S V. CALCUL DES RACINES IMAGINAIRES

740. Les racines réelles de l’équation F(x)=0 étant déterminées aussi exactement qu’on le voudra, à l’aide des méthodes que nous venons de développer, il ne s’agira plus que de calcu- •< lerses racines imaginaires, si elle en renferme. Ces racines étant de la forme

y + Zlfll,

il faut trouver tous les couples de valeurs réelles de y et de 3 qui rendront cette fonction racine de la proposée. Pour y parvenir on pourra substi tuer y +s y/=T à la place de x dans le premier membre de cette équation, et en mettant \/^ï en facteur commun des termes où il entrera, on obtiendra une équation de la forme . -

A -f- B y/— — ï =0, qui se partagera dans les deux suivantes

A = 0 et B = 0. ' * •

On résoudra donc ces deux équations, mais en se bornant à calculer seulement les couples de valeurs réelles de y et de s qu elles admettent; puis, en substituant successivement chacun de ces couples dans la formule y -f s y/^T, on obtiendra toutes .

les racines imaginaires de l’équation proposée F(*) = 0.

741. Ces calculs seront en général fort longs, puisque, pour les effectuer, il faudra éliminer l’une des inconnues y et z entre les équations

A = 0 et B = 0.

Mais, si on a fait usage de l’équation aux carrés des différences, pour effectuer la séparation des racines réelles de l'équation F(t)=0, on en profitera pour obtenir les racines imaginaires de cette équation plus rapidement que par la méthode que nous venons d’indiquer.

Désignons, en effet, para, b,... les racines réelles de F(x)=0, et parait — 1» — l»*-- ses différents couples de racines

imaginaires : les racines de l’équation aux carrés des différences de ses racines seront nécessairement de l’une des quatre formes suivantes :

(a — 6)’, carré de la différence entre deux racines réelles,

(a— carré de la différence entre une racine réelle et une racine imaginaire ;

j (a — a'):±(p — p') \J — 1 J’, carré de la différence entre deux racines imaginaires non conjuguées ; (2p/— 1)\ carré de la différence entre deux racines imaginaires conjuguées.

Les racines de la première espèce sont toujours positives, et celles de la quatrième toujours négatives. Quant aux racines de la deuxième et de la troisième espèce, elles sont généralement imaginaires; cependant, si l’on avait a=a ou a = a’, elles seraient réelles et négatives, mais chacune d’elles entrerait deux fois dans l’équation aux carrés des différences.

En conséquence , on formera une équation qui n’ait pour racines que les racines simples de l’équation aux carrés des différences (600), puis on calculera ses racines négatives — a\ — b', — c', ... et chacune d’elles sera le carré de la différence en tre les deux racines imaginaires d’un même couple , de sorte qu’on aura

et par suite

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Eu substituant la valeur de p à la place de s dans les deux équations •

A = 0 et B = 0,

on trouvera deux équations qui devront avoir la racine commune «, de sorte que, pour l’obtenir, il n’y aura qu’à égaler à zéro le plus grand commun diviseur de leurs premiers membres, et, de cette manière , on aura les deux racines conjuguées «ipy/Hq.