Théorème dk Rolli. Entre deux racines réelles et iné
. . •* DES KOLATIÜKS NUllÉRlqUKS. 593
gales d’une équation X = 0, il se trouve, av moins une racine réelle de sa dérivée X, — 0.
Nous venons , en effet , de démontrer qu’entre deux racines consécutives oet 6 de X=0 il y avait toujours un nombre impair de racines de Xi = 0.
. 718. Corollaire I. Si une équation X=0a toutes ses ra-
cines réelles, ses dérivées successives Xi = 0, X, = 0, ... auront aussi toutes leurs racines réelles.
719. Corollaire II. L'équation X = 0 ne peut avoir qu’une, seule racine inférieure à la plus petite racine de Xt = 0, et une seule qui soit supérieure à sa plus grande racine.
? 20. Corollaire III. Entre deux racines consécutives t/eXi=0 il ne peut tomber qu’une seule racine tfe X =0.
721. Le théorème de Rolle fournit le moyen le plus rapide de trouver les conditions de la réalité des racines de l’équation u?-\-px-\-q = 0. En effet, la dérivée do cette équation étant 3^-[-p=0. on voit que si p n’était pas négatif, la proposée n’aurait passes trois racines réelles (7 18); donc il faut déjà que l’on ait p<0. Cela posé, supposons, comme au n° 830, que q soit négatif, auquel cas la proposée aura deux racines négatives, ces deux racines devront comprendre la racine négative — \J~ f de la dérivée ; donc la plus grande de ces deux racines se trouvera
— Ve!
x dans la proposée donne un résultat négatif -f q ; donc, en y
remplaçant x par — y/ — on devra trouver un résultat positif; donc
entre zéro <
Mais la substitution de zéro au lieu de
ou
-|-ÿ>0; d’où 4p’-f27ÿ,<0.
Cette condition est suffisante ; car, si elle est remplie, p<0,
et, d’un autre côté, notre équation = 0 aura uné
racine réelle négative comprise entre 0 et — y/ — d’ailleurs
elle en a une positive, puisque ç<0; donc ses trois racines sont réelles.
722. Pour donner une application du théorème de M. Sturm , nous allons chercher les conditions de réalité des racines de
l'équation X = j^ + 9x*-|-r*-(-s“0- On trouvera
-f2îx-fr,
X, = — 2 qr* — 3r x — 4s,
X, = (— 2ç* -f 8 qs — 9 r*)# — (rq% + 1 2 rs) ,
X»= 16s?‘— 4rV — 128sV + l44r*sgr 4-256s*— 27r*.
Afin d’éviter les coefficients fractionnaires, on a multiplié X par 4, Xi par q*, et X, par( — ïq' -j- 89s — 9 r*)\ Les coefficients' des premiers termes des fonctions X„ X, et X» doivent être positifs; donc
ÿ<0, 2j* — 8gs + 9r*<0, et 16eç‘ — 4r*g* — 128*V + I44r»^ -f 256s* —27r* >0.
g iv. Calcul des racines incommensurables.
723. Nous avons expliqué (697) comment on pouvait obtenir toutes lfes Taeines uomrttensu râbles d’une équation « et ramener ainsi sa résolution à celle d’une équation F(x)=0 qui n'a plus que des racines incommensurables et imaginaires. Cettfe nouvelle équation F(æ) = 0 pouvant avoir* des racines égales, on lui appliquera la méthode dite des racines égales , si elle est d’un degré supérieur* au cinquième (603), mais en ayant soin toutefois, avant de prendre un reste pour diviseur, de changer les signes de tous ses termes et de n’introduire ou de ne supprimer jamais que des facteurs positifs (705 et 706). La résolution de l’équation F(x) =0 sera ainsi ramenée à celle d’un cèrtain nombre d’équations d’un degré moins élevé que le sien
et qui n’auront plus de racines multiples; de sorte que nous ne devrons plus nous occuper que d’équations dont toutes les racines seront inégales, incommensurables et imaginaires.
724. La détermination des racines incommensurables d’une équation se compose de deux parties distinctes : l’une, que l’on appelle la méthode de séparation des racines , a pour but d’assi gner pour chaque racine réelle , deux nombres entre lesquels elle soit seule comprise, et l'autre apprend à évaluer chaque racine avec nn aussi grand degré d’approximation qu’on le désire. Tel est l'objet de la méthode d’ approximation.
Avant d’entrer dans l’exposition détaillée de ces deux méthodes, je ferai remarquer que, si dans une équation on change# en — x, et qu'ayant calculé les racines positives de la transformée, on affecte chacune d’elles du signe — , on obtiendra toutes les racines négatives de cette proposée, de sorte que la difficulté de calculer toutes les racines réelles d’une équation est ainsi ramenée à la détermination de ses racines positives, et en conséquence nous allons ne nous occuper que de celles-ci.
