Résoudre l'équation

La limite supérieure des racines positives est 7.

x—d donne

Il n’y a qu’un seul changement désignés; ainsi les racines peuvent ne pas être séparées. Je forme les fonctions de M. Sturm:

X =x>— 7x*+ 12x>— x^-7, Xj=4.z* — 21^r*-}- — 1,

156^+119, Xj=329j; — 527, Xi= + 2890.

x=0 donne — — + — + , S variations;

x = <x> + + + + +, O Variât.

Il y a trois racines réelles positives. Comme il en tombe une entre 4 et 5, nous allons voir si les deux autres sont entre 0 et 4, ou entre 5 et 7, ou si elles ne seraient pas toutes trois entre 4 et 5 :

x=4 donne — — f— -4~ ~4~ +> . * variât.

donc il y a deux racines entre 0 et 4. Je substitue la moyenne 2 de ces nombres :

x=i donne — — + + + , 1 variât,

ainsi, elles se trouvent entre 0 et 2;

x=l donne — + 4" — + > 3 variât.

, donc, ces deu x racines tombent entre 1 et 2 . Je pose doncx=l +p

DES ÉyUATIOSS M MKHIQl ES.

et en développant, d’après la formule de Taylor, je trouve Y==— 2^ + 6^— 3y!— 3y+l, ^,=6y>-6'/— 9y + 4, Yt=l4y'— 54y -f- 51, Y, = — 198y-f 329, Y* = -f2890, y = l donne — — -j- + -J-, 1 variai.

y =10 — + “H — 4*> 3 variai.

■y =5 — + -f~ — +> S variai.

y=3 — -f- -|- — — f— , 3 variai,

y— 2 — + — — -f-, 3 variai.

ainsi, les deux valeurs dey sont entre 1 et 2. Je fais doncy =1 -{- s et je trouve

Z, = ll3‘— 263+ 14, Z,— 1313 — 198, Z4 = -f-2890.

s = l donne —

3 variât.

1 variât.

1 variai.

1 variât.

Les deux valeurs de z sont comprises entre 1 et 2. Je pose donc s = l et je trouve

U=— 1**+3«*— 3u— 1, Ui=10u* — 9h' — 18« — 5, U,=— 4w+ll, 0,= — 67W+131, U‘=+2890. •* « = 1 donne — — -f- + -f- , 1 variai.

3 variai.

2 variai.

y a donc une valeur de « entre 1 et

2, et une autre entre

2 et 3.

Pour calculer la première plus approximativement, je pose

w = l-f- - , et je substitue dans l'équation U=0, ce qui donne V= 2t>‘— 2d» — 3d’ + w + 1 = 0.

v=2donne+, doncu=l-+-j.

Examinons si la fraction continue

• . ^1 + etc.

qui est le développement de la racine que nous poursuivons, ne serait pas périodique. Si elle jouit de cette propriété , elle

sera une des racines de l’équation x= 1 -j-p oux* — x — 1 =0.

J’effectue donc la division de x*~ 7xs-f-12x* — x — 7 par a? — x — 1 (729), et je trouve que le quotient de cette division est x* — 6x-}-7 et que le reste est nul. Donc, on obtiendra les racines demandéesen résolvant les deux équations x’ — x — 1=0 et x* — 6x-(-7=0.