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ment moindres que— î-r = — î — , — de sorte

que cette erreur pourra être moindre que --■■ ■. On réduira

donc

en décimales, en s’arrêtant au chiffre des dix-mil-

lièmes, et si on appelle p la valeur ainsi trouvée, il pourra se faire que la quantité (è + P) exprime à moins d'un dix-millième la racine cherchée.

En continuant ainsi , on obtiendra des valeurs qui pourront

être exactes à moins de (jôJôô)*, de >.»î c’est-à-dire

que chacune des valeurs successives que l’on obtiendra renfermera deux fois plus de décimales que la précédente.

Ainsi donc, on commencera par former la fraction

on y remplacera x par sa valeur a trouvée à moins de et on

convertira ensuite la fraction résultante en décimales, en s’arrêtant au chiffre des centièmes. On ajoutera la fraction décimale ainsi trouvée à a, ce qui pourra donner une valeur b de la racine cherchée, exacte d moins d’un centième.

‘ En opérant sur b comme on vient de le faire sur a, et en ayant soin de s’arrêter au quatrième chiffre décimal, en convef- '

tissant la fraction — en décimales, on obtiendra une va-

leur c de, la racine demandée, qui pourra être exacte à moins d'un dix-millième, et ainsi de suite. ,

Cette méthode qui est due à Newton est très-rapide, puisque chaque opération fournit deux fois plus de décimales que la précédente, mais elle peut être en défaut par deux causes; savoir ,

1° Il pourra très-bien se faire que la quantité

(H*) V* , F-fx) y> , , y" )

{ F‘ (x)- 1 .2 ¥\xf 1 .2.3 f ”*'t' F'(x) J

ne soit pas moindre que (^j , ou que > °u que

(toooo) ^ans *a Prem*^rei ou dans la deuxième, ou dans la troisième... approximation;

2° Et en fût-il ainsi, comme on ne prend que des valeurs approchées pour celles des fractions — ,

il en résulte de nouvelles erreurs, de sorte que la méthode de Newton devra souvent ne pas donner le degré d’approximation qu’elle semble promettre.

11 convient donc, pour l’appliquer avec sécurité, de s’assurer à chaque opération si l’on peut compter sur le degré d’approximation qu’elle indique. Soit donc k une valeur que l’on est porté

à croire exacte à moins de! — J ; on substituera cette quantité k

de la üésournox' '

dans F(x),et en comparant le signe du résultat au sjgne de F(A), h désignant la valeur qui précède k„ on saura si la racine est plus grande ou plus petite que k. En effet, si F(A) est de sigue contraire à F(A), c’est que la racine tombe entre h et k, de sorte que si h est> ou < que cette racine, k est au contraire < ou > qu’elle; et si F(A)a le même signe que F(A), la racine sera > ou < k , selon qu’elle sera > ou < h . Cela posé, si k est plus petit ou

plus grand que la racine , on substituera k 4- y^»ou * —

dans F(#), et si le résultat est de signe contraire à F(A), on en

conclura que l’on a la racine à moins de et qu’on ne l’a pas

avec cette approximation, si F (k -f ■—'j ou F (k — —'j a le

même signe que F(A). Dans cette dernière hypothèse,. il faudra augmenter ou diminuer son dernier ch ffre décimal successivement de 1,2, 3,... unités, jusqu’à ce qu’on parvienne à un résultat qui soit de signe contraire à F;A), et on saura alors avec quel degré d’approximation la valeur de k ainsi corrigée sera exacte. La longueur des opérations qu’exigent ces précautions fait préférer la méthode d’approximation de Lagrange (727) à celle de Newton.

736. La méthode d’approximation de Newton peut se représenter très- simplement par une construction. graphique. Posons en effet y s=F(ar); les points où la courbe représentée par cette équation coupe l’axe des x, donnent les valeurs des racines réelles de l’équation ¥(x)=0. Si a désigne la valeur approchée d’une de ces racines, l’ordonnée du point de la courbe qui a a pour abscisse, seraF(a), et l’équation de la tangente menée à la courbe en ce point sera :

cette tangente coupe l’axe des x en un point dont l’abscisse est

o’est-à-dire égale à la valeur approchée fournie par la méthode de Newton. Cette méthode revient donc à la construction suivante:

connaissant une position approchée p du point o où une courbe coupe l'axe des x, on mène au point m de la courbe qui se projette en p une tangente mt, et l'on obtient ainsi un point t qui en général est beaucoup plus près de o quep ; mais on conçoit fort bien qu’il pourra dans certains cas ne pas en être ainsi , et alors la méthode sera en défaut. Si le £oint t est plus rapproché de o que p , on déterminera de même un second point t' encore plus rapproché, et ainsi de suite.

737. Nous allons donner quelques exemples de résolution d’équations.

Calculer à moins d'un dix-millième les racines de l 'équation F(a:) = a^ — 7x -|-7 = 0.

On voit d'abord en appliquant à cette équation la règle du n° 330, que ses trois racines sont réelles et qu’elle en a par conséquent deux positives (356) et une négative. En conséquence, je substitue dans son premier membre les nombres 0, 1,2; car, y^7 est la limite supérieure de ses racines positives.

x — 0 dopne -f 7

x— 2 -fl

Ainsi, ces deux racines ont la même partie entière. Je pose donc x' — 10x, ce qui donne

de sorte qu’en faisant dans cette équation

on trouvera respectivement

Je remplace actuellement x' par les moyennes 5, ’ 15,

entre 0 et 10, 10 et 20, et il vient

Donc il y a une racine entre 10 et 15, et une autre entre 15 et 20. La moyenne entre 10 et 15 étant 13, je substitue ce nombre au lieu de x', ce qui donne + 97, de sorte que notre racine tombe entre 13 et 15; je fais x' = 14, et comme le résultat de cette substitution est — 56, j’en conclus que la plus petite racine positive est comprise entre 13 et 14. Oa verra de même, en substituant successivement 17 et 16 au lieu de x\ que la plus grande tombe entre 16 et 17.

Pour approcher davantage de la plus petite , je pose a>'= 13 + i, et en effectuant le développement d’après la formule de Taylor , je trouve

ou, en chassant les dénominateurs,

y = 2 donne + doncy=l+i; .

mais, avant d’aller plus loin , je remarque que la valeur de a

étant demandée à moins de — - — , celle de x' devra être calculée

lüuOO’

à moins de , puisque x = ~i or, la racine carrée de