CHAPITRE XXIII

g I. RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS-BINOMES.

746. On appelle éqoation-bihowe celle qui ne renferme qu'une seule puissance de l’inconnue , et des quantités connues. Il est clair que l’on peut toujours ramener une pareille équation à la forme

x-q; A = 0 [IJ.

Or, il résulte du n° 825 que, pour obtenir toutes les racines de cette équation, il faudra multiplier la détermination arithmétique de la racine de A, successivement par chacune des racines de l’équation

îT=pl=0 [2], ;

c’est-à-dire par chacune des m racines »r de -(-1 ou de — 1. Il s’agit ainsi de résoudre cette équation [2]. Nous considérerons d’abord l’équation

747. Lemmb. Quelles relations doit-il exister entre m et n pour que les équations y" — 1=0 et y" — 1 =0 aient plusieurs racines communes ?

Si ces deux équations ont plusieurs racines communes, leurs premiers membres doivent avoir un plus grand commun diviseur d’un degré supérieur au premier; en conséquence, nous allons chercher ce plus grand commun diviseur. Or, on voit facilement qu’en effectuant la division de ym — 1 par y “ — 1, le degré de chaque reste sera inférieur de n unités à celui du précédent , de sorte que si m=nq -\-r , le reste de cette première division sera if — 1 . De même, si n = rqt -j- r,, le reste de la division de y* — 1 par yT — 1, sera yr‘ — 1 , et ainsi de suite; par

conséquent, si r% est le plus grand commun diviseur de tn et de n, le dernier diviseur sera tf » — 1, et le reste correspondant sera tf — 1 = 0. Dans ce cas, les deux équations auront r, racines communes. Mais si m et n sont deux nombres premiers entre eux, le dernier diviseur sera y — 1, et par conséquent les deux équations n’auront pas d’autre racine commune que l’unité.

7-10. Throrèmb. L’équation ym — 1 =0 a m racines qui jouissent de cette propriété remarquable , que si m est un nombre premier, on reproduira toutes ces racines en élevant une quelconque d'entre elles , pourvu que ce ne soit pas l'unité , à toutes les puissances 1 , 2, 3, 4 , ... m.

Soit a une quelconque des racines imaginaires dé l’équation y" — 1=0* : on voit d’abord que toutes les puissances de « seront des racines; car (a*j"» = (a")*=l. Je dis ensuite que celles de ces puissances dont les exposants ne surpassent pas m sont inégales, qu’ainsi ap n’est pas égalé «*, si p et y sont deuxnombres entiers plus petits que m+1. Supposons, en effet, que l’on puisse avoir a ? = a’ ; il en résultera a”-* — 1 = 0, de sorte que les équations y" — 1 = 0 et tf1 — 1 =0 ont la racine commune a, ce qui est impossible , puisque m étant supposé un nombre premier, ces deux équations ne peuvent pas avoir d’autre racine commune que l’unité (747), et nous avons supposé que a était une expression imaginaire. Donc , toutes les quantités a, «*, a’, a‘, ... a" sont différentes; et comme chacune est racine de y" — 1 =0, ce sont là toutes les racines de cette équation. Toutes ces racines sont donc inégales, et, en effet, y" — 1 est évidemment premier avec sa dérivée wy*1 (609).

On pourrait conclure de là, si déjà on ne le savait pas (618),

* Cette équation ne peut pas avoir d’autre racine réelle que +1; car, d’abord la m" puissance d’une quantité positive plus grande ou plus petite que l’unité est elle-même aussi plus grande ou plus petite que l'unité; et ensuite, m étant un nombre impair, puisqu’il est premier, l’équation [S] ne peut pas avoir de racine réelle négative.

\ ^ que l'équation [3] n'a pas plus de m racines; car, si on élève a à

la puissance mi-f A, i étant un nombre entier quelconque et h un nombre positif moindre que m *, on aura

valeur trouvée.

