VI. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES

742. Nous n’avons considéré jusqu’à présent que des équations algébriques dans lesquelles l’inconnue n’entrait ni comme exposant, ni sous aucun des signes log, sin, etc. Nous allons maintenant dire quelques mots de la résolution des équations transcendantes.

745. La méthode sur laquelle est fondée la résolution d’une équation algébrique repose essentiellement sur ce que le premier membre est une fonction continue de la variable; en effet . lorsque cette condition est remplie , on est assuré que si deux nombres , substitués dans le premier membre de l’équation, donnent des résultats de signes contraires, ces deux nombres comprennent nécessairement une racine ; et par conséquent on peut toujours arriver à séparer les racines et à les resserrer entre des limites aussi rapprochées qu’on le voudra, au moyen de substitutions convenablement faites. Il suffira donc que le premier membre de l’équation transcendante F(*) = 0 soit une fonction continue de x , pour que l'on puisse appliquer à sa résolution tout ce que nous avons dit de la résolution des équations algébriques par la méthode des substitutions.

744. Ces substitutions seront évidemment beaucoup moins . simples à effectuer que lorsqu’il s’agissait d’un polynôme algébrique. Lorsqu’on aura calculé directement un certain nombp" de résultats provenant de la substitution de nombres équif

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tants, on formera leurs différences ; et, en considérant comme sensiblement égales celles d’un certain ordre, et négligeant celles des ordres suivants, on achèvera le tableau des valeurs du premier membre de l’équation, comme s’il s’agissait d une fonction entière et rationnelle (652).

Après avoir séparé les racines et les avoir placées entre deux nombres suffisamment rapprochés , on les calculera avec une plus grande approximation , au moyen de la méthode de Newton. Cette méthode s’appuie, il est vrai, sur la formule de Taylor, et nous ne l’avons établie que pour une fonction entière et rationnelle ; mais on démontre quelle peut s’appliquer à une fonction quelconque. On conçoit , d’ailleurs , que si on appelle a une valeur très-approchée d’une racine x de l’équation F(x)=0, et que l’on représente cette racine par x=a-\ -y,

y étant une très-petite quantité , l’expression

pourra différer très-peu de F'(a) (472); on pourra donc poser F(«4-ÿ)-F a) d,où j>on conciut t en observant que