O. CALCUL DES RADICAUX ALGÉBRIQUES

784. Nous avons donné précédemment les règles que l’on doit suivre dans le calcul des quantités radicales, mais en supposant que ces quantités étaient réelles et en nous bornant à leurs déterminations arithmétiques : maintenant nous allons considérer les quantités radicales dans toute leur généralité (823), et nous verrons que les règles que nous avons établies aux nM 302, 50»,... 309 sont encore applicables au cas actuel.

785. 1" Cas. Nous supposons d’abord que les quantités soumises aux radicaux soient positives

1° Soit à multiplier m*J a par ÿ/b ; je dis que 'ÿja-'ÿjb—'^ab- Appelons, en effet, <*, p et f les déterminations arithmétiques des racines de a, de b et de ab; on aura \ a=a ÿ T; ÿ/è=pÿ/l et = y » Puis donc que (502) af5=Y, il s’agit de prouver que

ÿî.yi^î.

Or, si l’on élève le produit de îfl par ’/T à la puissance m , on trouvera 1 ; donc chaque valeur de ce produit est une racine mmt de l’unité ; d’ailleurs ce produit n'a pas moins de m valeurs diflérentes, puisque chacun de ses facteurs a m valeurs distinctes ; donc toutes ces valeurs sont les m racines m"" de l’unité ; donc • y ï = y ï*

2° On démontrerait de la même manière que ^= =

3° U serait naturel de passer actuellement à la formation des puissances des quantités radicales, pour traiter ensuite de l’ex- , traction de leurs racines, mais il sera préférable de suivre l’ordre inverse.

Soit donc à extraire la racine nme de v'a : je dis qu’on aura \/ÿâ="J/â, ce qui revient à prouver que \jyï=zm^/ï. Pour y

THEORIE DES EQUATlONë-BlNOHES. 639

parvenir, désignons par X la valeur générale de y 7* : il suit de la définition de la racine nm* que x' = ÿ/T, et que «“"asl; donc toutes les valeurs de x sont celles même de "y! ; donc

vVï =7ï-

4° Elever y a à la puissance n , n et m étant deux nombres premiers entre eux ; je dis qu’on aura ce qui re-

vient à prouver que (TÜ"— 7î* Soient, en effet, a, p, Tl... les m racines de l’unité : toutes les valeurs de (71)“ seront am, P", Y*.-.-, quantités qui sont toutes des valeurs de y/T> puisque («")*=(«")*= 1. Ces valeurs sont toutes différentes; car, si l’on

avait a" =p", on aurait Q = 1 , et comme £ = 1 , il

s’ensuivrait que ^ , quantité différente de l’unité , serait une

racine commune aux équations xm — l=o et x" — 1=0, ce qui est impossible, puisque m et n étant premiers entre eux, ces deux équations n’ont pas d’autre racine commune que l’unité. (7ï)* a donc m valeurs qui sont par conséquent toutes celles de 7ï > donc (71)" =71*

5* Je dis que (7«)"P= \/ar, ou, ce qui revient au même, que

(7îr=7ï. En effet, (7T)"P= KC^T^'v^TL

6° Soit à multiplier 7â par 7b, m et n étant premiers entre eux : je dis qu’on aura 7â- 7é="7«nô", ce qui revient à prouver que 7î-7ï="7î- De produit 7^7^ a Pour valeurs tous les produits que l’on obtient en multipliant les racines de l’équation xm — 1 =0 par celles de x ■ — 1=0; mais on obtient ainsi toutes celles de x "** — 1 = 0 (750), c’est-à-dire toutes les valeurs de 7* - Donc, etc.

7* Supposons enfin que les indices des radicaux que Von veut multiplier aient m facteur commun , je dis qu’on aura "y a • ‘^b—m“^a"bm, ce qui revient à prouver que m\fï • 7 ï== "7* • En effet, 71. 71= 77Î- v7ï= v7ï-7ï= 7tT=’7ï-

TBtOKIE DES ÉUllATIONS-BINOMES

La division des radicaux se démontrerait de la même manière que leur multiplication.

75C. 2* Cas. Si la quantité a soumise à un radical est négative, et que l'indice m de ce radical soit impair, on peut encore prendre la détermination arithmétique de ce radical, et en la multipliant par les m racines m mM de 1 , on a toutes ses valeurs. Ainsi \/ — 32= — 2.7F. Mais si l’indice est pair, il faut prendre la détermination arithmétique de — a, quantité positive, et la multiplier successivement par toutes les valeurs de 7 — 1, de sorte qu’il est nécessaire d’examiner les règles du calcul des quantités telles que 7 — !•

1° Sort 7 — 1 « élever à la puissance n, m et n étant deux nombres premiers entre eux : je dis qu’on aura (7 — l)*— 7( — l)"- Soient, en effet, a, p, y,»., les valeurs de 7 — 1 : «"> P", y",-., seront celles de (7 — l)" : ces quantités sont aussi des valeurs de \ ( — i)", car (a")" = (a")" = ( — 1)*. 11 sera ensuite facile de faire voir quelles sont toutes différentes (73d, 4°).

2° Proposons-nous de multiplier 7 — 1 Par 7~ï> m et n étant premiers entre eux : je dis qu’on aura 7 — 1 • v — 1 • =~/( — 1)\(' — 1 )". Je désigne, en effet, par a, p, y, ... les valeurs de 7^T et par a', p', y',... celles de 7— ï ’• le produit de l’une quelconque des premières par une quelconque des secondes sera une

valeur de“7( — 1)".( — 1)"; car, (a*'r"=(«’T.(«'T=(-l )\(-l )-.

Il sera facile ensuite de faire voir que tous ces produits sont distincts (7o8, 6°), et comme ils sont au nombre de mn, on en • conclura que ce sont toutes les valeurs de “( — !").( — lj".

On démontrera absolument de la même manière que +1 ="v'( — 1 si m et n sont premiers entre eux.

Tous les autres cas se démontreraient en répétant les raisonnements du n° 7&>.

s III. RESOLUTION TRIGONOMÉTRIQUE DES ÉQUATIONS-BINÔMES.