zp.

x—d'-\-h zt. ± zp

Comme Xt ne peut ainsi changer de signe qu’un nombre imi pair de fois, après son dernier changement, les signes de X et de Xi formeront une variation qui subsistera jusqu’à ce que x atteigne la racine b de X = 0.