725. Méthode de M. Sturm. Puisque deux nombres qui, substitués dans une équation, donnent deux résultats de signes contraires, comprennent au moins une racine réelle de cette équation (542), on voit que si, en substituant dans la proposée F(#)=0 la suite naturelle des nombres entiers 0, 1, 2, 3... jusqu’à la limite supérieure -f-L de ses racines positives, on trouvait autant de couples de résultats de signes contraires qu’d y a de variations dans son premier membre, on serait certain qu’entre deux nombres consécutifs qui donneraient deux résultats de signes contraires il ne tomberait qu’une seule racine, tandis que deux nombres qui fourniraient un couple de résultats de mêmes signes ne comprendraient aucune racine; car, s’il en était autrement, une équation aurait plus de racines positives que de variations, ce qui est contraire à la première partie de la règle des signes de Descartes. On connaîtra donc ainsi avec certitude, par les signes des résultats des substitutions, quels sont ceux des nombres substitués qui comprennent une racine et ceux
1)E LA HESOLU1ION
qui n’en interceptent pas; de sorte que la séparation des racines positives sera effectuée.
Mais si, en substituant la suite naturelle des nombres entiers 0, 1, 2, 3,... + L dans le premier membre de l’équation proposée, on ne trouve pas autant découplés de résultats de signes contraires qu’elle a de variations, cela pourra tenir à ce qu’elle a des racines imaginaires, on bien à ce qu'il tombe plusieurs racines entre; deux nombres consécutifs ; de sorte que l’on devra craindre que la séparation des racines ne soit pas alors complètement effectuée.
Cependant, si l'on sait, d’après un examen attentif de l'énoncé de la question qui a conduit à l’équation que l’on veut résoudre, combien elle doit avoir de racines positives, on pourra encore parvenir à séparer ces racines, si elles ne le sont pas. Pour cela , on transformera l'équation F(x)=0 en une autre dont les racines seront dix fois plus grandes que les siennes; de sorte que si la plus petite différence des racines de la proposée est plus grande qu’un dixième, les racines de la transformée
fQ^=0 différeront de plus d’une unité; par conséquent, on
n’aura qu'à substituer la suite naturelle des nombres 0, ,1, 2, 3,...-|-10L dans çette transformée, et les signes des résultats formant autant de variations que la proposée aura de racines positives, la séparation de ces racines se trouvera ainsi faite. Mais, si le nombre de ces variations est encore inférieur à celui des racines positives de F(x)==0, on multipliera par dix les racines de la transformée, ce qui donnera une. nouvelle transformée sur laquelle on opérera comme sur la pré-
cédente, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on soit parvenu au, but que l’on veut atteindre.
On pourra abréger les calculs en observant : 1° que l’on connaît a priori les signes des résultats que donne la substitution
des nombres 10, 20, 30,... dansF(^-')=0; car, ces résultats
‘ DES Éyi'ATIONS M MKRIQUKS.
sont les mêmes que ceux qu’on a trouvés en faisant respectivement x=l, =2, =3,... dans F(.r}=0; 2° qu’au lieu de substituer immédiatement .dans F (^j tous les nombres entiers
compris entre 0 et 10, 10 et 20, 20 et 30,... on pourra procéder par moyennes, c’est-à-dire y substituer d’abord 5, 15, 25,...; ce qui suffira pour séparer les raciues, si celles de la proposée different de plus de0,5; si leur différence est moindre que 0,5, on substituera des moyennes entre 0 et 5, '5 et 10, 10 et 15, mais en ne prenant pour chacune que sa partie entière, comme 3, 8, 13,...; et ainsi de suite.
726. Si l’on ignore combien l’équation proposée a de racines réelles, il faudra avoir recours au théorème de M, Sturm. En conséquence on formera (703) toutes les fonctions
x, xt, x„ x„... x„* [ à ], , .
si déjà elles ne l’ont pas été (723), puis on écrira sur une première ligne les signes des derniers termes de toutes ces fonctions et, sur une seconde, ceux de leurs premiers termes; puis ’ en prenant la différence entre le nombre des variations contenues dans la première ligne et le nombre des variations que présentera la deuxième, on saura combien l’équation F(j-)=0 a de racines positives. Si ce nombre est égal au nombre des couples de résultats de signes contraires qu’a donnés la substitution des nombres 0, 1, 2, 3,... dans son premier membre, on en conclura que les racines étaient séparées; sinon, on substituera dans la suite des fonctions X , Xf, X,,... X„ les nombres 0, 1, 10, 100, 1000,... jusqu’à ce que l’on parvienne à une suite qui présente autant de variations que celle des signes despremiers termes de toutes ces fonctions; car, le nombre correspondant sera une limite supérieure des racines positives de X=0. En comparant le nombre des variations perdues en passant
* X. désignant un diviseur qui ne change pas de signe dans l’intervalle de zéro à la limite supérieure des racines positives de ;F (*) = X = 0."