740. Ce théorème établi, occupons-nous de la résolution de l’équation ym — 1=0, et supposons d’abord que m soit un nombre premier. Cette équation étant réciproque, sa résolution se ramènerai celle d’une équation du degré m ^ laquelle jouira de cette propriété remarquable que toutes ses ra- . cines seront réelles. En effet , on obtiendra cette équation en éliminant y entre .

‘ y”~'+ •+-••• + */-fy+ 1 =0

et y-fl = a.

Mais, si l’on désigne par « ï une valeur de y, on aura

et comme (o± p y/ ^1) vérifie y"— 1 = 0, on a ^ .

(,-f ?v/=T)m.(«-pv/iri)"=‘, ou («*+PT=l; or, («* -f- p'j est une quantité réelle et positive , donc elle est égale à +1; donc s=a-f-py/ — 1 -}-a — p^ + 1 =2a.

11 suit de là que l’on pourra séparer les racines de l’équation en z sans avoir recours , soit au théorème de M. Sturm , soit à l’équation aux carrés des différences de ses racines (728). , .

D’un autre côté, il suffira de calculer une seule des racines

* Il est facile de voir que celte formule mi + h représente un nombre entier quelconque. D’abord la chose est évidente, si ce nombre est positif, et, s’il est négatif, il est de la forme

— mi — Jt = — mt — k + m — m — — (i-t-J)m-(- (m — k ).

THÉORIE DES ÏQt’ATIONS-BINOMES. 633

de l’équation en s; car, en substituant cette racine daus l’équation y -f-ÿ = 3 1 on obtiendra deux valeurs dey, et en

élevant l’une d’elles à toutes les puissances depuis la première jusqu'à la »»"* inclusivement, on trouvera toutes les racines de la proposée. Toutefois ces calculs seront encore fort pénibles, si le degré de l’équation proposée est un peu élevé. Or, on peut, à l’aide des tables trigonométrigues , effectuer très-simplement la résolution de l’équation y"qr 1 =0, quelle que soit la valeur entière et positive que l'on attribue à m, ainsi que nous le verrons bientôt.

7i>0. Considérons maintenant le cas où l’exposant du degré de l'équation n’est plus un nombre premier, et soit l’équation

y- -1=0 [fl,

dans laquelle m et n sont deux nombres premiers entre eux. On voit d’abord que les racines des deux équations

y"— 1=0 et y"— 1 = 0

appartiennent à l’équation [4] ; car, si a, par exemple, est une racine de y* — 1 = 0, on aura a"" = (a T= 1 •

Cela posé, je dis que si l’on multiplie les racines de l'équation ym— 1 =0 successivement par celles de y" — 1 = 0, on obtiendra toutes les racines de l’équation [4]. En effet, soient a une racine de la première et fi une racine de la deuxième, on aura <*"= 1, p" = l, et partant («pr* =(«")». (p»)» = l; donc »p est racine de L’équation [4]. Désignons maintenant par J et par p’ deux autres racines quelconques des équations respectives y* — 1=0 et y* — 1 =0 : o'p' sera encore une racine de l’équation [4], et je dis que a'p' n’est pas égal à «p. Car, si cela était, on aurait a"PB = a'"P'" ; mais p* = 1

et p'” = 1 ; donc a* = a'", d’où

mais on a aussi

donc

quantité différente de l’unité, serait une

racine commune à ym — 1 = 0 et à y* — 1 =0, ce qui est con-

034 THÉORIE DES ÉQt'ÀTIONS -BINOMES.

traire (747) à l’hypothèse que m et n Sont deux nombres premiers entre eux.

Donc, tous les produits qu’on obtiendra en multipliant les racines de y" — 1=0 successivement par celles de y* — 1 = 0 sont différents, et comme ils sont au nombre de tnn, ce sont toutes les racines de l’équation [4].

