Résoudre l'équation F(X)= x*— 10%x

Si l’on substitue, h la place de x, une quantité très-peu différente de 0 , le terme a? sera extrêmement petit. Quant au terme logx, il se composera d’une partie négative d’autant plus considérable que x sera une plus petite fraction, et d’une partie positive nécessairement moindre que l’unité. Par conséquent, le terme — 10 log x sera susceptible de prendre une valeur positive assez grande pour que le premier membre de l’équation soit lui-même positif.

Si l’on fait x=l , le résultat —9 est négatif.

Si l’on substitue x = 10, le résultat est évidemment positif, et il est évident qu’en donnant à x des valeurs croissantes, le

premier membre sera toujours positif et ira même en augmentant sans limite.

Ainsi l’équation a deux racines, l’une comprise entre Oet l.

l’autre entre 1 et 10. Pour en approcher davantage, nous substituerons les moyennes

+0,5 et +5,

qui donnent respectivement pour résultats :

Ainsi la première racine est comprise entre 0 et 0,5, et la seconde entre 1 et 5. En continuant ainsi, on trouvera que la première racine tombe entre 0,1 et 0,2, et la seconde entre 4 et 4,1.

Si on veut calculer cette seconde racine , par exemple , avec une plus grande approximation, au moyen de la méthode de Neu lon , on formera la dérivée du premier membre de l’équation , et l’on trouvera (402 et 490) :

On formera la fraction

F (x) x* — lOlogx — 10.

loge

on y remplacera x par la première valeur approchée 4 , et il viendra :

On aura donc 4,0029 pour seconde valeur approchée de la racine. Pour la vérifier, nous substituerons 4,0029 dans le premier membre de l’équation ; le résultat est — 0,000539; donc cette valeur est un peu trop petite. Mais si l’on substitue 4,0030, on trouve +0,000153. Cette dernière valeur est donc un peu trop grande, et par conséquent la racine cherchée est connue à moins d’un dix-millième.