598 DK LA RÉSOLUTION
d'une suite à la suivante, on saura ainsi combien il y a de racines entre O et 1 , entre 1 et 10, entre 10 et 100....
Supposons, pour fixer les idées, qu’il y ait des racines comprises entre 10 et ICO; on fera a: =50 dans toutes les fonctions, et on apprendra par là combien il y a de racines entre 10 et 50, combien entre 50 et 100. Admettons qu’il s’en trouve entre 10 et 50: on substituera 20 ou 30 dans la suite [a], et si c’est 30 qui a été substitué, on verra facilement combien il y a de racines entre 10 et 30 et entre 30 et 50 ; s’il y en a entre 30 et 50, on fera x = 40 dans toutes les fonctions , ce qui fera connal- • * tre combien il y a de racines , soit entre 30 et 40 , soit entre 40 et 50 ; de sorte qu’on parviendra de cette manière à déterminer le chiffre des dizaines de chacune des racines comprises entre 10 et 100. Pour obtenir le chiffre de leurs unités , par exemple, de celles qui ont 4 pour chiffres de leurs dizaines, on posera x = 40 -f- y, et on substituera cette valeur de «dans toutes les fonctions X, X! , Xt , X„ (483) ; ce qui donnera une suite de fonctions
auxquelles on pourra appliquer le théorème de M. Slurm; car, il est évident qu’en faisant dans cette dernière suite y = a, on obtiendra les mêmes résultats qu’en faisant x = 40-|-a dans la suite [a] ; de sorte que , si pour y = a la suite [6] présente n variations de moins que pour y = 0 , on devra en conclure que la proposée a n racines comprises entre 40 et 40 a; donc aussi l’équation Y = O^n a n entre zéro et a. En conséquence, on fera y =5, dans la suite [6], et en comparant le nombre des variations qui en résulteront aux nombres de variations fournies par #=40 et par x=50, nombres qui sont ceux mêmes des variations que l’on obtiendrait en faisant y=0 et y=lQ, on saura combien il y a de valeurs de y comprises entre 0 et 5, et entre 5 et 10; s’il y en a entre 0 et 5, par exemple, on continuera à procéder par moyennes, en faisant d’abord y = 2 ou y = 3; si, ayant substitué y = 2, on a reconnu qu'il y avait des valeurs de y comprises entre 0 et 2, on fera y= 1 et on saura ainsi si ces
Digi
valeurs de y se trouvent entre zéro et 1 ou entre 1 et 2. Suppo sons qu’elles tombent entre 1 et 2, on en conclura que lapror posée a des racines entre 41 et 42, de, sorte que ces racines se trouvent ainsi déterminées à moins ü' une unité .
Si l'on voulait les obtenir à moins d’un dixième , il faudrait continuer l’application de la méthode précédente, en posant y = l -j-a , ce qui donnerait une suite de fonctions
Z , Z, , Zj .... z„ ,
auxquelles on pourrait encore appliquer le théorème de M .Sturm.
En y faisant d’abord s = 0,5, puis, en procédant encore par moyennes , on parviendrait àdéterminer le chiffre des dixièmes des racines de la proposée qui sont comprises entre41 et 42, et, en continuant de la même manière, on finirait non-seulement par séparer ces racines, mais même par les déterminer aussi exactement qu’on le voudrait.
727. Comme ces calculs deviennent très-longs, on les arrête dès qu’on a trouvé le chiffré des unités des racines que l'op cherche, et, pour approcher davantage de cea racines, qn a recours à une élégante méthode , fondé» autr la théorie des /rae*
lions continues, qui est due è Lagrange. I^ous considérerons deux cas, suivant qu’il n’y a qu’une seule racine entre deux nombres entiers consécutifs ou qu'il s’en trouve plusieurs.