Remarquons qu’en élevant une quelconque des racines de ym— 1=0, ou de y" — 1=0 à toutes les puissances 1, 2, 3 on ne reproduira pas toutes les racines de l’équation [4]; en effet, chaque puissance d’une racine a de la première, par exemple, sera répétée n fois, car a*+1 = a".a = a, am+* = a*,..., af»+i= a, (X*»n=ati etc et l'équation y*" — 1=0 n’a pas de racines égales.

On démontrerait de même que ai m, n, p, sont trois nombres premiers entre eux deux à deux , on obtiendra toutes les racines de l’équation

en multipliant les racines de y1" — 1 =0 par celles de y" — 1=0, et les produits ainsi trouvés successivement par les racines de yp — 1 =0, et ainsi de suite.

751. Soit maintenant m un nombre quelconque; décomposons-le en ses facteurs premiers, et supposons que

r, s, t étant des nombres premiers. La résolution de l’équation .

sera, d’uprès ce qui précède, ramenée à celles des équations

et quand on les aura résolues, on obtiendra toutes les racines de la proposée, en multipliant les racines de la première par celles de la deuxième, et les produits ainsi obtenus par celles de la troisième.

Considérons donc l’équation

Je pose y*~' —z, ce qui donne en substituant dans [5],

D’un autre côté, si l’on représente par « une quelconque dés racines de cette dernière équation , par fl, la détermination arithmétique de 'fyj a., et que l’on posey=p,ytl on obtiendra toutes les valeurs de y , en multipliant les r valeurs dont fl, est susceptible, successivement par les racines de l’équation

(746); de sorte que la résolution de l’équation [5] se trouve ainsi réduite à celle de l'équation [6], dans laquelle l’exposant de r est inférieur d’une unité à celui que r a dans l’équation [5]. Par conséquent, en continuant de cette manière , on sera ramené à résoudre l’équation

yrt~i — 1=0,

qui n’est autre que zr — 1 = 0.

Ainsi, la résolution de l'équation y* — 1=0, et par suite celle de l’équation proposée y" — 1=0, se trouve ramenée à celle de l’équation yr — 1 =0 dans laquelle r est un nombre premier, et nous avons traité cette question plus haut (740).

7SSt. Exemple 1. Soit y* — 1=0. On posera yr= z, et on aura sr — 1=0. Appelons a une quelconque des racines de cette équation et représentons par p, la détermination arithmétique de yj cl ; on fera y = p,y,, ce qui donnera y,r— 1 =0 •’ donc

Ainsi, en remplaçant dans cette formule a par ses r valeurs et p, par les siennes, on obtiendra toutes les racines de l’équation proposée y’* — 1=0.

11. Soit y1* — 1 =0. Je pose y*= z, ce qui donne zT — 1 =0;. ainsi, en représentant par p. la détermination arithmétique de ÿ<x, et faisant y = p,ys, on aura y, ^ — 1 = 0. Mais, d’après

636 THÉORIE DES ÉQU4TIONS-WNOIIBS.

ce qui précède, y,=ap,; donc

de sorte qu’en remplaçant dans cette formule a par ses r valeurs et p, et p, par les leurs, on obtiendra toutes les racines de

Si l’on avait l’équation y* — 1 =0 ou y* — 1 = 0, les valeurs de a seraient

+ 1 et celles de pt, = 1 , et

celles de p,, ÿ-f-l = 1 , et d’où il suit que

v— i=vV— i

l+vj-i

On arrive plus rapidement à ces valeurs en remarquant que ./•-1=(y*-l)(y*+l)=(y*— l)(y*+l)(y*H-/=ï)(y»-v'-î), de sorte que la résolution de l’équation y* — 1 =0 se décompose dans celle des équations

y* — 1=0, d’où y=± 1 ;

y’-|-l=Q, d’où y=±t/ — 1»

y,+v/=î=0, d’où y=± V — y/ — 1 == — ~ — := — - ’

y* — y' — 1=0, d’où y = ±v/-j-y/ — t = ± 1 — — -•