1" Cas. Supposons qu’il ne tombe qu’une seule racine de l’équation Y=0 entre les deux nombres entiers a et (a-f-lj: cette racine se compose de a , plus d’upe quantité moindre que
l’unité que nous pourrons représenter par de sorte que nous
poserons " »
et, si nous substituons cette valeur dey dans l’équation X =0, nous trouverons, en effectuant le développement par la formule ■ de7’oy/or(485), une transformée Z = 0, telle qu’en substituant
successivement toutes ses racines dans la formule y = a + * ,
on obtiendra toutes les racines de Y=0. Or, il est évident qu'aux valeurs négatives de z correspondront des valeurs de y plus petites que a, et que ses valeurs positives supérieures ou inférieures à l'unité donneront des valeurs de y plus grandes que o, mais plus petites ou plus grandes que a-|-l. Puis donc que les nombres a et (a+1) comprennent une racine de Y = 0 et n’en comprennent qu’une, il faut que l'équation Z=0 ait une et une seule racine positive plus grande que C unité. On substituera donc la suite naturelle des nombres 2, 3, 4, 5... dans le polynôme Z, jusqu’à ce que l’on soit arrivé à un nombre qui donne un résultat positif*, et la valeur cherchée de s sera comprise entre ce nombre et le précédent. Soit b ce nombre précédent : on posera
et, en substituant cette valeur de s dans Z.= 0, on obtiendra une nouvelle équation U=0 qui aura une racine positive plus grande que l’unité et n’eri aura qu’une. On en trouvera la partie entière en substituant la suite des nombres 2, 3, 4, 5,... dans U, jusqu’à ce que l’on parvienne à un résultat positif, et en appelant (c -+- 1 ) le nombre qui aura fourni ce résultat , on posera
et on pourra continuer cette série de calculs aussi loin qu’on le
jugera convenable. Si on remonte ensuite à la valeur de y, on
trouvera une expression de la forme
d -j- etc.
de sorte qu'on pourra ainsi obtenir cette valeur de y avec tel degré d'approximation qu'on le voudra.
* l.a substitution de +1 dans Z donne nécessairement un résultat négatif, puisque l'équation Z = 0 n’a qu’une racine comprise entre -fl et la limite supérieure de ses racines positives.
Si , par exemple , on veut l’avoir à moins de \ près, on commencera par extraire la racine carrée de 3, puis, à mesure que l'on obtiendra un quotient incomplet , on formera la réduite correspondante , et on s’arrêtera quand on aura trouvé une fraction convergente dont le dénominateur ne soit pas de beaucoup inférieur à yS; on verra alors , d’après la règle du n“ 402 , si l’on a atteint le degré d’approximation demandé. S’il n’en est pas ainsi, on calculera le quotient incomplet suivant, puis la réduite correspondante , et on appliquera de nouveau la règle du n° 402 et ainsi de suite, jusqu’à ce. qu’on ait obtenu une réduite qui diffère de la valeur cherchée de y d’une
quantité moindre que
720. Si, en effectuant le développement de la valeur de y en fraction continue, on .voit les mômes quotients se reproduire plusieurs fois , et dans le môme ordre , on aura lieu de présumer que la valeur de y dont on s’occupe a pour expression une fraction continue périodique. Pour savoir s’il en est effectivement ainsi, on formera l'équation du deuxième degré y’ + Py+î— 0, dont elle est une des racines (412), et cette équation devra en conséquence avoir une racine commune avec Y=0, de sorte que leurs premiers membres auront un commun diviseur du premier degré. On divisera donc Y par y*+py + y. 6t si My+N est le reste auquel conduit cette division , il faudra que ce reste s’anéantisse, en y remplaçant y par la racine dont il s'agit , laquelle peut être représentée par a-fy'jî ; on devra donc avoir
' " (M« + N)-fMv/p = 0,
équation qui 6e décompose dans les deux suivantes
Ma + N’=0 et M =0 d’où N = 0.
Donc , la division de Y par y’-f- py -j-ç doit se faire exactement, si la fraction continue est effectivement périodique. Si cette di-
vision ne réussit pas, on en conclura que la périodicité n’a pas lieu, et on poursuivra le calcul des quotients incomplets.
720. 2' Cas. Supposons qu’il tombe plusieurs racines entre les deux nombres entiers a et (a-f- 1), on posera encore
ce qui conduira à une transformée Z = 0, qui aura autant de racines positives plus grandes que l’unité qu’il y a de racines de Y = 0 comprises entre o et (a-f- 1). Si l’on était sûr que cea différentes valeurs de z eussent des parties entiènes différentes. On n’aurait qu’à substituer dans Z la suite naturelle des nombres 1, 2, 3, 4,... et on trouverait autant de couples de résultats de signes contraires qu’il y a de ces racines, de sorte que l’on déterminerait de cette manière la partie entière de chacune, ce qui nous ramènerait à appliquer à l’équation Z=0 la méthode d’approximation de Lagrange que nous avons exposée tout à l’heure (727). Mais comme plusieurs valeurs de s peuvent avoir la même partie entière et qu’alors la substitution des nombres 1,2, 3. 4,... dans Z ne pourrait pas indiquer l’existence de plus d'une de ces racines, pour éviter toute incertitude, on substituera « + - non-seulement dans Y, mais aussi dans foutes lqs ai
foncions Yi, Y„ Y»... Y», ce qui donnera une nouvelle suite de fonction a
ï, Zi , Z, , Z,,... Z. te],
auxquelles on pourra appliquer le théorème de M. Sturm. Il est clair, en effet, que les résultats qu’on trouvera en faisant s = p, par exemple, dans cette suite, seront ce\\x mêmes que l’on au-
rait obtenus en remplaçant y par a dans la suite [£>], de
telle sorte que si n racines de l’équation Y = 0 sont comprises
entre a 4- ^et a -(-5-7-71 auquel cas n valeurs de z se trouvent P P+1 •
entre p et (^-f-1), la suite [6] présentant n variations plus
dbs éqcatioks numériques. 603
pour y=a-f — J— que pour y = a -f la suite [c] devra pa-
reiliement fournir n variations de plus pour z = p -f- 1 que pour s = p. Donc, çn appliquant a cette suite le calcu) que nous avons développé daps le n° 720, on pourra déterminer la partie entière de chaque valeur de Si ces parties entières sopt différentes, on est ramené, comme nous l’avons dit plus haut, à appliquer à l’équation Z = 0 la méthode du n° 727, c’est-à-dire que l’on n’opérera que sur Z et non sur les autres fonctions Z,, Z,,...Z„. Mais, s’il y a plusieurs valeurs de z entre b et 1), par exemple, on substituera
dans toutes les fonctions de la suite [c], ce qui donnera la nouvelle suite
u,u„u,,u„...un,
sur laquelle on opérera comme on l’a fait sur la suite [c]; et, en continuant de cette manière, on finira par arriver à une transformée dont les racines positives et plus grandes que l’unité auront des parties entières différentes, sans quoi plusieurs valeurs de y auraient, pour expression, la même fraction continue, de sorte qu’elles seraient égales, et nous sommes partis d’une équation dont toutes les racipes étaient différentes.
Comme on n’a besoin que de connaître les signes des résultats qu’on obtient en substituant certains nombres entiers dans les suites [a], [6], etc., on chassera les dénominateurs qui pourraient s’y trouver, ce qui sera permis (706), car ces dénominateurs seront des quantités positives.
730. Méthode de Lagrangb. Nous avons vu que, quand la suite des signesobtenus en substituant les nombres naturelsO, 1, 2, 3,..:-)- L dans le premier membre de l'équation F(.r) = 0 ne présentait pas autant de variations qu’il y en a dans ce premier membre, il fallait, pour séparer les racines positives de cette équation, avoir recours au théorème de M. Sturm , si d’ailleurs
on ignorait le nombre de ces racines positives. Toutefois 1m- (jrmigr avait donné longtemps auparavant une méthode trèsgénérale pour effectuer cette séparation.
Ce grand géomètre, observant que, si la substitution des nombres 0, 1, 2, L, dans le premier membre de F(x)=0, ne
suffisait pas pour effectuer la séparation de ses racines positives, cela tenait nécessairement à ce qu’il y avait plusieurs racines comprises entre deux nombres consécutifs, il en avait conclu que si, au lieu de prendre l'unité pour raison de la progression des nombres à substituer, on choisissait une quantité 5 moindre que la plus petite des différences qui existent entre les diverses racines de F(;c) = 0, il ne pourrait tomber qu’une seule racine entre deux nombres dont la substitution dans F(x) donnerait deux résultats de signes contraires, et que deux nombres qui produiraient deux résultats de mêmes signes n’en comprendraient aucune, de sorte qu’on effectuerait ainsi la séparation des racines positives de la proposée, et qu’on obtiendrait même la valeur de chacune de ces racines à moins de S. 11 s’agit donc de calculer cette quantité S.
Pour y parvenir, on formera l’équation aux carrés des différences <K3)= 0 des racines de l’équation proposée Ff>) = 0
(894 ou Glff), et on cherchera ensuite la limite inférieure |
des racines positives de cette équation (089), et, en en extrayant la racine carrée, on obtiendra une quantité moindre que la plus petite des différences des racines de la proposée
* Il est clair que l'on obtiendrait également uue valeur de 3, en calculant une limite intérieure des racines de l'équation aux différences n(y]=0. Or, si
At/’r— By’r-1 — Cyv-* *— — Ky,'~^ =y*r-*i(Ay’i — By1*-3 — K) [d]
est un des groupes daus lesquels on décompose la transformée it = 0 de cette équation ,
*r-*(Ai*— B**-' — Cs*-1 — K) [e]
sera le groupe correspondant de la transformée <|< ( j ) — o de l’équation
DKS ÏUUATIOSS SUMMUM BS.
Si y/ | est une quantité plus grande que l’unité, les racines
positives de la proposée auront été séparées par la substitution des nombres 0, 1,2, 3,...-)- L, dans son premier membre, et il faudra appliquer au calcul de chacune d’elles la méthode d’approximation que nous avons développée au n° 737.
Si
|< 1 , on observera que i/ de sorte qu’en
aux carré» des différences, de sorte que faire x=h dans [e] c’est faire y = ^h dans [d] ; si donc on trouve h pour liante supérieure des racines
positives de Qj = 0 , on trouvera \/h pour la limite de celles de ic = 0; et par conséquent l'équation aux différences et l’équation aux
carrés des différences conduisent l’une et l’autre à y/^-, pour valeur de
la quantité que nous avons désignée par 8.
Observons toutefois que si l’on ne peut pas résoudre immédiatement les équations formées en égalant 4 zérolesgroupesdaDslesquels on aura décomposé leséquationS'l' Q^=0, et s^)=0,etqu’il faille faire des tâtonnements, en y substituant les nombres entiers 1,2,3, 4,...,sil’on trouve que 5=10, par exemple, rend positifs tous les groupes de on devra faire y=4 dans rt pour en rendre tous les groupes positifs; car, onn’yaurapassubstitué
y = \/K ), puisqu’on essaye seulement les nombres entiers I, 2, 3, 4. Ainsi, la considération de l’équation aux carrés des différences aura donné alors
î= de sorte qu’on aura pris pour raison de la progression
des nombres & substituer, tandis que l’équation aux différences aurait conduit à faire 8=1, et £ est >\. Il vaut donc mieux employer l’équation aux carrés des différences. ' •
SI on employait la méthode donnée au n» 688, pour calculer directement la limite inférieure des racines d’une équation, on trouverait
8= y/ g-— , en faisant usage de l’équation aux carrés des différences,
et 3=p < y/jj— , en employant l’équation aux différences. Donc
encore, on devra préférer l’équation aux carrés des différences.
appelant k la racine du plus grand carré contenu daris yh, oh aura ^<y/| ion pourra donc prendre^ pour la raison de
la progression des nombres à substituer dans F(x), lesquels seront ainsi tous commensurables. Mais ce n’est pas assez d’éviter decette manière la substitution de quantités incommensurables, il faut encore faire en sorte de n’opérer que sué des nohibres entiers Pour y parvenir, on transformera l’équation F(x) = 0 en une autre f(y) =0 dont les racines soient h fois plus grandes que les siennes; les différences des racines de cette nouvelle équation seront h fois plus grandes que celles de la proposée,
et par conséquent elles surpasseront h = k; d’où il suit
■ * ' * qu’en substituant dans f{y) = 0 la suite des nombres
jusqu’à la limite supérieure des racines positives de cette équation, on sera sûr d’effectuer la séparation de ses racines positives. Mais on peut encore resserrer davantage les deux limites -qui comprennent une même racine. Car si nk et (» 1)* sont
ces deux limites* on n’aura qu’à substituer dans f(y) leur moyenne arithmétique, ou le nombre entier qui en approche le plus, si elle est fractionnaire, et en comparant le signe du fésültat aux signes qu’ont ddrtnés y = hk et ÿ=(«-f-i)A, ott saura si cette racine de f(y)= 0 est comprise entre le nombre •substitué et nk, ou entre ce nombre et(n-j- 1)A. On aura donc ainsi resserré les limites qui comprennent la racine que l’on considère, et on voit qu’en continuant ainsi, on parviendra à la placer entre deux nombres entiers consécutifs, et même entre deux nombres qui différeront l’un de l’autre d’aüssi peu que l’on voudra. Cette méthode d’approximation, qüi est d’ailleurs d’une application très-laborieuse , est connue sous lé nom de Méthode par rapprochement des limites.
Quand on aura ainsi calculé toutes les racines de l’éqüation f[y) = 0, à moins d’une unité , on les divisera par h, et ôû
ogle
trouvera ainsi celles de la proposée F(a-) = 0 à moins de Si
cette approximation est suffisante, le problème de la résolution de cette dernière équation sera complètement résolu. Si
dn demande les racines de F(x)=0 à moins de i, » étant
>A, il n’y aura qu’à calculer celles de f{ y)=0 à moins de
ce qui ne saurait présenter de difficultés (727), et, eh lés divisant ensuite par h , on obtiendra les racines de F(x) == 0, Ivèc le degré d’approximation demandé.
Telle est la méthode que Lagrange a donnée pour déterminer les racines incommensurables d’une équation. On voit qu’èlle est infaillible et qu’elle ne peut laisser échapper aucune racine; niais il faut reconnaître que, comme elle exige la formation de l’équation aux carrés des différences des racines de là proposée, elle a l’inconvénient d’entratner dans des calculs extrêmement laborieux. Aussi cet illustre géomètre avait-il fait dë nombreuses tentatives pour éviter le calcul de cette équation,
6t il y avait réussi pour plusieurs cas particuliers, ainsi qu’ort peut le Voir dans son admirable T raité de la résolution des équations numériques. ■
731. La substitution de la suite naturelle des nombres entiers 0, 1,2, 3, etc. (728) dans le premier membre de l’équation à résoudre , pourra d’ailleurs s'effectuer très-simplement d’àprès la méthode des différences (082), en s’arrêtant lorsque - -l’un des résultats sera de même signe que les diftérences qu’on doit léür ajouter pour obtenir les suivants, puisqu'alôrs la va» leur de ces résultats allant toujours en croissant, le premier membre de l’équation ne pourra pas devenir égal à zéro. Si cette substitution donne autant de changements de signes qu’il y a de variations dans le premier membre de l'équation, les racines . Seront séparées. Pour en approcher davantage, au lieu de transformer l’équation proposée en une autre dont les racines soient dix fois plus grandes (728) et de substituer ensuite dans la • transformée les nombres entiers 2, 3, etc., on pourra sub- 1
stituer directement dans la proposée des nombres consécutifs différant d'un dixième, en faisant usage des formules que nous avons données précédemment (672); ces substitutions se feront seulement dans les intervalles où l’on aura reconnu l’existence de racines. On arrivera ainsi à placer chaque racine entre deux nombres différant d’un dixième; pour obtenir une plus grande approximation, on pourra ensuite, soit substitue? des nombres équidistants d’un centième dans chaque nouvel intervalle comprenant une racine, soit employer une méthode plus rapide due à Newton , et que nous exposerons tout à l’heure (73d).
S’il arrive, au contraire, que le nombre des racines mises en évidence par la substitution des nombres entiers 0, 1,2, 3, etc. soit moindre que le nombre des racines positives qu’il est permis de supposer d’après la règle de Descaries, on ne sera pas sûr d’avoir séparé toutes les racines. On devra recourir à de nouvelles substitutions de nombres équidistants d'un dixième. Mais il conviendra, pour ne pas entreprendre des calculs inutiles, de faire ces substitutions dans les intervalles où elles pourront présenter quelques chances de succès; on y parviendra en s’aidant de considérations graphiques, comme nous allons le faire voir.
732. Soit F(ir) = 0 l’équation proposée. Posons y = F(x). Concevons que sur une ligne droite on porte, à partir d’une origine 0, des longueurs égales , qui représentent les valeurs positives -j-1, -)-2, +3..., données successivement à x, et en sens opposé des longueurs destinées à représenter les valeurs négatives — 1, — 2, — 3,...; puis, par l’extrémité de ces distances , élevons des perpendiculaires dont les longueurs soient égales aux valeurs correspondantes de y, ces longueurs étant portées au-dessus ou au-dessous de l’axe des x, suivant que les valeurs de y seront positives et négatives. On déterminera ainsi une série de points discontinus, qui deviendraient contigus si l’on donnait a x des valeurs variant d une manière continue , et formeraient alors la courbe dont y = F(x) est
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dus ÉQUATIONS .NUMERIQUES. 609
1 équation. Mais l’on conçoit que, <ians un grand nombre de cas, J ensemble de ces points isolés pourra suffire pour donner des indications utiles sur la forme générale de la courbe, et pour faire connaître approximativement la position des points où elle coupe I axe des x, c’est-à-dire les valeurs de a: qui, rendant nulles les valeurs correspondantes de y, sont les racines de I équation F(xj=:0. On substituera alors des nombres équidistants d un dixième dans les intervalles où la forme de la courbe aura manifesté l’existence probable d’un point d intersection avec 1 axe des x , et l’on pourra ainsi arriver à séparer les racines.
Ainsi, soit l’équation 3x* — 3x -f 1 =0. Je pose y = 3^‘
— 3x -j- 1 , et je trouve que pour
Construisons ces valeurs comme ci-dessous :
Si l’on observe d'ailleurs qu’en faisant croître a: négativement au-dessous de — t et positivement au-dessus de + 1, y prendra des valeurs de plus en plus grandes, il est clair que
si la courbe à laquelle appartiennent les quatre points ci-dessus déterminés coupe l’axe des x, cela ne pourra arriver qu’entre x=0etx = -{-l. C’est donc entre ces deux valeurs de x qu’il conviendra de tenter de nouvelles substitutions. En substituant -f0,5, on trouve effectivement un résultat négatif; l’équation a donc deux racines positives, comprises l’une entre 0 et 0,5, et l’autre entre 0,5 et 1 . D’ailleurs il ne peut pas exister plus de deux racines positives, d’après la règle de Descaries, et l’équation n’a pas de racines négatives; les racines réelles sont donc séparées.
753. Le théorème suivant permettra d’ailleurs d’assigner une limite aux sinuosités que pourraient présenter les courbes ootenues:
Si l'équation proposée est du degré m, une parallèle à l'axe des x ne peut couper la courbe en plus de m points.
Soit, en effet, a la distance de cette parallèle à l’axe des x. Posons F(ar)=a; cette équation, étant du degré m, ne pourra pas avoir plus de m racines, c'est-à-dire qu’il n’y aura pas plus de m valeurs de x pour lesquelles F(x) pourra devenir égal à a ; or, les points d’intersection de la courbe avec la droite considérée correspondent précisément à ces valeurê de x; le théorème se trouve donc démontré.
734. il y aura cependant des cas où la considération des points de la courbe obtenus en construisant les valeurs de F(x) correspondantes aux valeurs 0, 1,2, 3..., données à la variable pourra ne donner aucune indication. Prenons, en effet, pour exemple l’équation :
64x* — 1 60x‘ -f- 1 COx* — 1 04x* -+- 48x — 9 = 0.
On aura, pour x —— 1, y = — 545, x= 0, y = — 9,
x = -fl, y — — 1,
»= -j-2, ÿ — 53, x = -f-3, yts-j-1503,
et en construisant ces valeurs, on obtiendra les résultats cidessous !
formée en — x n’ayant que des permanences) , et il est facile de voir, en groupant les termes de la manière suivante,
^r$+^H»+fW). '''
que 3 est une limite supérieure des racines positives, et qu’à partir de cette valeur le premier membre prendra des valeurs toujours croissantes. Ainsi , nous voyons qu’il existe une ra-
UK LA RESOLUTION
ciof! comprise entre + 1 et + 2 ; mais l'inspection de la courbe n’indique nullement qu il puisse exister d’autres racines. Si cependant on substitue ^ ou 0,5 dans le premier membre de l’équation, on trouve + 1 pour résultat. Il y a donc encore deux autres racines réelles, l’une comprise entre 0 et 0,5, l’autre
entre 0,5 et -f- 1 . . . '
Pour déterminer plus exactement ces trois racines, nous substituerons h partir de 0 des nombres croissants de dixième en dixième, et nous formerons ainsi le tableau suivant :
11 est inutile de pousser ce tableau plus loin, puisqu’à partir de a.==ii2 les résultats des substitutions seront évidemment positifs, de sorte que 1,2 est une limite supérieure des racines de l'équation. Ainsi, l’équation proposée a trois racines réelles comprises entre 0,3 et 0,4, entre 0,8 et 0,9, et entre 1,1 et 1 ,2. Pour les calculer à moins d’un centième, on pourra substituer entre chaque intervalle des valeurs distantes d’un ceutième, etc. , ou bien recourir à la méthode suivante.
735. Méthode d’approximation de Newton. Nous avons vu tout à l’heure comment, quand on connaît deux nombres enT tre lesquels se trouve une seule racine de l’équation F(x) = 0,
DES tOUATIONS M'MF.RlgLES. .
on peut parle rapprochement des limites de cette racine l’obtenir aussi exactement que l’on veut. Supposons donc qu’en opérant ainsi , on ait calculé la valeur de cette racine à moins d’un dixième.
J’appelle « la valeur approchée de cette racine, et y la quantité dont elle en diffère, de sorte que (o-f-y) est une racine de F(x)=0. Nous exprimerons qu’il en est ainsi, en remplaçant x par (a-{- y) dans cette équation, ce qui donnera :
F(« + y)=F(a)+F'(a)y-f^y*-(-^gy*+... + y"==0 [12]
équation du même degré que la proposée, et dont les racines sont les m restes que l’on obtient en retranchant de chacune des racines de cette proposée la quantité constante». Or, puisqu’une des racines de F(x) est peu différente de «, l’équation [12] doit avoir pour racine une petite fraction ; d’où il suit que, si l’on y remplace y par cette valeur, les termes où y entre à des puissances supérieures à la première deviendront très-petits, de sorte que cette équation sera fort peu altérée en y supprimant ces termes. Elle se réduira alors à
F(a) + F’(a)y = 0, d’où [13],
et par suite , comme valeur approchée de x ,
fûy
Or, on tire de l’équation [12]
¥îâ)'l .2.3
ainsi, l’erreur commise en prenant pour y ,1a valeur donnée par la formule [13], est la somme de tous les termes compris entre les aocolades dans l’équation précédente. Mais, comme la valeur
cherchée de y est moindre que y*, y’,... sont respective-
ment moindres que
et on conçoit alors que cette
614 DK LA RÉSOLUTION
somme peut être moindre que -j—, de sorte qu’en réduisant la
fraction — en décimales et appelant « la valeur ainsi trouvée
à moins d’«n centième, il pourra se faire que la quantité (a-f- a)'
exprime, à moins de — -, la valeur de la racine cherchée.
Désignons, pour abréger, cette valeur par b, et appelons z ce qu’il faut ajouter à b pour avoir la racine dont il s'agit, z étant une quantité moindre que y, nous pourrons répéter sur elle les raisonnements précédents, ce qui nous conduira à
et l'erreur sera
(Y*(b) z ' , F*(&) s* , zm )
1 F(ôj ' 1 . 2 ^ F '( 6) ' 1 . 2 . 3 ’ Fié) ] ’
Or, comme z est plus petit que -y-, a*, à,... seront respective-
